.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::.

.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::.

 

الف: مجموعه عددهای صحیح

عدد صحیح:(integer)

صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1� , 2� , ... را یک عدد صحیح       می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی �عدد صحیح� گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

 

نمایش مجموعه عددهای صحیح:

برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی

.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::.

 

الف: مجموعه عددهای صحیح

عدد صحیح:(integer)

صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1� , 2� , ... را یک عدد صحیح       می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی �عدد صحیح� گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

 

نمایش مجموعه عددهای صحیح:

برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:

دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.

اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:

الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:

ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:

ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:

{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A

مثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:

الف):

 

حل:  مجموعه A بیان می کند : � x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.� . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :

{ 1- و 1+} =A

 

 

ب):

 

حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.

(2^x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x  به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:

{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B

 

جمع عددهای صحیح:

الف) جمع با توجه به بردار:

مثال: جمع متناظر با بردار را بنویسید.

 

حل:

( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار)

 ( 3+ )  =     ( 5+ )   +   ( 2- )

 

ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.

2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.

3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.

مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)

 

یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:

11-=(4+7)-=(4-)+(7-)

5-=(10-15)-=(10+)+(15-)

4-=(8-12)-=(12-)+(8+)

 

تفریق عددهای صحیح:

الف) تفریق با استفاده از بردار:

مثال:  تفریق متناظر با بردار را بنویسید.

 

 

حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)

                           ( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )

 

ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار:

 برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:

a-b = a+(-b)

مثال:

22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)

 

---

 

ب: مجموعه عددهای گویا

عدد گویا: (rational Number):

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 که به ترتیب به شکل کسرهای نوشته می شوند ، را یک عدد گویا می نامیم.

 

مجموعه عددهای گویا:

 این مجموعه شامل تمام اعداد گویا است، این مجموعه را با حرف Q که حرف اول کلمه Quotient  است، نمایش می دهند.

نمایش مجموعه عددهای گویا به زبان ریاضی به صورت زیر است:

 

نماد اعشاری اعداد گویا:

برای مشخص کردن نماد اعشاری اعداد گویا کافی است صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنیم. با این تقسیم امکان ایجاد دو نوع عدد اعشاری در خارج قسمت وجود دارد:

1) عدد اعشاری مختوم

2) عدد اعشاری متناوب

 

مثال:

 

1- عدد اعشاری مختوم:

اگر در هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم، عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است. عدد اعشاری مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آن ها را به صورت کسر تبدیل کرد مانند:

 

2- عدد اعشاری متناوب:

اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقی مانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود، این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد.

اعداد اعشاری متناوب به صورت نوشته می شوند و بدین معنی است که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند. مانند:

نکته1: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع شوند، عدد اعشاری متناوب ساده است و برای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

 

مثال:

 

نکته 2: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع نشوند، عدد اعشاری متناوب مرکب است وبرای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

مثال:

نتیجه:  اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب باشند، قابل تبدیل به کسر هستند.

اعدادی مانند که در هنگام جذر گرفتن به باقیمانده صفر نمی رسند و جواب بدست آمده نه مختوم می شود و نه متناوب ، قابل تبدیل شدن به کسر نیستند و این بدان معنی است که گویا نمی باشند و غیر از اعداد گویا اعداد دیگری هم وجود دارد.

 

محور اعداد گویا:

عدد را بر روی محور مشخص کنید.

حل: برای این کار کافی است فاصله بین 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم و 3 تا از آن را انتخاب کنیم.

 

تساوی کسرها و کسر علامت دار:

عدد را روی محور نشان داده و با هم مقایسه کنید.

چنانچه مشاهده می کنید دو عدد   برابرند. یعنی بر روی محور این اعداد یک نقطه را مشخص می سازند. می دانیم به صورت زیر بدست آمده است:

(صورت و مخرج در عدد 2 ضرب شده است)       

بنابراین می توان گفت: اگر صورت و مخرج کسر را در عدد غیرصفر n ضرب کنیم، کسر   بدست می آید که با کسر اولیه برابر است.

 

گویا کردن یک کسر:

هر گاه مخرج یک کسر ، رادیکال داشته باشد، چنانچه عملی انجام دهیم تا رادیکال مخرج حذف شود، این عمل را گویا کردن کسر گویند.

1. اگر کسر به صورت باشد. (0 ضرب می کنیم.

 

مثال:

 

2. اگر کسر به صورت باشد ، (0 ضرب می کنیم.

 

مثال:

 

 

 

 

1. قاعده دور در دور و نزدیک در نزدیک در تقسیم به صورت مقابل می باشد.  

2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوی یک می باشد.

مثال: اگر A و وارون یکدیگر باشند، مقدار A چقدر است؟

 

3. هر گاه اعداد گویا باشند، بین آن دو قرار دارد.

مثال: بین دو کسر ، پنج کسر دیگر بنویسید.

با توجه به این نکته می توان نوشت: و به همین ترتیب 5 کسر در بین این دو عدد مشخص می شود.

� بین دو عدد گویا چند عدد وجود دارد؟

 

4. عدد گویای را تحویل ناپذیر گویند هر گاه ب.م.م a و b مساوی یک باشد.

مثال: .  اگر کسر قابل ساده شدن باشد، عدد گویای را تحویل پذیر می نامند ؛ مانند  .

 

5. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) فقط عامل های 2 و 5 باشد ، آن کسر به عدد اعشاری مختوم تبدیل می شود.

مثال:

 

6. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) عامل های 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب ساده تبدیل می شود.

مثال:

 

7. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) ، علاوه بر عامل های 2 و 5 عاملهای اول دیگری نیز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب مرکب تبدیل می شود.

تاریخچه عددصفر

تاریخچه عددصفر

يکی از معمول ترين سوال هايی که مطرح ميشود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد ؟ البته برای جواب دادن به اين سوال به دنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصی صفر را ابداع کرد و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده ميکردند

ادامه نوشته

سوالات آزمون تیز هوشان مبتکران سوم راهنمایی

دانش اموزان عزیز سوم راهنمایی جهت مشاهده ی سوالات آزمون تیز هوشان مبتکران سوم راهنمایی

اینجا کلیک کنند

96 نکته درباره ی آزمون ها

چند نکته راجع به امتحان

« ارزشیابی» یا « امتحان »، یکی از ارکان مهم آموزش و پرورش و بخش جدایی ناپذیر آن است. باید دانست که آموزش و پرورش فرایندی متشکل و به هم پیوسته است که تمام مراحل آن به گونه ای سازمان یافته برای رسیدن به هدفی معین ایجاد شده اند.

در پایان هر یک از برنامه های آموزشی ، معلمان علاقه مند هستند میزان تغییرات حاصله در رفتار دانش آموزان را بررسی کنند تا معلوم شود، چه اندازه به هدف های مورد نظر نزدیک شده اند. این عمل را اصطلاحاً ارزشیابی یا امتحان گویند که در نگرش های نوین برخلاف گذشته، دارای هدف های مهم تر و گسترده تری است.

اینک، ارزشیابی و 96 نکته ی مهم درباره ی آن:

1- ارزشیابی، یکی از ارکان هر برنامه ی آموزشی است.

۲- ارزشیابی، به طور اخص؛ نظارت بر اندازه گیری کیفیت، کمیت و نوع تغییرات حاصل شده در رفتار دانش آموزان است.

۳- ارزشیابی، به طور اعم؛ آگاهی از میزان کارآیی و کارآمدی عوامل مؤثر در آموزش و پرورش است.

۴- ارزشیابی، تنها به امتحانات پایانی محدود نمی شود.

 ۵- ارزشیابی، برای هدایت مستمر یادگیری دانش آموزان، وسیله ای کارآمد و بی بدیل است.

