عمل دوتایی

شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد. اینها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده شی سومی را پدید می‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهمترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.

ادامه نوشته

روش محاسبه سریع

در ریاضیات ضرب اعداد چند رقمی و یا تقسیم آنها شاید برای دانش آموزان مشکل باشد و باعث شود که آنها ماشین حساب متوسل شوند. ولی ما در اینجا بعضی از روشهای محاسبه این اعمال را یاد می‌گیریم. به فرض وقتی می‌خواهیم روش حفظ کل تقویم سال را که بسیار ساده است، در چند دقیقه یاد بگیریم. حتی در ظرف یک دقیقه هم امکان پذیر است. فقط شما کافی است اولین شنبه هر ماه را بدانید که چندم است؟ مثلا اگر سوم فروردین است، اولین پنجشنبه آن می‌شود:

رمز: "فریدون سه بخش است"
اسفند: وقتی اسپند دود می‌کنم یک غول سه سر از اون بیرون میاد!
دومین سه شنبه؟ 13=3+7+3
"مغز می‌تواند مانند سایر استعدادهای بدن پرورش یابد."

روش ضرب اعداد طبیعی در عدد 6

در ضرب ، ابتدا همه رقم را با نصف همسایه راستش جمع می‌کنیم.
1- اولین رقم 4 است که همسایه ندارند (از سمت راست). جواب: 4
2- 10=2+8 (ده بر یک). جواب: صفر
3- 4=4+0 (یک ده بر یک هم داریم). جواب: 5
4- متوالیا با 2و2و6و0 انجام می‌دهیم.
جواب نهایی: 37 32504 چقدر راحت!

دستور کامل ضرب در 6

هر رقم را با نصف همسایه‌اش جمع کنی. اگر عدد فرد است 5 تای دیگر هم به آن اضافه کنید. به عبارت دیگر به رقم نگاه کنید. اگر زوج بود نصف همسایه را با آن جمع کنید و بعد نصف همسایه را به آن اضافه نماید. این همه توضیح فقط برای شروع کار است. با قدری تمرین این روش جنبه آگاهانه خود را از دست می‌دهد و به صورت خودکار در می‌آید.

دستور ضرب در 11

در این روش هم مثل روش معمولی جواب از راست به چپ نوشته می‌شود و طبق یک قرار داد سمت چپ اعداد مضروب و عددی که در 11 ضرب می‌شود) یک صفر می‌گذاریم.
الف) آخرین عدد مضروب را به عنوان رقم سمت راست جواب می‌نویسیم.
ب) هر عدد متوالی از مضروب با همسایه سمت راست آن جمع می‌شود. (رقم دوم 6=3+3)، (رقم سوم 9=6+3)
ج) اولین عدد مضروب رقم سمت چپ جواب می شود. (رقم چهارم 6=6+0) و جواب 6963 خواهد بود.

دستور ضرب در 12

هر رقم را 2 برابر کنید و با همسایه (رقم سمت راست) جمع کنید. جواب: 4956
ترجمه کنید که بعدا در مراحل ذهنی ، باید با نگاه به عدد و بدون بیان محاسبات به پاسخ عمل متمرکز شوید. مثلا به 4 نگاه کنید و بگویید.

تکرار و تمرین یادتان نرود!!!

نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کرد این ات که انسان داراییهایی دارد که به بعضی آگاه و از بعضی غافل است که دارد! مثلا مغز با تواناییهای بالا ، حدودا تعداد 10800 مدار مغزی دارد و در دنیا اکثرا نتوانسته‌اند بیش از درصدی از آن بهره ببرند. این که می‌گویند ما حافظه ضعیفی داریم تقریبا اشتباه است!

تمامی اعمال حساب را بدون این که از جدول ضرب سنتی انجام دهیم، می‌توانیم به روش جدید ابتدا بر روی کاغذ و بعد از فعال شدن ذهن ، ماده انگشت و بطور حفظی ، انجام دهیم. فقط یادآوری می‌کنیم که از این پس از وقتهای کرده باید تمام و کمال استفاده کرد.

ریاضیات امروزی

دید کلی

آغاز دوره امروزی ، در پیشرفت ریاضیات ، بوسیله دگرگونی‌های عمیقی که در هم رشته‌های اساسی آن: جبر ، هندسه و آنالیز پدید آمد، مشخص می‌شود. این دگرگونی در هندسه با روشنی بیشتری به چشم می‌خورد. در سال 1826 ، لباچوسکی و کم و بیش همزمان با او یانوش بایای (این همان کسی است که فرانسوی‌ها او را ژان بولیه می‌نامند. مترجم.) ریاضی‌دان مجارستانی ، هندسه تازه نااقلیدسی را به وجود آوردند و تکامل دادند. ریاضی‌دانها خیلی زود اندیشه لباچوسکی را نفهمیدند. این اندیشه خیلی جسورانه و غیرقابل انتظار بود. ولی بویژه ، از همین زمان بود که پیشرفت تازه هندسه آغاز و مفهوم آن معرفی شد و موضوع و زمینه کاربرد آن به سرعت گسترش یافت. اساسی‌ترین گامی که بعد از لباچوسکی در این جهت برداشته شد، در سال 1845 و بوسیله ریاضی‌دان مشهور آلمانمی ریمان بود. ریمان اندیشه نامحدود ‌بودن تعداد "فضاهایی" را که می‌تواند مورد بررسی هندسه قرار گیرد، منظم ، و به امکان حقیقی بودن مفهوم آنها ، اشاره کرد.

ادامه نوشته

رابطه یبن هندسه و حساب

دید کلی

بستگی متقابل حساب و هندسه و بطور کلی بستگی بین نظریه‌های ریاضی دور بوده است. حال آن که این بستگی اهمیت بسیار زیادی دارد. تاثیر متقابل نظریه‌هاست که ریاضیات را به جلو می‌کشاند و غنای رابطه‌هایی از واقعیت‌ها را که به وسیله این نظریه‌ها منعکس شده است ظاهر می‌سازد.

اثر متقابل بین هندسه و حساب

1. حساب و هندسه نه تنها از یکدیگر استفاده می‌کنند بلکه در عین حال سرچشمه اندیشه‌ها ، روش‌ها و نظریه‌های عمومی بعدی هم به شمار می‌روند. در تحلیل نهایی ، حساب و هندسه عبارت از دو ریشه‌ای هستند که ریاضیات بر پایه آنها قرار گرفته و رشد کرده است. تاثیر متقابل این دو دانش از همان زمانی که نطفه هر یک از آنها بسته می‌شد وجود داشت. همان اندازه‌گیری ساده طول هم ترکیبی از حساب و هندسه است. زمانی که طول چیزی را اندازه می‌گیریم، واحد طول را روی آن جدا می‌کنیم و حساب می‌کنیم که چند مرتبه می‌توانیم این عمل را انجام دهیم. عمل اول (جدا کردن واحد) یک عمل هندسی و عمل دوم (محاسبه) یک عمل مربوط به حساب است. هر کسی هم که طول جاده‌ای را با گام‌های خود می‌شمارد، این دوعمل را با هم ترکیب می‌کنند.
   

ادامه نوشته

توپولوژی چیست ؟

 

توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد).

ادامه نوشته

سِر آیزاک (یا اسحاق) نیوتن (به انگلیسی: Sir Isaac Newton) (۴ ژانویه ۱۶۴۳ – ۳۱ مارس ۱۷۲۷) فیزیک‌دان، ریاضی‌دان، فیلسوف و کیمیاگر شهروند انگلستان بوده‌است.^[۱] وی در سال ۱۶۸۷ میلادی شاهکار خود «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» را به نگارش درآورد. در این کتاب او مفهوم گرانش عمومی را مطرح ساخت و با تشریح قوانین حرکت اجسام، علم مکانیک کلاسیک را پایه گذاشت. از دیگر کارهای مهم او بنیان‌گذاری حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

نام نیوتن با انقلاب علمی در اروپا و ارتقای نظریهٔ خورشید-مرکزی پیوند خورده‎ است. او نخستین کسی است که قواعد طبیعی حاکم بر گردشهای زمینی و آسمانی را کشف کرد. وی همچنین توانست برای اثبات قوانین حرکت سیارات کپلر برهان‎های ریاضی بیابد. در جهت بسط قوانین نامبرده، او این جستار را مطرح کرد که مدار اجرام آسمانی مانند ستارگان دنباله دار، لزوماً بیضوی نیست بلکه می‌تواند هذلولی یا شلجمی نیز باشد. افزون بر اینها، نیوتن پس از آزمایش‎های دقیق دریافت که نور سفید ترکیبی از تمام رنگ‌های موجود در رنگین‌کمان است. او فرضیه موجی هویگنس را دربارهٔ نور رد کرد. از دیدگاه نیوتن نور جریانی از ذرات است که از چشمه نور به بیرون فرستاده می‌شوند.

