زندگی افلاطون

افلاطون در آتن در سال ۴۲۷ قبل از میلاد در یک خانواده متشخص آتنی متولد شد. او دو برادر و یک خواهر تنی داشت و دو برادر ناتنی که یکی از ازدواج اول شوهر دوم مادرش بود و دیگری حاصل این ازدواج بود. وی در بیست سالگی برای تکمیل معارف خود شاگرد سقراط شد. این مصاحبت و شاگردی به مدت ده سال ادامه یافت. پس از اعدام سقراط در ۳۹۹، افلاطون آتن را ترک کرد. او برای چندین سال در شهرهای یونان و کشورهای بیگانه به گردش پرداخت. پس از سفری به سیسیل در سال ۳۸۸ به آتن بازگشت و مکتبی فلسفی ایجاد کرد که به نام آکادمی مشهور است. تعلیمات وی در آن‌جا بر اثر دو بار سفری که در سال ۳۶۶ و ۳۶۱ به سیسیل داشت به تعویق افتاد. افلاطون در سال ۳۴۷ مُرد و رهبری آکادمی را به خواهرزاده خود که شاگردش نیز بود، واگذاشت.           مرتضی توکلی

برای دوم راهنمایی ها

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند       و       یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت را یک عدد گویا می نامیم . مانند 2- ، 0 ، 3+ ، 2/3- ، 25/- کد به ترتیب به شکل کسرهای  می توان نوشت .

به طور کلی هر عددی که بتوان آنرا به صورت کسر  نوشت ، به طوریکه صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد     یک عدد گویا می گویند.

مجموعه  اعداد گویا را با حرف Q  حرف اول کلمه ی Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می دهند .   

عدد گویا :

 هر کدام از عدد های زیر یک عدد گویا را نشان میدهد . با انتخاب یک عدد گویا میتوانید نقطه نمایش آن را روی محور مشاهده کنید .

 

F1

 

قرینه یک عدد گویا :

 

 

 

نمایش برداری عدد گویا :

 بردارهای زیر هر کدام یک عدد گویا را نشان می دهند ، برای مشاهده ی عدد گویا ی متناظر با هر بردار روی آن کلیک کنید .

 

 

F2

 

تساوی عدد ها ی گویا :

نقطه A  در هر شکل چه عدد ی را مشخص می کند ؟ بین این عددها چه ارتباطی وجود دارد ؟

 

 

 

 

علامت یک کسر

 

 

 

 

 

 

در هر یک از شکل های بالا عدد متناظر با بردار آبی 5- می باشد . اگر  بردار آبی را به قسمتهای مساوی تقسیم کنیم  متناظر با هر قسمت میتوان یک تساوی نوشت . از تساوی با لا می توان نتیجه گرفت :

   

 

 جمع و تفریق متناظر با یک  بردار :

 در هر یک از شکل های زیر بردار AB را درنظر بگیرید ، با  انتخاب هر بردار می توانید جمع و تفریق متناظر با آن را مشاهده کنید .

 

F3

 

F4

 

F5

 

 

F6

 

 

 

 

 

F7

 

 

          مرتضی توکلی

 

دو عدد گویای مساوی

هر گاه صورت و مخرج عدد گويايي را در عددي (مخالف صفر) ضرب و يا به عددي (مخالف صفر) تقسيم كنيم عدد گويا تغيير نمي كند و عدد گويايي مساوي عدد گوياي اولي بدست مي آيد يعني :

مرتضی توکلی

اعداد گویا

اعداد گویا^[۱] حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال از مجموعهٔ بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.

 پانویس

1. به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت کسر هست، ولی، گویا نیست. 