۶- ارزشیابی برای برنامه ریزی، تدریس و تصمیم گیری، امری ضروری و پایه ای است.

۷- ارزشیابی مطلوب، مستقیماً در بهبود یادگیری دانش آموزان مؤثر است.

۸- دانش آموزان نیز از طریق ارزشیابی به نقاط ضعف و قوت خود پی می برند.

 ۹- ارزشیابی مستمر، باعث مرور و باز تولید مطالب آموخته شده توسط دانش آموزان می شود.

 ۱۰- ارزشیابی مستمر، نظارت گام به گام بر تحقق هدف های رفتاری است.

۱۱- معلم، از طریق ارزشیابی روش تدریس و طرح درس خود را ارزیابی می کند.

 ۱۲- امتحان، برای تفهیم هدف های درسی به دانش آموزان وسیله ای مناسب است.

۱۳- نتایج امتحانات موجب شناخت تفاوت های فردی دانش آموزان می شود.

 ۱۴- امتحان نباید وسیله ی تهدید امنیت روانی دانش آموزان شود.

 ۱۵- ارزشیابی دانش آموزان، نباید تحت تأثیر قضاوت شخصی و حالات عاطفی معلم قرار گیرد.

 ۱۶- در جریان ارزشیابی باید سعی کرد فضای روانی مناسب و خالی از اضطراب برای بچه ها فراهم کرد.

 ۱۷- سؤال های امتحانی باید با محتوای مواد آموزشی سازگار باشند.

 ۱۸- سؤال های امتحانی را باید از مطالب مهم تر محتوای آموزشی که بر یادگیری آن ها تأکید شده است، طرح کرد.

 ۱۹- سؤال های امتحانی باید توانایی دانش آموزان را در سطوح مختلف یادگیری بسنجند.

 ۲۰- سؤال های امتحانی باید معرف واقعی هدف های آموزش درس مورد نظر باشند.

 ۲۱- خطای اندازه گیری آزمون باید کم باشد تا باعث اعتبار آن شود.

 ۲۲- هدف نهایی از انجام امتحان، بهبود کیفیت یادگیری است.

 ۲۳- در طراحی سؤال های امتحانی از جدول دو بعدی (هدف های رفتاری- فهرست محتوا) استفاده شود.

 ۲۴- با توجه به برآیند یادگیری، از انواع ابزار آزمون استفاده شود.

 ۲۵- متن سؤال های امتحانی با بیانی ساده و روشن و دور از ابهام نوشته شود.

 ۲۶- از طرح پرسش های چند پهلو و گمراه کننده جداً اجتناب کنید.

 ۲۷ - متن سؤال ها را به صورت جملات مثبت بنویسید.

 ۲۸ - سؤال های امتحانی را عیناً مانند سؤال های کتاب و به صورت کلیشه ای ننویسید.

 ۲۹- از دادن حق انتخاب به دانش آموزان برای این که از میان سؤال ها چند سؤال را انتخاب کنند و پاسخ دهند، خودداری کنید.

۳۰- هر سؤال امتحانی باید مستقل از سؤال های دیگر باشد.

 ۳۱- سؤال های امتحانی را از ساده به مشکل بنویسید.

 ۳۲- اگر امتحان دارای سؤال های متنوع است، آن ها را گروه بندی کنید و سؤال های هر گروه را به دنبال هم بنویسید.

 ۳۳- سؤال های کتبی را طوری بنویسید که به آسانی خوانده شوند.

 ۳۴- سؤال ها را با فاصله ی مناسب بنویسید.

 ۳۵- سؤال های انشایی و سؤال های عینی را در ورقه ها یی جداگانه بنویسید و در امتحان، ابتدا سؤال های عینی بعد سؤال های انشایی را به دانش آموزان بدهید.

 ۳۶- ایجاد شرایط فیزیکی و عاطفی مناسب در جلسه ی امتحان ضروری است.

 ۳۷- فضای امتحان باید خالی از عوامل برهم زننده ی تمرکز حواس دانش آموزان باشد.

 ۳۸- در جلسات امتحانی با فردفرد دانش آموزان رابطه ای دوستانه و محبت آمیز برقرار کنید.

 ۳۹- دانش آموزان را در مورد نحوه ی امتحان راهنمایی کنید.

 ۴۰- ورقه های امتحانی را به صورت ناشناخته تصحیح کنید.

 ۴۱- در تصحیح اوراق امتحانی ابتدا سؤال اول، سپس سؤال دوم و به همین ترتیب تا سؤال آخر را در تمام اوراق تصحیح کنید.

 ۴۲- محتوای سؤال های امتحان را از آن چه تدریس شده، استخراج کنید.

 ۴۳- سعی شود سؤال های امتحانی پایایی و ثبات داشته باشد.

 ۴۴- سؤال های مرحله ای را طوری طرح کنید که دانش آموزان بتوانند در یک جلسه ی درس به آن ها پاسخ دهند و دنباله ی امتحان به زنگ تفریح نکشد که باعث حواس پرتی دانش آموزان شود.

 ۴۵- ارزشیابی را به عنوان نقطه ی پایانی تدریس تلقی نکنید بلکه آن را جزئی از فرایند آموزش بدانید.

 ۴۶- راهبردهای آموزش و ابزار ارزشیابی، باید با هم سازگاری داشته باشند.

 ۴۷- سؤال های امتحانی طوری طرح نشوند که فقط محفوظات دانش آموزان را بسنجند.

 ۴۸- از طرح سؤال های بسیار سخت و بسیار آسان خودداری شود.

 ۴۹- ارزشیابی نباید جای هدف های آموزش را بگیرد و به عنوان هدف مطرح شود.

 ۵۰- ارزشیابی را همانند سایر فعالیت های آموزشی بدانیم.

 ۵۱- ارزشیابی تنها برای صدور جواز عبور شاگرد از یک پایه به پایه ی دیگر نیست.

۵۲- ارزشیابی باید وسیله ی پیش بینی باشد، یعنی نشان دهد که شاگرد در چه زمینه ای می تواند به موفقیت برسد.

 ۵۳- ارزشیابی را نباید صرفاً به منظور نمره دادن و مقایسه دانش آموزان و تعیین افراد قوی و ضعیف به کار برد.

 ۵۴- در ارزشیابی به نتیجه ی عملکرد شاگردان در پاسخ به سؤال های مطرح شده اکتفا نکنید.

 ۵۵- در ارزشیابی، خود را محدود به انواع تست های کتبی و شفاهی نکنید.

 ۵۶- ارزشیابی تدریجی و تراکمی، باید به طور غیرمستقیم و بدون اعلام قبلی صورت گیرد.

 ۵۷- ایجاد محیط رعب و وحشت برای امتحان ، دانش آموزان مضطرب را مضطرب تر می سازد.

 ۵۸- انتظارات خود را از دانش آموزان در مورد امتحانات مشخص کنید.

 ۵۹- تأکید بیش از حد بر ارزش نمره ی بالا و منوط کردن ارزشمندی کودک به نتایج امتحانات وی، باعث بالا رفتن اضطراب در بچه ها می شود.

 ۶۰- نمره دادن فقط جزئی از فرایند ارزشیابی است.

۶۱- ارزشیابی باید بلافاصله پس از تعیین هدف های آموزشی معلوم شود.

 ۶۲- سؤال ها باید واضح و روشن طرح شوند و زیاد طولانی نباشند.

 ۶۳- امتحانات نباید بر تمام ضوابط و موازین آموزشگاه حکومت کند.

 ۶۴- هدف از ارزشیابی و امتحان، شناختن و شناساندن است.

۶۵- نسبت به امتحان نگرش مثبت ایجاد کنید.

 ۶۶- موفق نشدن در امتحانات را نمی توان فقط به خود دانش آموز و فعالیت های او نسبت داد.