زندگی‌نامه

آیزاک نیوتن در نیمه شب عید سال نو ۱۶۴۲ (میلادی) به دنیا آمد. او کودک زودرسی بود که پزشک به زنده‌ماندن او امید چندانی نداشت. پدر و که کشاورزی مرفه بود سه ماه پیش از تولد او از دنیا رفته بود و هانا مادر آیزاک مجبور بود این کودک رنجور را به تنهایی بزرگ کند. خانهٔ مادری او در وول اِستروپ بزرگ و راحت بود.آنها فقیر نبودند، اما بزرگ کردن آیزاک که کودکی رنجور و نحیف بود برای مادری تنها آسان نبود.

 

ادامه نوشته

ادامه نوشته

دبفرانسیل

حسابیا حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.

تاریخچه

حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای براورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علمرا میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:

قانون اول کپلر

1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است






2.خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند

قانون دوم کپلر

3.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.

قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

بزرگان این علم

این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس
بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.»

انتگرال ریمان

پیدا کردن مساحت هاشور خورده

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه تا روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به نزدیک خواهد بود.

ادامه نوشته

انتگرال

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت نشان می دهند علامت ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.

ادامه نوشته

حدس کولاتز

حدس کولاتز یکی از حدس‌های حل نشده در ریاضیات است.این حدس به افتخار لوتار کولاتز،که این موضوع را در سال۱۹۳۷ مطرح کرد، حدس کولاتز نام گرفت. این حدس همچنین به عنوان حدس 3n+1 نیز شناخته می‌شود.این گونه حدس‌ها می‌پرسد که آیا یک رشتهٔ خاص از اعداد، صرف نظر از این که چه عددی را به عنوان عدد اولیه انتخاب می‌کنیم، همیشه به یک صورت تمام می‌شود.

·          

ادامه نوشته

اعداد فیبوناچی

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:

1. \\ \end{cases} " type="#_x0000_t75">

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

‎

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.

·          

ادامه نوشته

نظریه مجموعه ها

دید کلی

نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

موسس نظریه مجموعه‌ها جرج کانتور (1845- 1918) است. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. در واقع توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

مجموعه

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌های آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که می‌خواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند. در این قسمت با مفهوم کلی مجموعه‌ آشنا شده و اطلاعاتی عمومی در مورد آن کسب می‌کنیم.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها (Naive set theory)

مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی شد، همچون پارادکس راسل، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست تسرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها یا Axiomatic set theory انجامید.

نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory)

در این نظریه، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به برسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. اصول مورد بررسی این نظریه عبارتند از:

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع جایگزینی

مفهوم مجموعه

عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.

مفهوم زیرمجموعه

T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه T‌ای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .

مجموعه تهی

مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.

خانواده یا دستگاه

مجموعه‌هایی که عنصرهای آن خود مجموعه‌اند، به خانواده یا دستگاه موسومند. به عنوان مثال ، یک قوم یا ملت ، مجموعه‌ای از اشخاص است و خود عنصری از خانواده اقوام یا ملتهاست. یکی از دستگاههای بسیار مهم ، مجموعه جمیع زیر مجموعه‌های یک مجموعه S است. این دستگاه به مجموعه توانی موسوم است که با (P(S نشان داده می‌شود.

اصول اساسی مشترک دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها

با توجه به اصل موضوعی مجموعه‌ها {به ازای هر yεN و xεN| x = y²} جمیع دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها ، که در نیمه قرن بیستم میلادی توسعه یافتند چهار اصل اساسی مشترک دارند.

اصل توسیع پذیری

اصل توسیع پذیری بر این است که اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسان (یعنی دو مجموعه که با یک توسیع باشند)، همانندند.

اصل ساخت

اصل ساخت بر این است که انواع محدود خاصی از گزاره‌ها مجموعه‌ها را تعریف می‌کنند. یکی از محدودیتهای معمول این است که گزاره تنها شامل نمادهای شیئی ، نمادهای منطقی و نماد ε است.

اصل وجود مجموعه‌های نامتناهی

وجود مجموعه‌های نامتناهی بیانگر همین مطلب است. البته معنای نامتناهی را باید دقیق کنیم. مشکل است که این اصل با استفاده از ارجاع مستقیم علت را انگیزه موضوعی شود، اما بدون آن قسمت اعظم ریاضیات و علوم نظری از قبیل دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کلاسیک ، بی‌معنا خواهد شد. بی‌آن حتی نمی‌توان اساس مجموعه نظری اعداد طبیعی را بدست آورد.

اصل انتخاب

اگر s دستگاهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، آن گاه مجموعه Aای موجود است که بطور دقیق یک عنصر مشترک با هر مجموعه S از S دارد.

اعمال اساسی مجموعه‌ها

• اجتماع: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با هم اعضایی که یا در A یا در B و یا در هر دو آنها باشند و آن را به صورت AUB نشان می‌دهیم.
• اشتراک: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با همه اعضایی که هم در A و هم در B هستند و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
• تفاضل: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. آنگاه A-B یعنی مجموعه هم اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند.
• متمم: اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم A مجموعه تمام اعضایی از S است که در A نباشد و آن را با Ā یا Á نشان می‌دهند.

خواص اعمال مجموعه‌ای

اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع ، اشتراک ، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.

• دارای خاصیت جابجایی‌اند. AUB = BUA و A∩B = B∩A
• شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
• توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
• متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.
• اگر S یک مجموعه باشد انگاه اجتماع S با هر زیرمجموعه‌اش برابر S و اشتراک آنها برابر با آن زیر مجموعه است.
• اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی است و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) می‌باشد.
• قوانین دمورگان (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)
• تفاضل دو مجموعه برابر است با متمم اشتراک انها.
• دو مجموعه را ناسازگار می‌گویند هرگاه اشتراک این دو مجموعه تهی باشد.

هوش مصنوعی

هوش مصنوعی یا هوش ماشینیرا باید عرصهٔ پهناور تلاقی و ملاقات بسیاری از دانش‌ها، علوم، و فنون قدیم و جدید دانست. ریشه‌ها و ایده‌های اصلی آن را باید در فلسفه، زبان‌شناسی، ریاضیات، روان‌شناسی، نورولوژی، و فیزیولوژی نشان گرفت و شاخه‌ها، فروع، و کاربردهای گوناگون و فراوان آن را در علوم رایانه، علوم مهندسی، علوم زیست‌شناسی و پزشکی، علوم ارتباطات و زمینه‌های بسیار دیگر.

هوش مصنوعی به هوشی که یک ماشین از خود نشان می‌دهد و یا به دانشی در کامپیوتر که سعی در ایجاد آن دارد گفته می‌شود. بیشتر نوشته‌ها و مقاله‌های مربوط به هوش مصنوعی آن را «دانش شناخت و طراحی عامل‌های هوشمند»^[۱] تعریف کرده‌اند. یک عامل هوشمند سیستمی است که با شناخت محیط اطراف خود، شانس موفقیت خود را بالا می‌برد.^[۲] جان مکارتی که واژه هوش مصنوعی را در سال ۱۹۵۶ استفاده نمود، آن را «دانش و مهندسی ساخت ماشین‌های هوشمند» تعریف کرده‌است. تحقیقات و جستجوهایی انجام شده برای رسیدن به ساخت چنین ماشین‌هایی مرتبط با بسیاری از رشته‌های علمی دیگر می‌باشد، مانند علوم رایانه، روان‌شناسی، فلسفه، عصب شناسی، علوم ادراکی، تئوری کنترل، احتمالات، بهینه سازی و منطق.

·          

تاریخچه

پیش از بوجود آمدن علوم الکترونیک، هوش مصنوعی توسط فلاسفه و ریاضی‌دانانی نظیر بول که اقدام به ارائه قوانین و نظریه‌هایی در باب منطق نمودند، مطرح شده بود. با اختراع رایانه‌های الکترونیکی در سال ۱۹۴۳، هوش مصنوعی دانشمندان را به چالشی بزرگ فراخواند. در بادى امر، چنین به‌نظر می‌رسید که این فناوری در نهایت قادر به شبیه‌سازی رفتارهای هوشمندانه خواهد بود.