 

عدد نویسی رومی

رومی‌های قدیم برای نوشتن عددها از نمادهایی بدین شکل استفاده می‌کردند:

‎

نماد	I	V	X	L	C	D	M
عدد	۱	۵	۱۰	۵۰	۱۰۰	۵۰۰	۱۰۰۰

آنها با پیروی از قانون‌هایی ، با ترکیب این نمادها ، نمادهای دیگری برای نمایش دیگر اعداد پدید آورده بودند. بعضی از این قانون‌های دستگاه عدد نویسی رومی، بدین شرح بوده است:

• هر نماد که در سمت راست نماد دیگر نوشته می‌شود ، چنانچه مقدارش از آن نماد کمتر یا با آن مساوی باشد ، ارزش آن نماد را زیاد می‌کند.

‎

III = ۱+۱+۱ = ۳

XI = ۱۰+۱ = ۱۱

VII = ۵+۱+۱ = ۷

• هر نمادی که در سمت چپ نماد دیگر نوشته می‌شود ، چنانچه مقدارش از آن کمتر باشد ، ارزش آن نماد را کم می‌کند.

‎

IV = ۵-۱ = ۴

IX = ۱۰-۱ = ۹

CD = ۵۰۰-۱۰۰ = ۴۰۰

• هرگاه نمادی بین دو نماد بزرگ‌تر از خود قرار گرفته باشد ، ابتدا با نماد سمت راستش ترکیب می‌شود ، یعنی از ارزش آن می‌کاهد و بعد ، طبق قانون اوّل ، تفاضل بر ارزش نماد دیگر اضافه می‌شود.

‎

XIV = (۵-۱)+۱۰ = ۱۴

MCM = (۱۰۰۰-۱۰۰)+۱۰۰۰ = ۱۹۰۰

• برای اعداد بزرگ ( ۵,۰۰۰ ) در بالای هر نماد خطّی افقی قرار می‌گیرد که ارزش آن را ۱,۰۰۰ برابر می‌کند. مانند:(۵,۰۰۰ =)

• برای اعداد خیلی بزرگ ( ۵,۰۰۰,۰۰۰ ) شکل فراگیری وجود ندارد امّا گاهی آنها را با دو خطّ افقی در بالای نماد یا با خطّی افقی در زیر نماد نمایش می‌دهند که ارزش آن نماد را ۱,۰۰۰,۰۰۰ برابر می‌کند. مانند:(۵,۰۰۰,۰۰۰ =)

سیستم‌های شماره‌ای
اعداد هندی
هندی غربی هندی شرقی	هندوستان برهمی
اعداد خاور دور
چینی ژاپنی خِمِر	کره‌ای تایلندی
اعداد بر پایه الفبا
ابجد ارمنی سیریلیک گِعِز	عبری یونانی سانسکریت
سیستم‌های دیگر
آتیک اِتروسکی رومی	بابلی مصری مایایی
عناوین مربوط به سیستم‌های شمارشی
سیستم‌های ترتیبی
بر پایه دهدهی،
دودویی:  ۲، ۴، ۸، ۱۶، ۳۲، ۶۴، ۱۲۸
غیره:  ۳، ۹، ۱۲، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۶۰، ادامه.    +/-

چنان که می‌بینید در دستگاه عدد نویسی رومی رقم صفر وجود نداشته و برای ترکیب نمادها از دو عمل جمع و تفریق استفاده می‌شده. محاسبات ضرب و تقسیم که امروزه با استفاده ار نمادهای دهدهی به راحتی انجام می‌گیرد ، ریاضی دانان رومی ساعت‌ها وقت صرف به دست آوردن حاصل آنها می‌کردند. این دستگاه بیشتر از همهٔ دستگاه‌ها در برابر دستگاه جهانی عدد نویسی امروزی (دستگاه دهدهی) مقاومت کرد و برای پایداری خود تا قرن شانزدهم میلادی کوشید.          مرتضی توکلی

نیلس هنریک آبل

ادامه نوشته

  ‌مجموعه اعداد گويا

مجموعه اعداد گويا مجموعه اي است از اعداد كه آن را بصورت كلي زير مي توان نوشت :

Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 }

مجموعه اعداد گويا عضو ابتدا و انتها ندارد.
مجموعه اعداد گويا نسبت به عمل تقسيم بسته نيست، زيرا : صفر عضوي از مجموعه اعداد گويا است ولي ( 0/ عدد ) معني ندارد.
سعي شود همراه مخرج عدد گويا مثبت باشد.