 ۶۷- شیوه ی پرسش خود را از مطالب تدریس شده، برای دانش آموزان مشخص کنید.

 ۶۸- جلسات امتحانی را با کلام زیبا و آرام بخش الهی شروع کنید.

 ۶۹- عدم موفقیت دانش آموزان را در امتحان ، دال بر بدی شخصیت آن ها ندانید.

 ۷۰- سؤال های امتحانی را با عنایت به هدف های رفتاری ، طراحی کنید.

 ۷۱- هیچ یک از آزمون ها به تنهایی ارزشیابی دقیقی از فرایند یادگیری و پیشرفت تحصیلی به حساب نمی آید. ۷۲- ارزشیابی خود را به یک نوع وسیله ی سنجش محدود نسازید.

 ۷۳- در هر امتحان عدالت را حاکم کنید و شرایط یکسان برای همه به وجود آورید.

 ۷۴- اگر ارزشیابی به نحو ی شایسته انجام نگیرد، اثر منفی بر یادگیری می گذارد.

 ۷۵- آموزش و ارزشیابی باید هدف های یکسانی را دنبال کنند.

 76- هدف از امتحان ، غافلگیر کردن دانش آموز نیست.

 ۷۷- یکی از ویژگی های ارزشیابی مطلوب، کارآمد بودن آن است.

 ۷۸- تعداد سؤال های مربوط به یک هدف و یک محتوا باید متناسب با اهمیت آن ها باشد.

 ۷۹- یک آزمون باید قدرت تشخیص داشته باشد.

 ۸۰- در اجرای امتحان، نباید به « سرعت در پاسخ دادن » اهمیت زیادی داد.

 ۸۱- استفاده از چهار یا پنج نوع سؤال متفاوت در یک آزمون، امتیاز به حساب نمی آید.

 ۸۲- معلم نباید یک نوع سؤال را بر انواع دیگر برتری دهد و همواره از آن استفاده کند.

 ۸۳- سؤال های امتحانی را با دقت طرح کنید و به طور خوانا بنویسید.

 ۸۴- اگر دانش آموزان هنگام امتحان، سؤال داشته باشند، باید به آن ها پاسخ داد، اما آن ها را تشویق به سؤال کردن نکنید.

 ۸۵- خواندن سؤال های امتحانی برای دانش آموزان ضرورت ندارد، مگر دانش آموزانی که مشکل خواندن داشته باشند.

 ۸۶- تردید در روایی یک آزمون احتمال تقلب را افزایش می دهد.

 ۸۷- اضطراب زیاد در جلسه ی امتحان باعث افت عملکرد دانش آموزان می شود.

 ۸۸- دادن ضریب بیش تر به سؤال هایی که توانایی و استعداد مهم تری را می سنجند، منطقی است.

۸۹- نمرات خام هر امتحان در نفس خود معنای زیادی ندارند.

 ۹۰- یک آزمون هر اندازه هم خوب باشد اگر به نحو شایسته ای اجرا و نمره گذاری نشود، روایی و اعتبار آن به خطر می افتد.

 ۹۱- در آگهی هر آزمون، نه تنها باید تاریخ برگزاری آن، بلکه تعداد سؤال ها و نوع آن ها را نیز مشخص کنید.

 ۹۲- آموزش، ارزشیابی و نمره گذاری باید هدف های یکسانی داشته باشند.

 ۹۳- تغییرات نظام آموزشی باید در راستای تغییر بنیادی نظام سنجش و ارزشیابی باشد.

 ۹۴- نمره ی خام به تنهایی بیان کننده ی میزان پیشرفت یا عملکرد دانش آموز نیست.

 ۹۵- به ارزشیابی در حیطه های نگرشی و مهارتی بیش تر توجه کنید.

 ۹۶- ارزشیابی باید بتواند فراگیران را در امر یادگیری کمک کند.

ارسطو که بود؟

ارسطو

• ارسطو در سال 384 ق. م، در استاگیرا واقع در شمال یونان چشم به جهان گشود. پدرش نیکو ماخوس، پزشک دربار پادشاه مقدونیه بود.
  ارسطو هنگامی که حدود هفده سال داشت به قصد تحصیل به آتن رفت و در سال 368 ق.م، عضو آکادمی افلاطون شد. در اینجا به مدت بیست سال، یعنی تا هنگام مرگ افلاطون در 348 ق. م باقی ماند. وی بزرگترین و مبرزترین شاگرد افلاطون بود.
  پس از مرگ استاد، آتن را ترک کرد و شعبه از آکادمی در شهر آسوس در ناحیه ترود تاسیس کرد.
  در این جا با هرمیاس، حاکم یکی از آن مناطق آشنا شد و پس از مدتی با خواهرزاده او ازدواج کرد.
  در سال 343 ق.م، فیلیپ مقدونی ارسطو را دعوت کرد تا تعلیم و تربیت پسرش اسکندر را که در آ ن موقع سیزده سال داشت، به عهده بگیرد.
  ارسطو این پیشنهاد را پذیرفت و به تربیت علمی و اخلاقی وی همت گماشت. ارسطو با قبول این کار، نقشی مهم در تاریخ ایفا کرد؛ چرا که پس از چند سال، در سال 336ق.م، اسکندر بر تخت نشست و به جهان گشایی پرداخت.
  در این هنگام، ارسطو مقدونیه را ترک کرد و به آتن بازگشت.
  در آن جا وی به آکادمی افلاطون باز نگشت، بلکه دانشگاه جدیدی به سبک آکادمی استادش بنا نهاد که به نام ناحیه ای که در آن قرار داشت، لوکیوم نام گرفت.
  
  لوکیوم دانشگاهی بود علمی، مجهز به کتابخانه و معلم که در آن دروس به طور منظم تدریس می شد. در لوکیوم، متفکران و محققان به نحو پیشرفته ای به مطالعات خود می پرداختند.
  خود ارسطو در این مدرسه به تدریس و ارائه نظریات خود می پرداخت. بیشتر آثاری که از ارسطو باقی مانده است، یادداشت هایی است که شاگردانش از مطالب او بر می داشتند.
  
  او عادت داشت که در وقت تدریس قدم بزند و به همین دلیل، فلسفه وی به فلسفه مشاء، یعنی فلسفه بسیار راه رونده، شهرت یافت.
  اسکندر در سال 323 ق.م در گذشت و به دلیل بدبینی زیادی که علیه اسکندر در یونان و مخصوصا آتن وجود داشت، ارسطو متهم شد که اقدامات و جنگ افروزی های شاگردش موافق بوده و او را تحت نفوذ خود قرار داده است.
  به همین دلیل، ارسطو آتن را ترک کرد و به خالکیس، واقع در اوبوئیا رفت و در آن جا در ملک مادری خود اقامت گزید.
  او مدت کوتاهی بعد از آن، در سال 322ق.م در اثر یک بیماری در گذشت.
  ارسطو از بزرگترین فلاسفه جهان است که درباره تمام مسائل مهم و موضوعات اصلی فکری و فلسفی، نظریات گسترده و بی مانندی ارائه کرده است. از فیزیک ومنطق گرفته تا اخلاق و سیاست و تراژدی و نجوم.
  نظریات او مخصوصا مابعدالطبیعه و منطقش،در سراسر قرون وسطی حاکم بر مکاتب فکری اروپا و کلیساها بود و پس از آن نیز افکارش زمینه ای شد برای رنسانس علمی و فرهنگی.
  در فلسفه اسلامی نیز نقش او بیش از دیگر فلاسفه یونان است.
  بیشتر فلاسفه اسلامی مانند فارابی و ابن سینا پیرو او بودند و به همین خاطر، به مکتب مشاء تعلق دارند. آن ها عمدتا به شرح و تفصیل آراء منطقی و فلسفی او پرداختند.