با وجود مخالفت گروهی از متفکرین با هوش مصنوعی که با دیده تردید به کارآمدی آن می‌نگریستند تنها پس از چهار دهه، شاهد تولد ماشینهای شطرنج باز و دیگر سامانه‌ های هوشمند در صنایع گوناگون هستیم.

نام هوش مصنوعی در سال ۱۹۶۵ میلادی به عنوان یک دانش جدید ابداع گردید. البته فعالیت درزمینه این علم از سال ۱۹۶۰ میلادی شروع شده‌بود.(مرجع۱)

بیشتر کارهای پژوهشی اولیه در هوش مصنوعی بر روی انجام ماشینی بازی‌ها و نیز اثبات قضیه‌هایریاضی با کمک رایانه‌ها بود. در آغاز چنین به نظر می‌آمد که رایانه‌ها قادر خواهند بود چنین اموری را تنها با بهره گرفتن از تعداد بسیار زیادی کشف و جستجو برای مسیرهای حل مسئله و سپس انتخاب بهترین آن‌ها به انجام رسانند.

این اصطلاح (هوش مصنوعی) برای اولین بار توسط جان مکارتی (John Mccorthy) که از آن به‌عنوان پدر «علم و دانش تولید ماشینهای هوشمند» یاد می‌شود استفاده شد.آقای جان مکارتی مخترع یکی از زبانهای برنامه نویسی هوش مصنوعی به نام (lisp)نیز هستند. با این عنوان می‌توان به هویت هوشمند یک ابزار مصنوعی اشاره کرد. (ساختهٔ دست بشر، غیر طبیعی، مصنوعی)

حال آنکه AI به عنوان یک اصطلاح عمومی پذیرفته شده که شامل محاسبات هوشمندانه و ترکیبی (مرکب از مواد مصنوعی) می‌باشد.

از اصطلاح strong and weak AI می‌توان تا حدودی برای معرفی رده‌بندی سیستم‌ها استفاده کرد. AI‌ها در رشته‌های مشترکی چون علم کامپیوتر، روانشناسی و فلسفه مورد مطالعه قرار می‌گیرند، که مطابق آن باعث ایجاد یک رفتار هوشمندانه، یادگیری و سازش می‌شود و معمولاً نوع پیشرفتهٔ آن در ماشینها و کامپیوترها استفاده می‌شود.

آزمون تورینگ

آزمون تورینگ ^[۳] آزمونی است که توسط آلن تورینگ در سال ۱۹۵۰ در نوشته‌ای به نام «محاسبات ماشینی و هوشمندی» مطرح شد. در اين آزمون شرايطي فراهم مي شود كه شخصي با ماشين تعامل برقرار كند و پرسش هاي كافي براي بررسي هوشمندي او بپرسد. چنانچه در پايان آزمايش نتواند تعيين كند كه با انسان در تعامل بوده است يا با ماشين، تست تورينگ با موفقيت انجام شده است. تا كنون هيچ ماشيني از اين آزمون با موفقيت بيرون نيامده است. کوشش این آزمون برای تشخیص درستی هوشمندی یک سیستم است که سعی در شبیه سازی انسان دارد.

تعریف و طبیعت هوش مصنوعی

هنوز تعریف دقیقی که مورد قبول همهٔ دانشمندان این علم باشد برای هوش مصنوعی ارائه نشده‌است، و این امر، به هیچ وجه مایهٔ تعجّب نیست. چرا که مقولهٔ مادر و اساسی‌تر از آن، یعنی خود هوش هم هنوز بطور همه‌جانبه و فراگیر تن به تعریف نداده‌است. در واقع، می‌توان نسل‌هایی از دانشمندان را سراغ گرفت که تمام دوران زندگی خود را صرف مطالعه و تلاش در راه یافتن جوابی به این سؤال عمده نموده‌اند که: هوش چیست؟

اما اکثر تعریف‌هایی که در این زمینه ارایه شده‌اند بر پایه یکی از ۴ باور زیر قرار می‌گیرند:

1.       سیستم‌هایی که به طور منطقی فکر می‌کنند

2.       سیستم‌هایی که به طور منطقی عمل می‌کنند

3.       سیستم‌هایی که مانند انسان فکر می‌کنند

4.       سیستم‌هایی که مانند انسان عمل می‌کنند(مرجع۱)

شاید بتوان هوش مصنوعی را این گونه توصیف کرد:«هوش مصنوعی عبارت است از مطالعه این که چگونه کامپیوترها را می‌توان وادار به کارهایی کرد که در حال حاضر انسان‌ها آنها رابهتر انجام می‌دهند»(مرجع۲).

محققین هوش مصنوعی علاقه‌مند به تولید ماشینی هستند که دستورات مورد نیاز را به صورت هوشمندانه انجام دهد. به عنوان مثال قابلیت کنترل، برنامه‌ریزی و زمان‌بندی، توانایی تشخیص جواب به سوال مصرف کننده،دست نویس‌ها، زبان شناسی، سخنرانی و شناسایی چهره را داشته باشد. مطالعه بر روی یک AI دارد به یک رشتهٔ مهندسی تبدیل می‌شود که کانون مشروط است بر حل مشکلات زندگی واقعی، علم معدن کاری، نرم افزارهای کاربردی، استراتژی بازیها مثل بازی شطرنج و بازیهای ویدئویی یکی از بزرگ‌ترین مشکلات (سختی‌ها) با AIها، قوهٔ درک آنها است.

تاحدی دستگاه‌های تولیدشده می‌توانند شگفت‌انگیز باشند، اما کارشناسان هوش مصنوعی ادعا می‌کنند که ماشینهای هوشمند ساخته‌شده دارای درک واقعی و حقیقی نیستند.

--مشاهده رفتاري هوشمندانه و صحيح از يك سيستم را نمي توان دليلي كافي بر هوشمندي آن سيستم تصوركرد بلكه بايستي به ساختار داخلي و مكانيزم انتخاب راه توسط سيستم توجه شود كه آيا مبتني بر آگاهي خود سيستم است يا نه و اين آگاهي زماني ميسر خواهد بود كه سيستم خود قابليت تحليل اطلاعات در يافتي از محيط را داشته باشد و بتواند رابطه هاي معني داري بين علت و معلول ما بين اتفاقات محيطي ايجاد كند و در واقع قادر به ايجاد مدلي هر چند غير دقيق بر پايه مشاهدات خود از محيط باشد سپس سيستم ايده ارزشمندي از نظرگاه خود توليد بكند و بعنوان خواسته و هدفي سعي در پياده سازي آن بكند يعني در پي پيدا كردن و اتصال ابزارهاي مناسبي به آن هدف باشد تا بتواند آلگوريتم عملياتي براي برآورد آن خواسته توليد نمايد.{

فلسفهٔ هوش مصنوعی

بطور کلی ماهیت وجودی هوش به مفهوم جمع آوری اطلاعات، استقرا و تحلیل تجربیات به منظور رسیدن به دانش و یا ارایه تصمیم می‌باشد. در واقع هوش به مفهوم به کارگیری تجربه به منظور حل مسائل دریافت شده تلقی می‌شود. هوش مصنوعی علم و مهندسی ایجاد ماشینهایی با هوش با به کارگیری از کامپیوتر و الگوگیری از درک هوش انسانی و یا حیوانی و نهایتاً دستیابی به مکانیزم هوش مصنوعی در سطح هوش انسانی می‌باشد.

در مقایسه هوش مصنوعی با هوش انسانی می‌توان گفت که انسان قادر به مشاهده و تجزیه و تحلیل مسایل در جهت قضاوت و اخذ تصمیم می‌باشد در حالی که هوش مصنوعی مبتنی بر قوانین و رویه‌هایی از قبل تعبیه شده بر روی کامپیوتر می‌باشد. در نتیجه علی رغم وجود کامپیوترهای بسیار کارا و قوی در عصر حاضر ما هنوز قادر به پیاده کردن هوشی نزدیک به هوش انسان در ایجاد هوشهای مصنوعی نبوده‌ایم.