-a/b = a/-b = -(a/b)

دو عدد گويا مساوي :
هر گاه صورت و مخرج عدد گويايي را در عددي (مخالف صفر) ضرب و يا به عددي (مخالف صفر) تقسيم كنيم عدد گويا تغيير نمي كند و عدد گويايي مساوي عدد گوياي اولي بدست مي آيد يعني :

اعداد گوياي بين دو عدد گويا :
بين دو عدد طبيعي متوالي يا دو عدد صحيح متوالي ، عدد طبيعي يا صحيح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گويا اين مطلب درست نيست. بين هر دو عدد گوياي متمايز بي شمار عدد گويا وجود دارد.
مثلاً عدد 4/1 يكي از اعداد گويا بين صفر و يك است و اين مطلب را به صورت 1<4/1>0 مي نويسند، و يا 3/1 - يكي از اعداد گويا بين 4/1 - و 2/1 - است و بصورت

4/1- > 3/1 - > 3/2 - مي نويسند.

ميانگين دو عدد گويا :

يعني ميانگين دو عدد گويا متمايز بين آن دو عدد قرار دارد.
هر عدد گويا نظير a /b كه صورت و مخرج آن عامل مشترك نداشته باشند عدد گوياي تحويل ناپذير مي نامند.

a  b =1 یا (a , b)=1

نمايش اعشاري اعداد گويا ( تحويل ناپذير)
اعداد گويا سه نوع هستند.

نوع اول :

در مخرج كسر پس از تجزيه به عاملهاي اول فقط عاملهاي 2و5 وجود دارد. در اين صورت اگر صورت كسر را به مخرج آن تقسيم كنيم پس از چند رقم اعشار باقيمانده تقسيم صفر مي شود.
در اين صورت گفته مي شود عدد گويا قابل تبديل به كسر اعشاري تحقيقي يا مختوم مي باشد.

نوع دوم:

در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد . در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید ، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار میشوند .این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند .

نوع سوم :
چنانچه كسر پس از تجزيه كردن به عامل هاي اول عامل هاي 2و 5 و ساير عوامل اول وجود داشته باشد در اين صورت خارج قسمت بعد از مميز غير از ارقام دوره گردش ارقام ديگري قبل از دوره گردش وجود دارد كه تكراري نمي شوند و باقيمانده هرگز صفر نخواهد شد. اين عدد را عدد اعشاري متناوب مركب نامند.

تذكر : در حالت (1) اگر a را بر b تقسيم كنيم وعمل تقسيم را ادامه بدهيم باقيمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسيم كنيم و عمل تقسيم را ادامه بدهيم باقي مانده هيچوقت صفر نخواهد شد.

در تبديل عدد اعشاري متناوب به كسر متعارفي :
هر عدد اعشاري متناوب را مي توان به صورت يك كسر گويا (كسر متعارفي نوشت) براي اينكار به ترتيب زير انجام مي دهيم.
1) آن عدد را مساوي x قرار مي دهيم (a)

2) طرفين رابطه (a) را در

10 ^k

ضرب مي كنيم. ( k تعداد ارقام غيرگردش است) (b)

3) طرفين رابطه ي ( b) را در 10 ضرب مي كنيم ( p‌ تعداد ارقام گردش است) (c )
4) رابطه b‌را از c كم مي كنيم و سپس x را بدست مي آوريم و ساده مي كنيم.