 

چراریاضی رامیخوانیم؟ قابل توجه دبیران ریاضی

چرا باید ریاضیات بخوانیم؟     (ولادیمر ارنولد)

چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است:((کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.))

می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد....

شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.

در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاستکه قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ مینمایاند.

بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم.

 سه روش اموزش ریاضیات

در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال  1939  به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی_یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها_شرح داده شده است.)

اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر  می شود واین زیانی است که بورباکی ای سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است:

  از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند ((دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟)) پاسخ چنین بود ((چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو.))

پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی ای سازی را کنار گذاشته اند.

طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم:

در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است.

جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم:

کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟

جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود جواب کامپیوتر :

                                                                          

است،ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت.

نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم:

رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد:

الف) زمان وساعت

ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر))

ج) مساحت و اینچ مربع

پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد.

طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.

امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم.

سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است.

مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید:

1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟

2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟

3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟

از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است:  2=1-3  جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است.

به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را.

تاریخچه ی پیدایش عدد و شمارش

یکی از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است.

از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد

نوشته‌های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد . در افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرکهای پیدایش شمارش و عدد

به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری ، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنوی قدمهای کهن هم باشد. در زبان و در ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.

با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد. روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان ، اسکیموها ، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند. با وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.

در این مرحله از تکامل ، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگیها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند. طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.

نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ

ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند. او حدود سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهای آمازون ، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند. او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.

میکلوخو- ماکلای ، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند. آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقمها نیست.

شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای تکامل شمار دانست. مدتها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند. تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.

نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی ، گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم. بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید.

معادله سیاله

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای‌ چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته ‌باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادلهٔ x + y = 2 را می‌توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می‌توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می‌کند که در اینجا تنها جواب معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.

در اینجا حل معادله‌های دیوفانتی در مجموعهٔ اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه‌های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود.

                             y0 = y + ak و x0 = x − xk

که در آن (x0,y0) هر ریشه دلخواه معادله و (k عضو Zاست).

مثلاً یکی از ریشه‌های معادله x + 2y = 5 عبارت است از (2و1) پس زوج (1 − 2k,2 + k) در ازای هر k که k عضو اعداد صحیح است، یک جواب از این معادله به دست می‌آید. ممکن است معادله دیوفانتی از درجات بالاتر باشد، در این صورت هم امکان دارد معادله جوابهای بیشمار یا متناهی داشته باشد.

مثال:معادله 3x + 4y = 25 را در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.

حل:معادله را به صورت زیر می نویسیم:

                                     3x = 25 − 4y   
                              x = (25 − 4y) / 3 = 8 + (1 − 4y) / 3

چون x عدد صحیح است، بنابراین 8 + (1 − 4y) / 3 باید عدد صحیح باشد، دیده می‌شود که به ازای y=+1 داریم x=8-1=7 پس (7,1) یکی از ریشه‌های معادله است و ریشه‌های دیگر معادله از زوج (x0 − bk,y0 + bk) محاسبه می‌شود که در آن k عضو اعداد صحیح است . پس سایر جوابهای معادله عبارت‌اند از (7 − 4k,1 + 3k) مثلاً بعضی از ریشه‌های آن عبارت‌اند از:

                                           k=1 بنابراین (4و3)
                                           k=2 بنابراین (2-و11)
                                                     .
                                                     .
                                                     .
                                         k=100 بنابراین (301و396-)

مبنا

مبنا

 _{دستگاه های شمار}

      براي مشخص كردن تعداد چيزها آن ها را مي شماريم. اين شمارش بايد در دستگاه مشخصي و در چهارچوب خاصی انجام گيرد. به طور معمول شمارش در دستگاه دهدهي انجام مي شود، يعني دستگاهي كه مبناي شمارش ر آن ۱۰ است. در اين دستگاه واحد هر مرتبه  ۱۰برابر واحد مرتبه ي قبلي است. مثلاً واحد مرتبه  هزارگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ي صدگان است و واحد مرتبه ي صدگان۱۰برابر واحد مرتبه ي دهگان است و واحد مرتبه ي دهگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ي يكان مي باشد.

اما آيا مي توان شمارش را به گونه اي ديگر نيز انجام داد ؟

    به مثال زير توجه كنيد:

مدير يك كارخانه ي ليوان سازي به انباردار خود دستور داد آمار تمام ليوان هاي موجود در انبار كارخانه را به او بدهد. در واحد بسته بندي اين كارخانه هر ۶ عدد ليوان را در يك بسته پلاستيكي و هر ۶ بسته را در يك كارتن و هر ۶ كارتن را در يك جعبه و بعد هر ۶ جعبه را در يك صندوق چوبي بزرگ قرار مي دهند. سپس صندوق ها را بار قطار كرده و براي مشتريان خود به شهرهاي دور و نزديك مي فرستند. انباردار براي شمارش تعداد ليوان ها جدولي را كه در اختيار داشت به صورت زير كامل كرد:

واحد	يكي	بسته	كارتن	جعبه	صندوق
تعداد	۲	۱	۴	۱	۵

او در گزارش خود تعداد ليوان هاي موجود را ۵۱۴۱۲ نوشت. اما وقتي تعجب مدير كارخانه را ديد ساعتي بعد آن را اصلاح كرد و تعداد ليوان ها را ۶۸۴۸ اعلام كرد .

آيا به نظر شما او دروغ گفته بود ؟

خير. او هر دو بار راست گفته بود ولي فراموش كرده بود كه روش شمارش ليوان ها را توضيح دهد. در مرتبه ي اول او تعداد ليوان ها را بر اساس چگونگي بسته بندي آن ها حساب كرده بود. در اين روش شمارش در مبناي ۶ انجام گرفته بود و او مي بايست تعداد ليوان ها را _۶(۵۱۴۱۲)  ثبت مي كرد. در مرتبه ي دوم او با توجه به اين كه مي دانست در هر بسته ۶ ليوان و در هر كارتن۶*۶ليوان و در هر جعبه ۶*۶*۶ ليوان و در هر صندوق ۶*۶*۶*۶ ليوان وجود دارد، جدول خود را به صورت زير كامل كرد :

واحد	يكي	بسته ۶تايي	كارتن ۳۶ تايي	جعبه ۲۱۶ تايي	صندوق ۱۲۹۶تايي
تعداد	۲	۶  ۱*	۳۶     ۴ *	۲۱۶        ۱ *	۱۲۹۶         ۵ *
	۲	۶	۱۴۴	۲۱۶	۶۴۸۰

و سپس مجموع آن ها را به دست آورد :                  ۶۸۴۸ = ۲+ ۶ + ۱۴۴ + ۲۱۶ + ۶۴۸۰

 

اين عدد تعداد ليوان ها را در مبناي ۱۰ نشان مي دهد. پس :                ۶۸۴۸ =  _۶( ۵۱۴۱۲ )

سؤال :  در آمارگيري ماه بعد او تعداد ليوان ها را _۶( ۱۴۰۲۰ )  به دست آورد. به نظر شما او چه عددي را بايد در گزارش خود به مدير كارخانه بنويسد؟

 *       *       *       *       *

اگر بخواهيم عددي را كه در مبناي غير ۱۰ نوشته شده به مبناي ۱۰ ببريم. رقم هاي آن را در توان هاي مختلف مبنا ضرب مي كنيم و سپس مجموع آن ها را به دست  مي آوريم.

مثال۱ـ نمايش معمولي عدد  _۶( ۱۰۵۳) را بنويسيد .