بطور کلّی، هوش مصنوعی را می‌توان از زوایای متفاوتی مورد بررسی و مطالعه قرار داد. مابین هوش مصنوعی به عنوان یک هدف، هوش مصنوعی به عنوان یک رشته تحصیلی دانشگاهی، و یا هوش مصنوعی به عنوان مجموعهٔ فنون و راه کارهایی که توسط مراکز علمی مختلف و صنایع گوناگون تنظیم و توسعه یافته‌است باید تفاوت قائل بود.

اتاق چینی

اتاق چینی بحثی است که توسط «جان سیرل» در ۱۹۸۰ مطرح شد در این راستا که یک ماشین سمبل گرا هرگز نمی‌تواند دارای ویژگی‌هایی مانند «مغز» و یا «فهمیدن» باشد, صرف نظر از اینکه چقدر از خود هوشمندی نشان دهد.

مدیریت پیچیدگی

ایجاد و ابداع فنون و تکنیک‌های لازم برای مدیریّت پیچیدگی را باید به عنوان هستهٔ بنیادین تلاش‌های علمی و پژوهشی گذشته، حال، و آینده، در تمامی زمینه‌های علوم رایانه، و به ویژه، در هوش مصنوعی معرّفی کرد. شیوه‌ها و تکنیک‌های هوش مصنوعی، در واقع، برای حلّ آن دسته از مسائل به وجود آمده‌است که به طور سهل و آسان توسط برنامه‌نویسی تابعی (Functional programming)، یا شیوه‌های ریاضی قابل حلّ نبوده‌اند.

در بسیاری از موارد، با پوشانیدن و پنهان ساختن جزئیّات فاقد اهمّیّت است که بر پیچیدگی فائق می‌آییم و می‌توانیم بر روی بخش‌هایی از مسئله متمرکز شویم که مهم‌تر است. تلاش اصلی در واقع، ایجاد و دستیابی به لایه‌ها و ترازهای بالاتر از هوشمندی تجرید را نشانه می‌رود، تا آنجا که، سرانجام برنامه‌های کامپوتری درست در همان سطحی کار خواهند کرد که خود انسان‌ها رسیده‌اند.

به یاری پژوهش‌های گسترده دانشمندان علوم مرتبط، هوش مصنوعی تاکنون راه بسیاری پیموده‌است. در این راستا، تحقیقاتی که بر روی توانایی آموختن زبانها انجام گرفت و همچنین درک عمیق از احساسات، دانشمندان را در پیشبرد این دانش کمک زیادی کرده‌است. یکی از اهداف متخصصین، تولید ماشینهایی است که دارای احساسات بوده و دست کم نسبت به وجود خود و احساسات خود آگاه باشند. این ماشین باید توانایی تعمیم تجربیات قدیمی خود در شرایط مشابه جدید را داشته و به این ترتیب اقدام به گسترش دامنه دانش و تجربیاتش کند.

برای نمونه روباتیی هوشمند که بتواند اعضای بدن خود را به حرکت درآورد، این روبات نسبت به این حرکت خود آگاه بوده و با آزمون و خطا، دامنه حرکت خود را گسترش می‌دهد و با هر حرکت موفقیت آمیز یا اشتباه، دامنه تجربیات خود را وسعت بخشیده و سر انجام راه رفته و یا حتی می‌دود و یا به روشی برای جابجا شدن دست می‌یابد، که سازندگانش برای او متصور نبوده‌اند.

هر چند نمونه بالا ممکن است کمی آرمانی به نگر برسد، ولی به هیچ عنوان دور از دسترس نمی‌باشد. دانشمندان, عموماً برای تولید چنین ماشینهایی، از وجود مدلهای زنده‌ای که در طبیعت وجود، به ویژه آدمی نیز سود برده‌اند.

هوش مصنوعی اکنون در خدمت توسعه علوم رایانه نیز می‌باشد. زبانهای برنامه نویسی پیشرفته، که توسعه ابزارهای هوشمند را ممکن ساخته اند, پایگاه‌های داده‌ای پیشرفته، موتورهای جستجو، و بسیاری نرم‌افزارها و ماشینها از نتایج پژوهش‌هایی در راستای هوش مصنوعی بوده‌اند.

تکنیک‌ها وزبان‌های برنامه نویسی هوش مصنوعی

عملکرد اولیه برنامه نویسی هوش مصنوعی ایجاد ساختار کنترلی مورد لزوم برای محاسبه سمبولیک است زبانهای برنامه نویسی LISP,PROLOG علاوه بر اینکه از مهمترین زبانهای مورد استفاده در هوش مصنوعی هستند خصوصیات نحوی ومعنایی انها باعث شده که انها شیوه‌ها وراه حل‌های قوی برای حل مسئله ارایه کنند. تاثیر قابل توجه این زبانها بر روی توسعه AI از جمله توانایی‌های انها بعنوان«ابزارهای فکرکردن»می باشد . در حقیقت همانطور که هوش مصنوعی مراحل رشد خود را طی می‌کند زبانهای LISP,PROLOGبیشتر مطرح می‌شوند این زبانها کار خود را در محدوده توسعه سیستم‌های AIدر صنعت ودانشگاه‌ها دنبال می‌کنند وطبیعتاً اطلاعات در مورد این زبانها بعنوان بخشی از مهارت هر برنامه نویس AIمی‌باشد. PROLOGیک زبان برنامه نویسی منطقی است .یک برنامه منطقی دارای یک سری ویژگیهای قانون ومنطق است . در حقیقت خود این نام از برنامه نویسی PROدر LOGIC می‌آید . در این زبان یک مفسر برنامه را بر اساس یک منطق می‌نویسد .ایده استفاده توصیفی محاسبهٔ اولیه برای بیان خصوصیات حل مسئله یکی از محوریتهای مشارکت PROLOGمی باشد که برای علم کامپیوتر بطورکلی وبطور اخص برای زبان برنامه نویسی هوشمند مورد استفاده قرار می‌گیرند . LISP اصولاً LISP یک زبان کامل است که دارای عملکردها ولیست‌های لازمه برای توصیف عملکردهای جدید, تشخیص تناسب وارزیابی معانی می‌باشد LISP به برنامه نویس قدرت کامل برای اتصال به ساختارهای اطلاعاتی را می‌دهد گر چه LISP یکی از قدیمی ترین ترین زبانهای محاسباتی است که هنوز فعال است ولی دقت کافی در برنامه نویسی وطراحی توسعه باعث شده که این یک زبان برنامه نویسی فعال باقی بماند . در حقیقت این مدل برنامه نویسی طوری موثر بوده‌است که تعدادی از دیگر زبانها براساس عملکرد برنامه نویسی آن بنا شده‌اند :مثل . FP,ML, SCHEME یکی از مهمترین برنامه‌های مرتبط با LISP برنامه SCHEME می‌باشد که یک تفکر دوباره در باره زبان در آن وجود دارد که بوسیله توسعه AI وبرای آموزش واصول علم کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

عامل‌های هوشمند

مقالهٔ اصلی: عامل‌های هوشمند

عامل‌ها (Agents) قادر به شناسایی الگوها، و تصمیم گیری بر اساس قوانین فکر کردن خود می‌باشند. قوانین و چگونگی فکر کردن هر عامل در راستای دستیابی به هدفش، تعریف می‌شود. این سیستم‌ها بر اساس قوانین خاص خود فکر کرده و کار خودرا به درستی انجام می‌دهند. پس عاقلانه رفتار می‌کنند، هر چند الزاما مانند انسان فکر نمی‌کنند.

سیستم‌های خبره

مقالهٔ اصلی: سیستم‌های خبره

سیستم‌های خبره زمینه‌ای پرکاربرد در هوش مصنوعی و مهندسی دانش است که با توجّه به نیاز روز افزون جوامع بر اتخاذ راه حل‌ها و تصمیمات سریع در مواردی که دانش‌های پیچیده و چندگانهٔ انسانی مورد نیاز است، بر اهمیت نقش آنها افزوده هم می‌شود. سیستم‌های خبره به حل مسائلی می‌پردازند که به طور معمول نیازمند تخصّص‌های کاردانان و متخصّصان انسانی‌ست. به منظور توانایی بر حل مسائل در چنین سطحی (ترازی)، دسترسی هرچه بیشتر اینگونه سامانه‌ها به دانش موجود در آن زمینه خاص ضروری می‌گردد.

ادامه نوشته

معادله

معادله (واژه فارسی: هَمچَند یا هَموگـِش) در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نماد‌هاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.