تبديل عدد اعشاري تحقيقي به كسر گويا (كسر متعارفي)

براي اين كار كافي است كه كسر متعارفي بنويسيم كه صورت آن ارقام اعشاري بعد از مميزمخرج آن

10 ^n

باشد (تعداد ارقام بعد از مميز است)

تبديل كسر اعشاري متناوب ساده به كسر متعارفي :
براي اين كار كسري مي نويسيم كه صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادي 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.

تبديل عدد اعشاري متناوب مركب به كسر متعارفي :
براي اين كار كسري كه مي نويسيم كه صورت آن يك دوره تناوب و غيرتناوب منهاي يك دوره غير تناوب باشد و مخرج آن تعدادي 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوي آن تعدادي صفر به تعداد ارقام دوره غيرتناوب باشد)

مجموعه اعداد حقيقي :
مي دانيم هر عدد گويا مي شود و به صورت يك عدد اعشاري (تحقيقي – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاري يك عدد گويا است.
حال به عدد اعشاري 20200200020000/0 توجه كنيد كه بعد از مميز عددهاي 2 و صفرها به طريقي تكرار شده اند ولي هيچ شناختي به عدد اعشاري متناوب ندارد. يعني اين يك عدد اعشاري متناوب نيست. پس اين يك عدد غيرگويا است. اين عدد را يك عدد گنگ يا (اصم) مي نامند.

تعريف : هر عدد اعشاري كه حقيقي و متناوب نباشد را يك عدد اصم مي گويند. مانند:

Π = 3 / 141592633589793

√2 = 1/414213
℮ = 2 / 71...

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ي اعداد اصم مجموعه اي را تشكيل مي دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ مي نامند و با Q ^c نشان مي دهند.

مجموعه اعداد حقيقي :
همه ي اعداد گويا و اصم مجموعه اي را تشكيل مي دهند كه به آن مجموعه اعداد حقيقي مي گويند و با k نشان مي دهند . پس :
 

R = Q Q ^c

 

  نماد علمي :

به تساوي روبرو توجه كنيد:
 

0/3456 = 3/456 * 10^-3

0/00007 =7 * 10^-5

1382 = 1/382 *10³

700000 = 7 * 10⁵

همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب يك عددبين 1و10 و توان مناسبي از 10، گويند اعداد فوق به صورت نماد علمي نوشته شده است.
براي جلوگيري از اشتباه در عمليات و آسان خواندن اعداد بسيار بزرگ و اعداد بسيار كوچك از نماد علمي استفاده مي كنند.
 

يعني اينگونه اعداد را به صورت

d * 10 ^n

مي نويسند كه در آن

1≤ d , d < 10 ,  n z

 مي نويسند كه 1 اين نمايش اعداد را نمايش علمي اعداد يا نماد علمي اعداد مي گويند.
 

براي نوشتن يك عدد به صورت نماد علمي از قرارداد زير استفاده مي كنيم:
الف) اولين رقم غير صفر عدد مذكور را از سمت چپ مشخص مي كنيم.
ب) مميز را در سمت راست همان عدد قرار مي دهيم
ج)اگر مميز از سمت راست به چپ حركت كند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه مي شود و اگر مميز از چپ به راست حركت كند به تعداد ارقام از توان 10 كم مي شود.
 

678910/ = 6/78910 * 10 ⁵

0/000623 = 6/23 * 10^-4

نکاتی از المپیات ریاضی

- مجموع  زاویه های داخلی هر چهار ضلعی 360 است

A+B+C+D=۳۶۰

 

2-  مجموع زاویه های خارجی هر n  ضلعی 360 است .

 

3-  هر گاه از رئوس یک چهار ضلعی چهار خط به موازات قطرها آن رسم کنیم متوازی الاضلا عی بدست می آید که مساحت آن دو برابر مساحت چهار ضلعی اولیه می باشد .

 

4- مجموع زوایای داخلی هر n  ضلعی از دستور 180×( 2 n -)  بدست می آید  (n ضلعی محدب)

مثال Å  مجموع زوایای داخلی یک هشت ضلعی را بدست آورید .