   ۲۴۹= ۳+ (۶*۵) + ( ۳۶*۰) + ( ۲۱۶*۱) =  _۶( ۱۰۵۳)

 

مثال۲ـ نمايش ۵۳۲ را در مبناي ۶ به دست آوريد.

                                                             _۶( ۲۲۴۴) = ۵۳۲

      ·    اگر در مثال هاي بالا توجه كرده باشيد خواهيد ديد اگر عددي را از يك مبنا به مبناي كوچك تري ببريم نمايش ظاهري عدد بزرگ تر خواهد شد و اگر آن را در مبناي بزرگ تري بنويسيم نمايش ظاهري اش كوچك تر مي شود .

    ·    در هر مبنا از رقم هايي مي توان استفاده كرد كه از خود مبنا كوچك تر باشند. مثلاً در مبناي ۱۰ از رقم های ۰ تا ۹ ودر مبنای ۴ فقط از رقم های ۰ ، ۱ ، ۲ و ۳ استفاده می شود. 

سؤال: اگر شما ۱۴ سال سن داشته باشيد، سن شما در هر يك از مبناهاي ۲ تا ۹ برابر چند مي شود؟ در چه مبنايي سن شما بيش تر است ؟

مثال۳- بزرگ ترين و كوچك ترين اعداد سه رقمي در مبناي ۷ چه اعدادي هستند؟

در مبناي ۷ فقط مي توانيم رقم هاي ۰ تا ۶ را به كار ببريم. دو جواب داريم:

اگر بخواهيم از رقم هاي تكراري استفاده كنيم،عدد _۷(۶۶۶) بزرگ ترين و عدد_۷(۱۰۰)  كوچك ترين عدد سه رقمي در مبناي ۷ هستند. ولي اگر از رقم هاي تكراري استفاده نكنيم، عدد_۷(۶۵۴)  بزرگ ترين و عدد_۷(۱۰۲) كوچك ترين عدد سه رقمي در مبناي ۷ هستند.

 

        ·          جمع

براي جمع چند عدد كه مبناي مساوي داشته باشند مانند اعداد در دستگاه دهدهي عمل مي كنيم. اعداد را از سمت راست زير هم مي نويسيم. ابتدا اعداد جايگاه اول را با هم جمع مي كنيم. اگر حاصل از مبنا كوچك تر باشد، آن را مي نويسيم و اگر برابر مبنا يا بزرگ تر از آن باشد، آن قدر مبنا و يا مضارب مبنا را از آن كم مي كنيم تا باقي مانده كوچك تر از مبنا شود. آن گاه باقي مانده را نوشته و به ازاي هر مبنايي كه از حاصل جمع كم كرديم در ستون سمت چپ يك واحد اضافه مي كنيم.

مثال۴- حاصل _۳(۲۱۲) + _۳(۲۱۰۱)  را به دست آوريد .

                                                                              ۱   ۱ 

_۳(۲۱۰۱)

۳(۰۲۱۲) +

_۳(۱۰۰۲۰)

        ·          تفريق

در تفريق دو عدد كه مبناي مساوي دارند بايد توجه داشت اگر رقم مفروق منه (رقم بالايي) از رقم مفروق كم تر باشد، از رقم سمت چپ آن يك واحد كم مي كنيم و به تعداد مبنا به آن رقم مفروق منه اضافه مي كنيم.

مثال ۵ـ حاصل _۵(۱۳۴) -  _۵(۳۲۴)  را به دست آوريد .

      ۷ ۲

_۵(۳۲۴)

۵(۱۳۴) - 

_۵( ۱۴۰)

مثال۶ـ نمايش عدد_۴(۱۲۳)  را در مبناي۵ بنويسيد .

                                                                   ۲۷ = ۳ + (۴*۲) + (۱۶*۱) =_۴(۱۲۳)

                                                                                                   _۵( ۱۰۲ ) = ۲۷

                                                                                           _۵( ۱۰۲ )  = _۴(۱۲۳)  

م

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای‌ چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته ‌باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادلهٔ x + y = 2 را می‌توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می‌توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می‌کند که در اینجا تنها جواب معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.

در اینجا حل معادله‌های دیوفانتی در مجموعهٔ اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه‌های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود.

                             y0 = y + ak و x0 = x − xk

که در آن (x0,y0) هر ریشه دلخواه معادله و (k عضو Zاست).

مثلاً یکی از ریشه‌های معادله x + 2y = 5 عبارت است از (2و1) پس زوج (1 − 2k,2 + k) در ازای هر k که k عضو اعداد صحیح است، یک جواب از این معادله به دست می‌آید. ممکن است معادله دیوفانتی از درجات بالاتر باشد، در این صورت هم امکان دارد معادله جوابهای بیشمار یا متناهی داشته باشد.

مثال:معادله 3x + 4y = 25 را در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.

حل:معادله را به صورت زیر می نویسیم:

                                     3x = 25 − 4y   
                              x = (25 − 4y) / 3 = 8 + (1 − 4y) / 3

چون x عدد صحیح است، بنابراین 8 + (1 − 4y) / 3 باید عدد صحیح باشد، دیده می‌شود که به ازای y=+1 داریم x=8-1=7 پس (7,1) یکی از ریشه‌های معادله است و ریشه‌های دیگر معادله از زوج (x0 − bk,y0 + bk) محاسبه می‌شود که در آن k عضو اعداد صحیح است . پس سایر جوابهای معادله عبارت‌اند از (7 − 4k,1 + 3k) مثلاً بعضی از ریشه‌های آن عبارت‌اند از:

                                           k=1 بنابراین (4و3)
                                           k=2 بنابراین (2-و11)
                                                     .
                                                     .
                                                     .
                                         k=100 بنابراین (301و396-)

حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

x + 1 − 1 = 2 − 1

x = 1

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است

تعریف معادله درریاضیات

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده‌ می‌شوند. مثلاً معادله

x − x = 0

اتحاد است چون x هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله

x + 1 = 2

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار x عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، "جواب معادله" می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" می‌نامند.

فیثاغورس چیست؟

فیثاغورس در جزیره ساموس، نزدیک کرانه‌های ایونی، زاده شد. او در عهد قبل از ارشمیدس، زنون و اودوکس (۵۶۹ تا ۵۰۰ (پیش از میلاد)) می‌زیست.

او در جوانی به سفرهای زیادی رفت و این امکان را پیدا کرد تا با مصر، بابل و مغان ایرانی آشنا شود و دانش آن‌ها را بیاموزد. به طوری که معروف است فیثاغورس، دانش مغان را آموخت. او روی هم رفته، ۲۲ سال در سرزمین‌های بیرون از یونان بود و چون از سوی پولوکراتوس، شاه یونان، به آمازیس، فرعون مصر سفارش شده بود، توانست به سادگی به رازهای کاهنان مصری دست یابد. او مدتها در این کشور به سر برد و در خدمت کاهنان و روحانیان مصری به شاگردی پرداخت و آگاهی‌ها و باورهای بسیار کسب کرد واز آنجا روانه بابل شد و دوران شاگردی را از نو آغاز کرد.

وقتی او در حدود سال ۵۳۰، از مصر بازگشت، در زادگاه خود مکتب اخوتی (که امروزه برچسب مکتب فیثاغورس بر آن خورده‌است) را بنیان گذاشت که طرز فکر اشرافی داشت. هدف او از بنیان نهادن این مکتب این بود که بتواند مطالب عالی ریاضیات و مطالبی را تحت عنوان نظریه‌های فیزیکی و اخلاقی تدریس کند و پیشرفت دهد.

فیثاغورس نیز به مانند سقراط جانب احتیاط را نگاه داشت و چیزی ننوشت. آموزه‌های وی از طریق شاگردانش به دست ما رسیده‌است. اکنون روشن شده‌است که که شاگردان فیثاغورس، باعث و بانی بخش اعظمی از لباس چهل‌تکه تفکر، آداب و رسوم، ریاضیات، فلسفه و اندیشه‌های عجیب و غریبی هستند که در مکتب فیثاغورس موجود است.