تعریف معادله در ریاضیات

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده‌ می‌شوند. مثلاً معادله

x − x = 0

اتحاد است چون x هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله

x + 1 = 2

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار x عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، "جواب معادله" می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" می‌نامند.

حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

x + 1 − 1 = 2 − 1

x = 1

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است.

 

لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی که قبلاً به عنوان لگاریتم هیپربولیک شناختم، لگاریتمی است که پایه آن e است که ث ثابت مشخصی است که تقریباً برابر 218281820/2، لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همه اعداد حقیقی مثبت x که در ناحیهٔ زیر منحنی y = 1/t از 1 تا x تعریف نمود و همچنین برای اعداد مختلط غیر صفر که در زیر توضیح داده خواهد شد می‌توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین به عنوان تابع معکوس تابع نمایی که منجر به همانی می‌شود می‌توانیم تعریف شود.

0\,\!" type="#_x0000_t75">

به بیان دیگر تابع لگاریتم یک نگاشت دو سویی است از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه همه اعداد حقیقی، دقیق‌تر این است که یک ایزومورفیسم (یکریختی) از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است. لگاریتم می‌تواند برای هر پایهٔ مثبتی غیر از 1 تعریف شود، نه فقط e. برای حل معادلات پدیده‌های ناشناخته به عنوان توانی از بعضی مقادیر دیگر (حدود دیگر) ظاهر می‌شوند، مفید است.

ادامه نوشته

دیوفانت

دیوفانت اسکندرانی (به یونانی:‎Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ‏) از ریاضیدانان قدیم است که در حدود قرن سوم عصر حاضر می‌زیسته‌است.

شرح زندگی

از کسانی که اهمیت وافری در بسط جبر و تأثیری عظیم بر دانشمندان اروپایی نظریه اعداد داشتند، دیوفانت بود. دیوفانت، همچون هرون، ریاضیدان دیگری با تاریخ و ملیت نامعلوم است.

گرچه شواهد ضعیفی وجود دارند مبنی بر اینکه وی شاید از معاصرین، یا تقریباً از معاصرین هرون بوده‌است، اغلب مورخین مایلند او را در قرن سوم عصر حاضر قرار دهند. سوای این حقیقت که او در اسکندریه زندگی می‌کرده‌است چیز قطعی در باره وی معلوم نمی‌باشد. تقریباً همه آنچه از زندگی شخصی دیوفانت می‌دانیم اطلاعات موجود در یک معما است که در خلاصه زیر از کتیبه گوری که در آنتولوژی یونانی داده شده‌است، مندرج است:

«دیوفانت یک ششم زندگانی خود را در کودکی به سر برد، یک دوازدهم آن را در جوانی و یک هفتم دیگر را در تجرد. پنج سال بعد از ازدواج صاحب پسری شد که چهار سال پیش از پدر، در سنی که نصف سن (نهایی) پدرش بود، در گذشت.دیوفانت به هنگام وفات چند سال داشت؟»

او به خاطر مطالعات خود در زمینه معادلاتی با متغیرهای گویا بسیار مشهور است و این معادلات پس از او به نام معادلات دیوفانتی یا معادلات سیاله نامیده شدند. دیوفانت سه اثر نوشته‌است:

·         آریثمتیکا (Arithmetica) یا همان علم حساب، مهم‌ترین اثر وی است که ۶ مقاله از ۱۳ مقاله آن باقی است.

·         درباره اعداد چند ضلعی (On Polygonal Numbers) که تنها قطعه‌ای از آن باقی است.

·         پوریسم‌ها که مفقود شده‌است. پوریسم (Porism) امروزه به عنوان گزاره‌ای گرفته می‌شود، بیانگر شرطی که مسئله معینی را قابل حل می‌گرداند، و در این صورت مسئله بینهایت جواب دارد. برای مثال اگر r و R شعاع‌های دو دایره و d فاصله بین مراکز آنها باشد، مسئله محاط کردن مثلثی در دایرهٔ به شعای R که بر دایره به شعاع r محیط شود، فقط و فقط وقتی قابل حل است که R² = 2rπ، و در این صورت بینهایت مثلث از این قبیل وجود خواهد داشت. این واژه توسط اقلیدس به کار رفته‌است.

آریثمتیکا شارحین بسیاری داشته‌است، اما رگیومونتانوس (Regiomontanus) بود که در سال ۱۴۶۳، برای ترجمه لاتین متن یونانی آن دعوت به عمل آورد. ترجمه شایسته‌ای از آن، همراه با شرح، در ۱۵۷۵ توسط کسیلاندر (Xylander) -نامی یونانی که ویلهلم هولتسمان (Wilhelm Holzmann) ، استادی در دانشگاه هایدلبرگ اختیار کرده بود-انجام شد. این ترجمه به نوبه خود توسط باشه دومزیریاک (Bachet de Meziriac) فرانسوی مورد استفاده قرار گرفت و وی در ۱۶۲۱ اولین چاپ متن یونانی را همراه با ترجمه لاتین و حاشیه‌هایی بر آن منتشر کرد. چاپ دومی، که با بی‌مبالاتی صورت گرفته بود، در ۱۶۷۰ انتشار یافت، و از نظر تاریخی بدان سبب اهمیت دارد که حواشی نوشته شده توسط فرما را که انگیزه تحقیقات گسترده‌ای در نظریه اعداد شد، شامل می‌شد. ترجمه‌های فرانسوی، آلمانی و انگلیسی بعدها ظاهر شدند.

آریثمتیکا یک بررسی تحلیلی از نظریه جبری اعداد است و دلالت بر چیره‌دستی مؤلف آن در این زمینه دارد. بخش موجود این اثر به حل حدود ۱۳۰ مسئله، که تنوع قابل ملاحظه‌ای دارند، اختصاص یافته‌است و منجر به معادلاتی از درجه اول و دوم می‌شوند. در این اثر حالت بسیار خاصی از معادله درجه سوم حل شده‌است. مقاله اول به معادلات معین با یک مجهول مربوط است، و مقاله‌های دیگر به معادلات نامعین (سیاله) از درجه دوم و گاهی بیشتر، با دو یا سه مجهول می‌پردازند. آنچه قابل توجه‌است فقدآن روشهای کلی، و کاربردهای مکرر تدابیر هوشمندانه‌ای است که به اقتضای هر مسئله طرح می‌شوند. دیوفانت تنها جوابهای گویای مثبت را قبول داشت و اغلب حالات فقط به یک جواب برای مسئله قانع بود.

چند قضیه موثر درباره اعداد در آریثمتیکا وجود دارند. مثلاً، بدون برهان ولی با اشاراتی به پوریسم‌ها، گفته می‌شود که تفاضل دو مکعب گویا مجموع دو مکعب گویا نیز هست. مطلبی که بعداً توسط ویت، باشه و فرما تحقیق شد.

قضایای زیادی درباره نمایش اعداد به صورت مجموع دو، سه یا چهار مربع وجود دارند، این زمینه تحقیق بعدها به وسیله فرما، اویلر و لاگرانژ تکمیل شد. شاید ذکر برخی از مسائلی که در آریثمتیکا دیده می‌شوند جالب باشد، همه آنها جذاب و بعضی از آنها مستلزم تلاش فراوان هستند. باید در نظر داشت که منظور از «عدد»، «عدد مثبت گویا» است. (شماره گذاری مسائل به همان ترتیبی است که در Diophantus of Alexandria چاپ دوم به کار رفته‌است)

·         مسئله ۲۸، مقاله ۲: دوعدد مربع کامل بیابید که اگر حاصلضرب آنها بر هریک از آنها افزوده شود، یک مربع کامل عاید نماید.

(جواب دیوفانت: )

·         مسئله۶، مقاله ۳: سه عدد پیدا کنید که مجموع آنها یک مربع کامل و مجموع هر زوج آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانت: ۸۰، ۳۲۰، ۴۱)

·         مسئله۷، مقاله ۳: سه عدد که تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند، پیدا کنید که مجموع هر زوج از آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانت: )

·         مسئله۱۳، مقاله ۳: سه عدد بیابید که وقتی حاصلضرب هر دو تا از آنها به سومی افزوده شود، حاصل یک مربع کامل باشد.