                                                                                                    1080 = 180×6= 180×(2-8)

  5- اگز خطی دو خط موازی را قطع کند 8 زاویه به وجود می آید : که کلیه ی زاویه های تند باهم و کلیه ی زاویه ها ی باز با هم مساویند .

 

 

 þتست1: 

 در شکل زیرAx  موازی با By می باشد ، اندازه ی زاویه c چند درجه است .

د) 95 درجه

ج) 90 درجه

ب) 75 درجه

الف) 85 درجه

مرتضی توکلی

کسر

در ریاضیات، کسر (پارسی: بَرخَه) به کمیتی گفته می‌شود که متناظر با حاصل تقسیم دو عدد درست باشد. در واقع، کسر یا «عدد کسری» نام دیگر عدد گویا است.

نمونه: 3/4

3 را بَرخَه شمار (صورت كسر) و 4 را بَرخَه نام (مخرج كسر) مي نامند.     مرتضی توکلی

فرمول حساب مکعب

فرمولها

مساحت	6a^2
حجم	a^3
شعاع کره محاط بر مکعب
شعاع کره مماس بر اضلاع
شعاع کره محیط بر مکعب

بدلیل محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.

مکعب بیشترین حجم را در بین مکعب مستطیل‌های دارای سطح یکسان است و همچنین بیشترین حجم را در بین مکعب مستطیل‌های دارای طول اضلاع مساوی است.          مرتضی توکلی

مکعب روبیک

مکعب روبیک در چهار نوع مختلف وجود دارد: ۲×۲×۲ که به مکعب جیبی معروف است، ۳×۳×۳ رایجترین مکعب روبیک، ۴×۴×۴ که به انتقام روبیک معروف است، و در آخر نوع ۵×۵×۵ یا مکعب حرفه‌ای. نوع ۳×۳×۳ آن که رایجترین آنهاست نه سطح مربع شکل در هر طرف دارد، در مجموع پنجاه و چهار سطح می‌شوند که به اندازه بیست و هفت مکعب کوچک به هم چسبیده فضا را اشغال می‌کند. سطح مکعب روبیک را شش رنگ پوشانده‌است، هر وجه یک رنگ. مخترع آن نام مکعب جادویی را برای آن انتخاب کرد که در سال ۱۹۸۰ با نام مکعب روبیک در جهان پخش شد و می‌توان گفت که پرفروش ترین اسباب بازی جهان است  مرتضی توکلی

ریاضی در یونان باستان

یونان سرزمین ریاضی دانان برجسته ای بود.طالس یکی از آن هاست . وی مردی تاجر پیشه بود ولی به فراگیری علوم علاقه ی بسیار داشت او طی سفر هایی که به دوردست از جمله به مصر داشت از مصریان ریاضیات عملی آموخت . وی در نجوم نیز دست داشت و کسوف ( گرفتگی خورشید ) را نیز پیشبینی کرد طالس حدود سال 600 قم می زیست . وی در فلسفه نیز دستی داشت و آب را ماده ی اصلی همه چیز می دانست . پس از طالس, فیساغورس را باید از ریاضیدانان یونان باستان شمرد . اونیز به مصر سفر کرد و بیشتر علم ریاضی بابلی ومصری را آموخت . قضایا ی مشهوری در هندسه طرح وحل کرده است . اما کسی که ریاضیات یونانی را به طور دقیق تدوین کرد و بدان شکل واحدی داد اقلیدس است که حدود سال 300 ق م در شهر اسکندریه می زیست . وی قضایای هندسه را در کتابی به نام اصول گرد آوری کرد . این کتاب در مجموع از13 کتاب تشکیل شده است . وبه سبب تالیف این کتاب ونیز نظم و دقتی که اقلیدس در علم ریاضی از خود نشان داد او را مشهورترین ریاضی دان یونانی می دانند    مرتضییییییییییییییییییییییییییی توکلییییییییییییییییییییییییییی