شیوه تفکر این مکتب با سنت قدیمی دموکراسی، که در آن زمان بر ساموس حاکم بود، متضاد بود. و چون این مشرب فلسفی با مذاق مردم ساموس خوش نیامد، فیثاغورس به ناچار، زادگاهش را ترک گفت و به سمت شبه جزیره آپتین (از سرزمینهای وابسته به یونان) رفت و در کراتون مقیم شد.

در افسانه‌ها چنین آمده‌است که متعصبان مذهبی و سیاسی، توده‌های مردم را علیه او شوراندند و به ازای نور هدایتی که وی راهنمای ایشان کرده بود مکتب و معبد او را آتش زدند و وی در میان شعله‌های آتش جان سپرد.

این جمله معروف را دوستدارانش در رثای او گفته‌اند: «Sic transit gloria mundi» یعنی «افتخارات جهان چنین می‌گذرند».

وی نظرات ریاضی خویش را با ترهات فلسفی و باورهای دینی درهم آمیخته بود. او در عین حال هم عارف و هم ریاضیدان بود و بقولی یکدهم شهرت او نتیجه نبوغ وی و مابقی ماحصل ارشاد و رسالت اوست.

فیثاغورس و مسئلهٔ استدلال در ریاضیات

برای آنکه نقش فیثاغورس را در تبیین اصول ریاضیات درک کنیم، لازم است کمی درباره جایگاه ریاضیات در عصر وی و پیشرفتهایی که تا زمان وی صورت گرفته بود، بدانیم که این هم به نوبه خود، در خور توجه‌است. جالب است بدانید با اینکه مبنای ریاضیات بر «استدلال» استوار است، قبل از فیثاغورس هیچ کس نظر روشنی درباره این موضوع نداشت که استدلال باید مبنی بر مفروضات باشد. به عبارتی استدلال، مسئلهٔ تعریف شده‌ای نبود.

در واقع می‌توان گفت بنا به قول مشهور، فیثاغورس در میان "اروپاییان" نخستین کسی بود که روی این نکته اصرار ورزید که در هندسه باید ابتدا «اصول موضوع» و «اصول متعارفی» را معین کرد و آنگاه به اتکاء آنها که «مفروضات» هم نامیده می‌شوند، روش استنتاج متوالی را پیش گرفت به پیش رفت. از نظر تاریخی «اصول متعارفی» عبارت بود از «حقیقتی لازم و خود بخود واضح».

اینکه فیثاغورس استدلال را وارد ریاضیات کرد، از مهم‌ترین حوادث علمی است و قبل از فیثاغورس، هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بوده‌اند؛ تجارب و قواعدی که هیچگونه ارتباطی با هم نداشتند حتی کسی در آن زمان حدس نمی‌زد مجموعهٔ این قواعد را بتوان از عدهٔ بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. در صورتی که امروزه حتی تصور این موضوع که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته‌است برای ما ممکن نیست. اما در آن عصر این موضوع گام بلندی به سوی نظام قدرتمند هندسه محسوب می‌شد.

 مجمع فیثاغورثی

بنیان فلسفی مجمع فیثاغوری بر آموزش رازهای عدد قرار داشت. به اعتقاد فیثاغورسیان، عدد، بنیان هستی را تشکیل می‌دهد، علت هماهنگی و نظم در طبیعت است، رابطه‌های ذاتی جهان ما، حکومت و دوام جاودانی آن را تضمین می‌کند. عدد، قانون طبیعت است، بر خدایان و بر مرگ حکومت می‌کند و شرط هرگونه شناخت و دانشی است. چیزها، تقلید و نمونه‌ای از عدد هستند.

شعار مدرسه فیثاغورثی «همه چیز اعداد است» بوده است.

چنین برداشت ستایش‌آمیزی از عدد، با خیال‌بافی‌های اسرارآمیزی درآمیخته بود، که همراه با مقدمه‌های ریاضی، از کشورهای خاورنزدیک اقتباس شده بود.

فیثاغوریان، ضمن بررسی نواهای موزون و خوش‌آهنگی که در موسیقی به دست می‌آید، متوجه شدند که آهنگ موزون روی صدای سه سیم، زمانی به دست می‌آید که طول این سیم‌ها، متناسب با عددهای ۳ و ۴ و ۶ باشد. فیثاغوریان این بستگی عدد را در پدیده‌های دیگر نیز پیدا کردند. از جمله، نسبت تعداد وجه‌ها، راسها و یال‌های مکعب هم برابر است با نسبت عددی ۶:۸:۱۲.

همچنین فیثاغوریان متوجه شدند که اگر بخواهیم صفحه‌ای را با یک نوع چندضلعی منتظم بپوشانیم، فقط سه حالت وجود دارد؛ دور و بر یک نقطه از صفحه را می‌توان با ۶ مثلث متساوی‌الاضلاع، با ۴ مربع، و یا با ۳ شش‌ضلعی منتظم پر کرد، به طوری که دور و بر نقطه را به طور کامل بپوشاند. همانطور که مشاهده می‌شود، تعداد این چندضلعی‌ها با همان نسبت ۳:۴:۶ مطابقت دارد و اگر نسبت تعداد اضلاع این چندضلعی‌ها را در نظر بگیریم، به همان نسبت ۳:۴:۶ می‌رسیم.

بر اساس همین مشاهده‌ها بود که مکتب فیثاغوری اعتقاد داشت همهٔ پدیده‌های گیتی از بستگی‌های عددی مشخصی پیروی می‌کنند و یک هماهنگی وجود دارد. از جمله فیثاغوریان گمان می‌کردند فاصلهٔ بین اجرام آسمانی را تا زمین در فضای کیهانی می‌توان با نسبت‌های معینی پیدا کرد. به همین دلیل بود که در مکتب فیثاغوری به بررسی دقیق نسبتها پرداختند. آنها به جز نسبت حسابی و هندسی، دربارهٔ نوعی بستگی هم که به همساز یا توافقی معروف است، بررسی‌هایی انجام دادند.

سه عدد را به نسبت همساز گویند وقتی که وارون آنها به نسبت حسابی باشد. به زبان دیگر سه عدد تشکیل تصاعد همساز یا توافقی می‌دهند، وقتی وارون آنها تصاعد حسابی باشد. سه عدد ۳، ۴ و ۶ به نسبت توافقی هستند، زیرا کسرهای ۱/۳، ۱/۴ و ۱/۶ به تصاعد حسابی هستند زیرا:

به مناسبت اهمیت بی‌اندازه‌ای که مکتب فسثاغوری برای عدد قایل بود و فیثاغوریان توجه زیادی به بررسی و کشف ویژگی‌های عددها می‌کردند، در واقع، مقدمه‌های نظریه عددها را بنیان گذاشتند. با وجود این، مکتب فیثاغوری هم، مانند همه یونانی‌های آن زمان، عمل محاسبه را دور از اعتبار خود، که به فلسفه مشغول بودند، می‌دانستند. آنها مردمی را که به کارهای معیشتی و عملی می‌پرداختند و بیشتر از برده‌ها بودند، پست می‌شمردند و لوژستیک می‌خواندند. فیثاغورس می‌گفت که او حساب را والاتر از نیازهای بازرگانی می‌داند.به همین مناسبت در مکتب فیثاغوری، حتی شمار عملی هم مورد توجه قرار نگرفت. آنها تنها در باره ویژگی‌های عددها کار می‌کردند. در ضمن، ویژگی عدد را هم به یاری ساختمان‌های هندسی پیدا می‌کردند. با وجود این، رواج نوعی دستگاه مناسب برای عدد نویسی را در یونان، به فیثاغوریان و یا هواداران نزدیک آنها نسبت می‌دهند.در این نوع عدد نویسی که از فینیقی‌ها گرفته بودند، از حرف‌های الفبای فینیقی، برای نوشتن عددها استفاده شد: ۹ حرف اول الفبا برای عددهای از ۱ تا ۹، ۹ حرف بعدی برای نشان دادن دهگان (۲۰، ۱۰، ...، ۹۰) و ۹ حرف بعدی برای صدها (۲۰۰، ۱۰۰، ...، ۹۰۰). برای حرف از عدد تشخیص داده شود، بالای عدد خط کوتاهی می‌گذاشتند. برای نشان دادن عددهای بزرگ‌تر از نشانه‌های اضافی استفاده می‌کردند. وقتی نشانه‌ای شبیه ویرگول را جلو عددی می‌گذاشتند، به معنای هزار برابر آن بود، برای ده هزار برابر عدد، یک نقطه جلو عدد می‌گذاشتند.