همانطور که گفته شد مسایل جبری نامعین (معادلات سیاله) که در آن تنها باید جوابهای گویا را یافت، به مسایل دیوفانتی معروف شده‌اند. در واقع، موارد استفاده امروزی این اصطلاح اغلب متضمن تحدید جوابها به اعداد صحیح است. اما دیوفانت خود ابداع کننده مسایلی از این قبیل نبوده‌است. همچنین بر خلاف آنچه گاهی گفته می‌شود، اولین کسی نبوده‌است که با معادلات سیاله کار کرده‌است، و اولین کسی نبوده‌است که معادلات درجه دوم را به روش غیر هندسی حل کرده‌است. با این حال وی شاید اولین کسی بوده که گامهایی در جهت نماد گذاری جبری برداشته‌است. این گامها ماهیتاً از نوع علائم اختصاری تندنویسی بودند.

دیوفانت علائم اختصاری برای مجهول، توانهای مجهول تا مرتبه ششم، تفریق، تساوی، و معکوسها داشت. کلمه «آریثمتیک» در انگلیسی کنونی (arithmetic) به معنی علم حساب، از کلمه یونانی آریثمتیکه (arithmetike) ترکیبی از کلمات آریثموس (arithmos) برای «عدد» و تکنه (techne) برای «علم»، ناشی می‌شود.

هیث به طور نسبتاً متقاعد کننده‌ای خاطر نشان کرده‌است که نماد دیوفانت برای مجهول احتمالاً از ادغام دو حرف یونانی ρ,α در کلمه آریثموس مشتق شده‌است، که با گذشت زمان، به سیگمای نهایی نهایی یونانی ς شباهت پیدا کرده‌است. با وجود اینکه در این مورد تردید وجود دارد، معنی نماد برای توانها مجهول کاملاً روشن است.

مثلاً «توان دوم مجهول» با Δ^Υ دو حرف اول کلمه یونانی «دونامیس» (dunamis-ΔΥΝΑΜΙΣ) برای «توان» نشان داده می‌شود. همینطور «مکعب مجهول» با κ^Υ، دو حرف اول کلمه یونانی «کوبوس» (kubos-ΚΥΒΟΣ) برای «مکعب» نشان داده می‌شود.

می‌توان به سادگی توضیحاتی برای توان‌های بعدی مجهول داد، Δ^ΥΔ (مربع-مربع) ، Δκ^Υ (مربع-مکعب) و κ^Υκ (مکعب-مکعب) عرضه کرد.

نماد دیوفانت برای «منها» شبیه علامت V برعکس است که نیمساز زاویه آن رسم شده باشد. این به عنوان ترکیبی از «Λ» (لاندای بزرگ یونانی) و «Ι» (اوتای بزرگ یونانی) ، حروفی در کلمه یونانی لایپیس (ΛΕΙΨΙΣ) برای «فاقد بودن» تعبیر شده‌است. کلیه جملات منفی در یک عبارت یکجا جمع می‌شوند و نماد منها پیش از آن‌ها می‌آید. جمع با پهلوی هم نهادن نشان داده می‌شود، و ضریب هر توان مجهول با ارقام یونانی الفبایی بعد از نماد توان، نمایش داده می‌شود. اگر جمله ثابتی موجود باشد آنگاه M، مخففی از کلمه یونانی «مونادس» (monades-ΜΟΝΑΔΕΣ) ، برای «آحاد»، باضریب عددی مناسب، برای نمایش آن به کار می‌رود.

مثلاً x³+13x²+5x و x³-5x²+8x-1 به صورت:

ظاهر می‌شوند که به طور تحت الفظی چنین خوانده می‌شوند: «مکعب مجهول ۱، مربع مجهول ۱۳، مجهول ۵» و « (مکعب مجهول ۱، مجهول ۸) منهای (مربع مجهول ۵، آحاد ۱) »

                                                                    عرفان                  

اعداد مرسن

اعداد اول مرسن اعداد اولی از نوع 2ⁿ − 1 هستند.

در ریاضی سنت شده است که اعداد بصورت M(n) = 2ⁿ − 1 را به مناسبت نام کشیش فرانسوی مارین مرسن (Marin Mersenne) ، اعداد مرسن نامیده می‌شود. چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 2147483647 و ... که متناظر هستند با ... ,89 ,61 ,31 ,19 ,17 ,13 ,7 ,5 ,3 ,2 =n

 

 

 

اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه

قضیه1: اگر M_n اول باشد, n نیز باید خود اول باشد. اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است(برهان خلف) یعنی به ازای n مرکبی, 2ⁿ − 1 اول است؛ در این صورت, می‌توان n را به صورت ضرب دو عدد غیر یک n = rs نوشت؛ پس:

پس اگر s زوج باشد, طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می رسیم و n باید اول باشد.

اعداد مرسن واعداد کامل(تام)

بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت است که برابر است ( p تا یک دارد). تعریف: عدد کامل(تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود, به جز خودش, برابر باشد؛ معروفترین آنها : 6=3+2+1 و 28=14+7+4+2+1 هستند

قضیه2: هر عدد کامل به صورت (2^p − 1)(2^{p − 1}) است که 2^p − 1 اول است. این ها اعداد به شکل 2^p − 1 مرسن هستند و متعاقباً توان های آن ها (p)اول است. پس با یافتن هر عدد کامل, می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود. این آزمایش, فوراً نشان می‌دهد که M_p به ازای p=11,23,83,131,179,191,239,251 مرکب است (به ترتیب با عوامل اول 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479 و 503).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی M_p آزمایش لوکاس- لمر است:

ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می کنیم:

1.        اگر به پیمانه 4 و n اول باشد, در این صورت 2n+1 | Mn , اگر 2n+1 اول باشد.

2.       همچنین این درست است که عوامل اول 2^p − 1 باید شکل 2kp+1 داشته باشند که k یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل 8n+1 یا 8n-1 را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت 1939).

3.     یک عامل اول p از یک عدد مرسن M_p = 2^p − 1 (چه اول و چه مرکب), در صورتی عدد ویفریچ اول است که p² | 2^p − 1 . بنابراین, یک عدد مرسن نمی‌تواند عدد ویفریچ اول باشد.

 

 

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

می دانیم تمام اعداد کامل, به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟ اگر این چنین عددي وجود داشته باشد, در این صورت, به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد, این عدد حداقل بر هشت عدد اول بخش پذیر است و حداقل 37 عامل اول دارد (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری 300 رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از 1020 دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نا محدودی عدد کامل زوج است.جواب این است که احتمالاً بله (زیرا سری هارمونیک وا گراست).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

نظریه اولر: اگر k>1 باشد و p = 4k+3 اول باشد, در این صورت p² | 2^p − 1 نیز اول است, اگر و تنها اگر باقی مانده تقسیم 2p بر p² | 2^p − 1برابر 1 باشد.

همچنین اگر p = 4k+3 باشد و p² | 2^p − 1اول باشد, در این صورت عدد مرسن p² | 2^p − 1 مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که که تعداد اعداد اولی که به ازای p به صورت 2p+1 باشد, بی نهایت است).

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

بیتمن, سلفریج و واگستاف, حدس زیر را زده اند: فرض کنیم p هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول - که در زیر آمده است- برقرار باشد, گزاره سوم برقرار خواهد بود:

1. p = 2^k + / − 1,p = 4^k + / − 3
2. p = 2^k − 1 عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است.).
3. عددی اول است.

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال های جواب داده نشده است . به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول p بر یک عدد مرسن تقسیم شود, در این صورت p یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.

اگر دنباله‌ای به این صورت باشد که و A₀ = 2 , آیا همه این دنباله اول هستند؟ دیکـسون کاتـالان, در پاسخ این سؤال در سال 1876, به لوکاس اظهـار داشــت که 1-127^2(A₄ ), به این ترتیب اول است. همان طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع, بزرگ می‌شوند:

C0 = 2 (اول)

C1 = 3 (اول)

C2 = 7 (اول)

C3 = 127 (اول)

C4 = 170141183460469231731687303715884105727 (اول)

...C5 > 1051217599719369681879879723386331576246 (سوال:آیا این عدد اول است؟)

به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر یک عدد زوج و مرکب در این دنباله پیدا شود, طبق نظریه اول, تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.

تاریخچه

درسال 1963 کشف شد که 1-11213^2 اول است, و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا, ایلینیوس اعلام شد. یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ولتمن به پا شده است که به GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن, از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت های مختلفی از تحقیقات استفاده می‌کنند. در 17 نوامبر 2003, یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن،کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد. تلاش های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت, تا فوریه همین سال, شرکت کنندگان GIMPS, تمام توان های قبل از 9,889,900 را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کردند.