 نظرات پیشینیان درباره فیثاغورث

پروکلوس درباره فیثاغورث می‌گوید:«فیثاغورث این علم (علم ریاضیات) را به شکل آزاد آموزشی، امتحان کردن قواعد آن از آغاز و جستجوی قضایا به روشی غیر مادی و ذهنی تغییر داد. او نظریه متناسب‌ها و ساخت اشکال کیهانی را کشف کرد.»

 ریشه‌های شرقی دانش فیثاغورسیان

کالین رنان، پژوهشگر و نویسندهٔ چند کتاب دربارهٔ تاریخ علم و از نویسندگان دانش‌نامهٔ بریتانیکا، در کتاب تاریخ علم کمبریج، به گوشه‌هایی از ریشه‌های شرقی دانش یونانیان اشاره کرده‌است:

فیثاغورس نزدیک سال ۵۶۰ پیش از میلاد در جزیرهٔ ساموس(در ۵۰ کیلومتری میلتوس) به دنیا آمد. او به یک جنبش نوزایی مذهبی پیوست که پیروان آن باور داشتند روح می‌تواند از تن بیرون رود و به بدن انسان دیگری وارد شود و این باور به احتمال زیاد ریشهٔ شرقی دارد.

فیثاغورس در جوانی از مصر و بابل دیدن کرد و شاید همین دیدار بود که به او انگیزه داد ریاضیات بخواند و بگوید همه چیز عدد است. او جبر، هندسه و هارمونی را از تمدن میان‌رودان آموخت.

فیثاغورس می‌توانست قانون ۳-۴-۵ را که دربارهٔ طول ضلع‌های مثلث قائم الزاویه‌است، از مصریان آموخته باشد، اما پژوهش‌های اخیر نشان می‌دهد که در بابل به چیزی برخورد که ما آن را نسبت فیثاغورسی می‌نامیم. بابلی‌ها پی برده بودند که عدهای نسبت می‌توانند ۳-۴-۵ یا ۶-۸-۱۰ یا ترکیبی از این دست باشند که اگر بزرگ‌ترین عددش مربع شود برابر مجموع مربع‌های دو عدد دیگر خواهد بود. این گام بلندی به جلو بود که فیثاغورسیان به‌خوبی از آن بهره گرفتند(صفحهٔ ۱۰۱).

جنبهٔ دیگری که فیثاغورسیان فریفته‌اش بودند، میانه‌ها بود. نخست آن‌ها در فکر میانهٔ عددی بودند(یعنی عدد میانی در تصاعد عددی سه جمله‌ای. برای مثال، در تصاعد ۴، ۵، ۶، میانه عدد ۵ و در تصاعد ۴، ۸، ۱۲، میانه ۸ است). بعید نیست که این را فیثاغورس در سفرش به بابل آموخته باشد.(صفحهٔ ۱۰۳)

اخترشناسی فیثاغورسی آشکارا بدهی فراوانی به بابلی‌ها داشت

بزرگترین عدداول شناخته شده

بزرگترین عدد اول شناخته شده، در اصل بزرگترین عدد صحیحی می‌باشد که می‌دانیم عددی اول است.

اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد ، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد.

گراف تعداد ارقام در بزرگترین عدد اول شناخته شده بر حسب سال . توجه کنید که مقیاس های عمودی لگاریتمی هستند.

بسیاری از ریاضی‌دانان و محققین تفننی سرگرم جست و جوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند ؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است.

از آنجایی که اجرای FFT آزمون لوکاس-لمر برای اعداد مرسن سریعتر از هر آزمون دیگری برای انواع دیگر اعداد اول است، بسیاری از بزرگترین اعداد اول شناخت شده عدد اول مرسن هستند؛ در میان ۱۰ بزرگترین عدد اول شناخته شده تا دسامبر ۲۰۰۷ ۶ عدد جزو اعداد مرسن بودند. آخرین ۱۳ عدد اولی که کشف شده‌اند عدد اول مرسن بودند .

استفاد از کامپیوترهای الکترونیکی کشف‌ها را شتاب بخشیده و به طوری که همهٔ اعداد اول کشف شده از ۱۹۵۱ تا کنون به وسیلهٔ این کامپیوتر‌ها کشف شده‌اند. تعداد ارقام بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال ۱۹۹۹ از مرز یک میلیون گذشت و باعث دریافت جایزه‌ای ۵۰٬۰۰۰ دلاری شد .

در ۲۳ اوت ۲۰۰۸ تأیید شد که بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده، عددی ۱۲٬۹۷۸٬۱۸۹رقمی است. این عدد ۴۵ امین عدد اول شناخته شده مرسن است.

این عدد را پروژه GIMPS با کمک محاسبات توزیع‌شده کشف کرده است.

‎

۲^{۴۳٬۱۱۲٬۶۰۹} − ۱.

یک عدد عجیب

یک عدد عجیب

یک نفر از اساتید دانشکده شهر آتن پایتخت یونان چندی پیش عددی را کشف کرد که خصایص عجیبی دارد.
آن عدد:142857 میباشد.
اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنیم، حاصل: 285714 میشود! (به ارزش مکانی 14 توجه کنید).
اگر این عدد را در سه ضرب کنیم حاصل: 428571 میشود!(به ارزش مکانی 1 توجه کنید).
اگر این عدد را در چهار ضرب کنیم حاصل: 571428 میشود!( به ارزش مکانی 57 توجه کنید).
اگر این عدد را در پنج ضرب کنیم حاصل: 714285 میشود!(به ارزش مکانی 7 توجه کنید).
اگر این عدد را در شش ضرب کنیم حاصل: 857142 میشود! (سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده)
اگر این عدد را در هفت ضرب کنیم حاصل: 999999 میشود!
لطفا" ضربهای بالا را خود شما نیز انجام دهید و حاصل را با عدد اصلی مقایسه کنید.

تقویم ذهنی توسط ریاضی

تقویم ذهنی بوسیله ریاضی

روش حفظ کل تقویم سال در چند دقیقه:این کار بسیار ساده است. حتی در ظرف یک دقیقه هم امکان پذیر است:
فقط شما کافی است اولین شنبه هر ماه رو بدونید که چندم است؟
مثلا فروردین سوم است.و اولین 5شنبه اون میشود 5+3=8
(رمز:فردین اولین فیلم خود را در 3 سالگی بازی کرد)
برای هر ماه در ذهن خودتون یک رمز بسازید
اسفند:وقتی اسپند دود می کنم یک غول سه سر از اون بیرون میاد!
دومین سه شنبه؟------>3+7+3=13

ارشمیدس که بود

ارشمیدس و دفاع از شهر سیراکیوز

 

ارشمیدس (287-212 قبل از میلاد)

ارشمیدس (Archimedes) از بزرگترین ریاضی دانان همه اعصار و به یقین بزرگترین آنها در عهد عتیق از اهالی شهر یونانی سیراکیوز واقع در جزیره سیسیل بود. وی در حدود سال 287 قبل از میلاد به دنیا آمد و در زمان غارت سیراکیوز به دست رومیان در سال 212 قبل از میلاد در گذشت.