 

اعداد قدرتمند

عدد طبیعی مثبت n قدرتمند است اگر به ازای هر عدد اول p که بر n بخش پذیراست، عدد p² نیز بر n بخشپذیر باشد. می‌توان نشان داد هر عدد قدرتمند مانند m را می‌توان بصورت a²b³ نوشت که a, b هر دو اعدادی طبیعی هستند. ( در این تعریف اشکالی وجود دارد و آن این که عدد اول بر هیچ عددی بجز 1 و خودش بخشپذیر نیست چه برسد به n )

در زیر لیستی از اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰۰ را می‌بینیم:

۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲, و ۱۰۰۰.

همچنین جفت‌های متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:

(۸٬۹), (۲۸۸٬۲۸۹), (۶۷۵٬۶۷۶), (۹۸۰۰٬۹۸۰۱), (۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸), (۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵), (۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹) و (۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵).

اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیرا نشان داده شده‌است که ۳ حکم زیر معادلند (قضیه مولین و والاش):

1. سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
2. عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت p² − q = 1 وجود دارند.
3. عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که و و k عدد طبیعی فردی است که T_k kامین عدد زوج قدرتمند است و U_k kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.

• گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت (4k-1,4k+1) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید بصورت (4k-1,4k.4k+1) باشند.
• گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بی‌نهایت عدد اول p وجود دارد که p² مضربی از 2^p − 2 نباشد.

هندسه ریمانی

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که بررسی خمینه های ریمانی می‌پردازد. یک خمینه ریمانی خمینه ایست که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد یعنی یک ضرب داخلی در فضای مماس بر هر نقطه خمینه که بطور هموار تغییر می‌کند. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه گذاری شد. هندسه ریمانی در نظریه نسبیت عام نقش اساسی دارد. هندسه ریمانی مهمترین و پرکاربرد ترین شاخهء هندسه دیفرانسیل می‌باشد.

 

 

 

برنهارد ریمان

اتحاد(قابل توجه دبیرستانی ها)

مقدمه و معرفی

---

در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم.
به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود.
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است.
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:

اتحادهای مهم جبری

---

در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و... بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم.

اتحاد مربع مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

---

مثال:

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند.

---

مثال:

اتحاد مربع سه جمله

---

مثال:

تعمیم اتحاد مربع چند جمله

---

مثال:

اتحاد مزدوج

---

مثال:

• لازم به توضیح است اگر داشته باشیم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول یعنی a+b می گویند.

اتحاد جمله مشترک

---

مثال:

تعمیم اتحاد جمله مشترک

• این روال به همین ترتیب برای حالات دیگر هم برقرار است.

---

مثال:

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

• لازم به توضیح است که این اتحاد فقط برای حالتی برقرار ست که توان n عدد طبیعی فرد باشد.

---

مثال:

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:

• لازم به توضیح است این این اتحاد برای هر عدد طبیعی n برقرار است.

---

مثال:

اتحاد اویلر

• برهان:

• صورتی دیگر از اتحاد اویلر:

• برهان:

• نتایج اتحاد اویلر:
  • اگر a+b+c=0 آنگاه
  • اگر a=b=c آنگاه

---

مثال:

همچنین اگر باشد آنگاه داریم:

اتحاد لاگرانژ

---

مثال:

• علاوه بر اتحاد های جبری ذکر شده هر عبارت دیگر که برای هر مقدار از دامنه برقرار باشد را نیز می توان به عنوان اتحاد دانست. به عنوان مثال از مهمترین این اتحاد ها، اتحاد های مثلثاتی می باشند.

نظربه احتمال

احتمال یکی از چندین کلمه ای است که برای بیان اتفاقات یا معلومات مشکوک به کار می رود. البته شانس، شرط بندی دیگر کلمات شبیه این، مفاهیمی مشابه احتمال را در ذهن ایجاد می کنند. در نظریه احتمال سعی بر ارائه مفهوم احتمال است.امروزه نظریه احتمال با بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات و بسیاری از حوزه های علوم طبیعی، تکنولوژی، و اقتصاد مرتبط است.

ملاحظات تاریخی

آغاز نظریه احتمال به اواسط قرن هفدهم باز می گردد. شرط بند با حرارتی با نام شوالیه دومره (de mere) حل مسئله ای را، که برایش مهم بود، از بلز پاسکال درخواست کرد.

شرط بند با معلوم بودن این مطلب که در یکی از مراحل میانی بازی، یکی از آنها دور و دیگری دور راه برده باشد، و ، طبق قرار قبلی، اولین کسی که دور را ببرد برنده کل بازی باشد. پاسکال راه حل خود را با پی یردو فرما که او نیز راه حلی برای این مسئله به دست آورد. درمیان گذاشت و راه حل سوم از کریستین هویگنس (1629ـ 1695) به دست آمد. مردان فرهیخته مزبور، اهمیت مسنله مزبور را در بررسی قوانین حاکم بر پیشامدهای تصادفی دریافتند. به این ترتیب، مفاهیم و روش های اولیه علمی جدید، از مساله های مربوط به بازی های شانسی گسترش یافت.
خیلی بعد، در قرن نوزدهم، توجه به سرعت افزاینده در علوم طبیعی، گسترش نظریه احتمال را به مواردی غیر از چهارچوب بازی های شانسی ضروری ساخت. گسترش مزبور رابطه ای تنگاتنگ با نام های ژاکوب برنولی (1654ـ1705)، آبراهام دوموآور (1667ـ1754)، پیرسیمون دولاپلاس (1749ـ 1827)، کارل فردریش گاوس (1777ـ 1855)، سیمون دنیس پواسون (1781ـ 1840)ف پافنونی لووبچ چبیشف (1821ـ1894)، آندری آندری ویچ مارکوف (1856ـ1922)، و در همین اواخر با اسامی الکساندر یاکوف لویچ خین چاین (1894ـ 1959) و اندری نیکولائویچ کولموگوروف (متولد 1903) داشته است.
تحقیق در پیشامدهای انبوه با بررسی قوانین حاکن بر پیشامدهای تصادفی مرتبط است. به عنوان مثال، تولید کالایی که موارد کاربرد روزانه دارد پیشامد انبوه و ظهور کالایی معیوب در میان آنها پیشامدی تصادفی است.

پیشامد

پیشامد E ، به مفهوم پیشامد تصادفی ، نتیجه آزمونی است که گرچه میتواند رخ دهد ولی این رخ داد ضروری نیست . یک آزمون می تواند مشاهده یا آزمایش باشد و با مجموعه ای از شرایطی که باید برقرار شوند و با استفاده از تکرارپذیری مشخص می شود . حالت های حدی نیز به عنوان پیشامد در نظر گرفته می شوند : پیشامدحتمی ، پیشامدی است که به طور قطع رخ می دهد و پیشامد ناممکن، که هیچ گاه رخ نمی دهد از این قبیل اند. به عنوان مثال در انداختن یک تاس پیشامد آمدن عدد 7 یک پیشامد ناممکن پیشامد آمدن عدد 1 تا6 یک پیشامدحتمی است.
پیشامدها را دو به هر ناسازگار می گوئیم اگر تنها یکی از آنها به عنوان نتیجه آزمون بتواند رخ دهد . به عنوان مثال در بیرون آوردن یک مهره از ظرفی که محتوی مهره های قرمز و سیاه است ، بیرون آوردن مهره قرمز و سیاه است ، بیرون آوردن مهره قرمز و بیرون آوردن مهره سیاه ، ناسازگارند زیرا آن به طور همزمان نمی توانند رخ دهند.
هر گاه دو پیشامد مانند E1 و E2، دستگاه کامل پیشامد ها را تشکیل دهند هر یک از آنها متمم دیگری است به عنوان مثال در انداختن یک سکه ،"شیر" و "خط" متمم اند.

تعریف کلاسیک احتمال

اگر چه نظریه اصل موضوعی احتمال موجود است ، قوانین مهم احتمال را می توان از تعریف کلاسیک آن بدست آورد.

تعریف کلاسیک احتمال : اگر آزمونی بتواند در n پیشامد برابر – محتمل نتیجه شود و اگر m مورد از این پیشامدها برای پیشامد E مطلوب باشند احتمال ظهور پیشامد E عبارت است از:

همواره دو اصل زیر برای احتمال پیشامدهای مختلف برقرار است.

1) همواره عددی بین 0 و1 ست
2) احتمال پیشامد قطعی برابر 1 و احتمال پیشامد نا ممکن برابر صفر است.

چارلز ببیج

 

چارلز ببیج

چارلز ببیج
تولد	۲۶ دسامبر ۱۷۹۱ لندن، انگلیس
مرگ	۱۸ اکتبر ۱۸۷۱ (۷۹ سالگی) ماریلبونه، لندن، انگلیس
زمینه فعالیت	ریاضیات، فلسفه تحلیلی، علوم رایانه
ملیت	انگلیسی
محل زندگی	انگلیس

چارلز بابیج (به انگلیسی: Charles Babbage) (یا بـَبـِج) (1791-1871) یک فیلسوف تحلیلگر و ریاضیدان انگلیسی و نخستین کسی بود که ایده یک ماشین محاسبه گر برنامه‌پذیر را ارائه داد. وی در سال 1820 طراحی ماشین محاسبه گر خود را آغاز نمود ؛ ماشینی که بعدهابه نام ماشین تفاضلی معروف شد. بابیج ایده و وقت بسیار زیادی را صرف کرد تا بتواند ماشین محاسبه گر مکانیکی را طراحی کند که اولا: بتواند به صحت نتایج اعلام شده به وسیله او اطمینان داشت و دوم: این که زمان طولانی را که صرف محاسبات پیچیده و طولانی می‌شدرا کاهش دهد.وی برای این کار طرحهایی مبتنی بر ساختارهای مکانیکی متنوع طراحی و با ارائه آن به دولت وقت انگلستان آنها را راضی کرد تا روی ساخت این ابزار مهم سرمایه گذاری کنند . نتیجه مذاکرات وی با دولت 17 هزار پوند حمایت مالی بود که از طرح او به عمل آمد. با این کمک مالی و همین طور استفاده از مجموعه‌ای از مهندسان و صنعتگران ، وی زمانی طولانی را صرف ساخت ابزارهای لازم برای بدنه نهایی ماشین تفاضلی خود کرد اما برخلاف انتظار ، وی به نتیجه جالبی نرسید و حتی نتوانست نمونه کاملی از ماشین خود را ارائه کند.بخش‌هایی از سازوکارهای ناتمام ساخت او در موزه دانش لندن به نمایش درآمده است. در سال ۱۹۹۱ بر پایه طرح‌های اصلی بابیج یک دستگاه تفاضلی (Difference engine) ساخته شد که بخوبی کار می‌کرد. این امر نشان داد که دستگاه بابیج درصورتی‌که کامل می‌شد می‌توانست بخوبی کار کند. وی همان سالها روی طرح ماشین پیچیده تری هم کار می‌کرد که نام ماشین تحلیلی بر آن گذشته بود. شاید یکی از عواملی که به بابیج اجازه نداد تا طرح ماشین تفاضلی خود را نهایی کند،کار هم‌زمان روی 2 طرح بسیار زمانگیر بود اما بدون توجه به نتیجه کار طرح و ایده ماشین تحلیلی ، در های جدیدی به روی چشم انداز آیندهٔ دنیای رایانه گشود.بابیج برای این که ابزار تحلیل گرش بتواند چیزی فراتر از یک ماشین حساب میکانیکی باشد مجبور شد برخی ایده‌ها را وارد سیستم طراحی خود کند که سالها بعد به عنوان سنگ بنای محاسبات رایانه‌های جدید تر به حساب آمدند. از جمله این موارد می‌توان به کارت های پانچ شده در این دستگاه اشاره کرد . بابیج پیشنهاد کرده بود که در این ابزار از دو گونه کارت سوراخ دار یا پانچ شده استفاده شود.با کمک یک دسته از این کارتها (که به عنوان ورودی سیستم عمل می‌کردند) اعدای که باید محاسبات روی آن انجام می‌گرفت به دستگاه داده می‌شد و با کمک کارت های دوم نوع عملیاتی که باید روی اعداد به انجام برسد مشخص می‌شد. بدین ترتیب ماشین با گرفتن فرمان از این ورودی های خاص و با کمک ابزارهایی مکانیکی به تحلیل داده‌ها و اعلام نتیجه نهایی می‌پرداخت. حتی امروز هم بسیاری از محققان مطمئن نیستند که با استفاده از فناوری رایج در زمان بابیج واقعهٔ ساخت این ابزار امکان پذیر بوده است یا نه، اما مهم‌تر از ساخت این ابزار توسط وی ایده آن بود . در نسل بعدی ماشین های محاسب ، کارتهای پانچ شدهٔ بابیج به عنوان یکی از ورودی های اصلی شناخته می‌شد و حتی تا همین اواخر و پیش از آن که کاربرد کامپیوتر های خانگی همه گیر شود ، از این ابزار به عنوان یک ورودی استاندارد استفاده می‌شد.کار عظیم بابیج اگر چه هیچگاه در طول زندگی وی از حد طرح و ایده اولیه خارج نشد و او هم هیچگاه نتوانست نتیجه کار ماشین محاسبه گر خود را ببیند، اما توانست امکانپذیر بودن برخی گذینه‌های به‌نظر نا ممکن را اثبات کند . گام بابیج نسبت به طرح و ابزاری که پاسکال در سال 1642 در پاریس ساخته بود فراتر بود. رایانه بر اساس موتور تجزیه و تحلیل(آنالیتیکال) چارلز بابیج Charles Babbage پایه ریزی شده است. اين ايده در قرن هجدهم شکل گرفت، در دههٔ 1940 به بهره برداری رسید و تا دههٔ 1980 استفادهٔ رایانه فراگير شد. این پیشرفت با تغییر موضع از پردازش دسته‌ای به پردازش تعاملی و معرفی اینترنت هم‌زمان گردید

زندگينامة ابوريحان بيروني

ابوريحان محمد بن احمد بيروني ، نابغة نامدار ، نمونة مثالي زدني متفكران هوشيار و معتقد ايراني و بي‌شك يكي از بزرگترين دانشمندان جهان در تمامي اعصار است .

اين محقق جسور در سوم ذي حجة سال 362 هجري قمري در «بيرون» خوارزم (ناحية مصب آمودريا در ساحل جنوبي درياچة آرال) در خانواده‌اي خوارزمي تبار ، گمنام و شيعه مذهب (احتمالاً شيعه زيديه) به دنيا آمد . وي سالهاي آغازين عمر را در زادگاهش سپري كرد و به خوارزمشاهيان معروف به آل عراق كه در «كاث» فرمانروا بودند ، پيوست . ابونصر منصور بن علي عراق كه از خاندان شاهية خوارزم و از رياضيدانان و منجمان بزرگ ايراني بود ، تعليم و تربيت بيروني را بر عهده گرفت و بعدها رساله‌هاي مختلف رياضي خويش را به نام و براي شاگرد دانشورش نوشت .

ابوريجان از همان آغاز جواني مشغول تحققيق و تأليف شد . خود نوشته است . كه در حدود سال 380 هجري قمري ، يعني هنگامي كه تقريباً 18 ساله بود ، به رصد مي‌پرداخت . وي همچنان با ديگر دانشمندان هم عصرش مراودات و مكاتبات علمي داشت و مكاتبات علمي بيروني و ابن سينا با يكديگر بسيار مهم و معروف است .

ابوريجان تا حدود 23 سالگي در خوارزم و ظاهراً در رصد خانه‌اي مشغول تحقيق بود و حدوداً در سال 385 هجري قمري ، پس از انقراض خاندان آل عراق به دست مأمون بن محمد ، والي جرجانيه     (گرگانج) ، و قتل ابو عبدالله محمد بن احمد ، آخرين حكمران آل عراق ، به ناچار زادگاهش را ترك كرد و تا چند سال از شهري به شهر ديگر رفت . در خلال همين سفرها به ري رفت و چنان كه خود در مقدمة كتاب مقاليد علم الهيئه نوشته است ، در انجا با ابو محمود خجندي و كوشيار بن لبان گيلي ملاقات كرد .

ادامه نوشته

اصول شمارش

یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می گیرد. ولی به نظر می رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می شود.
یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه هایی چون نظریه کدگذاری، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتمها (در علم کامپیوتر) دارد.

قواعد

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می کنیم قاعده های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مساله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد:

قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد،آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.

توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی درباره جامعه شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر درباره این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد.
مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است.
مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی درباره توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست درباره نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است درباره نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا درباره تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب: اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.