ارشمیدس پسر یک منجم بود و بخش قابل توجهی از زندگی خود را در مصر و نیز دانشگاه اسکندریه گذراند. مورخین رومی داستانهای بسیار جالبی را به او نسبت می دهند در این میان از همه آشنا تر توصیفاتی است که از تدابیر استادانه ارشمیدس برای کمک به دفاع از شهر سیراکیوز در مقابل محاصره ای که به وسیله سردار روم مارسلوس (Marcellus) رهبری می شد بود.

اختراع ، ساخت و بهبود منجیق (وسیله پرتاب سنگهای بزرگ) را به او نسبت می دهند. منجیق های ساخت او دارای قدرت زیاد و برد قابل تنظیم بود و بسادگی توانایی هدف گیری کشتی های دشمن هنگامی که به خشکی نزدیک می شدند را داشت.

همچنین این داستان که او از آینه های قوسی بزرگ برای به آتش کشیدن کشتی های دشمن استفاده می کرد به او منصوب می باشد.

این گفته بسیار دقیق نیز از او می باشد : "جایی برای ایستادن به من بدهید تا زمین را بلند کنم". وی بر اساس همین گفته اقدام به حرکت دادن کشتی های سنگین با استفاده از قرقره های مرکب نمود. کاری که تا قبل از آن نیاز به تعداد زیادی کارگر داشت.

بنظر می رسد که ارشمیدس از قدرت تمرکز بسیار بالایی برخوردار بود و برخی از رویاتهای جالب نیز به بی خبری او از دنیای اطراف مرتبط می شود، بخصوص هنگامی که مشغول فکر کردن راجع به مسئله خاصی بود.

یکی از ماجراها مربوط می شود به سوء ظن پادشاهی - شاه هیرون - که می خواست بداند آیا در تاجی که برای او ساخته شده است به غیر از طلا از نقره هم استفاده شده است یا خیر. پادشاه برای اطمینان از ارشمیدس تقاضا کرد تا تاج را بررسی کند و داستان به آنجا کشید که ارشمیدس روزی در حمام توانست یکی از قوانین مهم فیزیک - هیدرواستاتیک - را کشف کند و در حالی که برهنه بود به خیابان دوید و گفت یافتم (Eureka)، یافتم. (ادامه دارد ...)

اعداد مثلثی ومربعی

اعداد مثلثی

اعداد مثلثی

1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متولی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع س عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر ریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد ساده حسابی)

مجموع دو عدد مثلثی متوالی

اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو مثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه "مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی" نیز مطرح می شود.

اشکال فضایی

ریاضیدانان قرنها درباره خواص شکلهای فضایی (سه بعدی) تحقیق کرده اند. شکلهای فضایی که آسانتر از همه رده بندی می شوند، چندوجهی نام دارند.
فقط پنج چند وجهی منتظم وجوددارد، که عبارتند:
از چهار وجهی (دارای رویه های مثلث شکل )، مکعب(دارای شش رویه مربع شکل)، هشت وجهی (دارای رویه های مثلث شکل)، دوازده وجهی (دارای رویه های پنج ضلعی)، و بیست وجهی که (دارای رویه های مثلث شکل) می باشد.

دانش ریاضی درچه زمانی و توسط چه کسانی متولد شد

دانش ریاضی در چه زمانی و توسط چه کسانی متولد شد؟

تاریخ را معمولا غربیها نوشته اند، و تا آنجا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراین نمی توان انتظار داشت نوادگان اروپائیانی
که سیاهان آفریقا را در حد یک حیوان پائین آورده و آنها را به بردگی کشانده اند، آنها را انسانهائی با سوابق کهن تاریخی و علمی معرفی نمایند.
البته این کلام مصداق کلی ندارد، و فقط اشاره به جریان حاکم در تاریخنگاری غربیها دارد.

اگر به تاریخ آفریقا نگاه کنیم،

• قدیمیترین شئ ریاضی از 35000 سال پیش از میلاد در سوازیلند کشف شده.
• قدیمیترین مثال حساب از 6000 سال پیش از میلاد در زئیر کشف شده.
• هرم عظیم گیزا که یک شاهکار مهندسی است، حوالی سال 2650 پیش از میلاد در مصر ساخته شده.
• پاپیروس مصری 4000 ساله معروف به مسکو، حاوی مطالبی از هندسه است.

لازم به اشاره است که، یونانیان نیز مبانی ریاضی را از بابلیان به ارث برده‌اند.

 

ریاضیات مدون در حدود 2000 سال قبل از میلاد مسیح ، توسط بابلیان بوجود آمد .
در آن زمان بابلیان نتایج جبر مقدماتی را یکجا جمع کردند.

اما ریاضیات به مفهوم واقعی و امروزی آن ، در سرزمین یونان و در قرنهای 4 و 5 قبل از میلاد ایجاد شد.

به تدریج توسعه یافت، اوج رشد آن در قرن 17 با بوجود آمدن هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. اما در قرن 19 تجدید نظر کلی و پیشرفتهای فراوان در این علم بوجود آمد.

توابع تعامد

تعریف. دو بردار x و y را در یک فضای ضرب داخلی V بر هم عمودند اگر ضرب داخلی صفر باشد. این تعامد را با نشان می‌دهند.

تعریف. دو زیرفضای برداری A و B از یک فضای ضرب داخلی V را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از A به هر بردار از B عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.

تعریف. یک نگاشت خطی را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار x و y در فضای ضرب داخلی V داشته باشیم:

این یعنی T زاویهٔ بین x و y را ثابت نگه می‌دارد و طول Tx و x برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود بر هم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای راست‌هنجار (متعامد یکه) ‌می‌نامیم.

توابع متعامد

مرسوم است که برای توابع f و g ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

که در آن ‎w(x)‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع بر هم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

اعضای یک دنباله از توابع { f_i : i = 1, 2, 3, ... } متعامد هستند اگر

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

در رابطهٔ بالا

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله بر هم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) 1 است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

 مثال‌ها

• بردارهای (1, 3, 2)، (3, −1, 0) و (1/3, 1, −5/3) بر عن عمودند، زیرا ‎(1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, (1)(1/3) + (3)(1) − (2)(5/3) = 0‎.
• دو تابع 2t + 3 و 5t² + t − 17/9 را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ [ − 1,1] و با تابع وزن w(x) = 1 بر هم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با ‎10t³ + 17t² − 7/9 t − 17/3‎ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:

‎

• چندجمله‌ای‌های متعامد بسیاری هستند که در ریاضیات، علوم و مهندسی کاربردهای بی‌شماری دارند. مانند:
  • چندجمله‌ای‌های هرمیت
  • چندجمله‌ای‌های لژاندر
  • چندجمله‌ای‌های لاگر
  • چندجمله‌ای‌های چبیشف
• در مکانیک کوانتومی، دو ویژه‌حالت یک تابع موج ψ_m و ψ_n متعامد هستند اگر مربوط به ویژه‌مقدارهای متفاوتی باشند. به زبان نمادگذاری دیراک، مگر این که ψ_m و ψ_n متعلق به یک ویژه‌مقدار باشند.

قواعد بخشپذیری بر اعداد 1 -15

قاعده تقسيم بر 1 :  

همه ی اعداد بر يک بخش پذير هستند.

قاعده تقسيم بر 2 :

عددي بر 2 بخش پذير است که رقم يکانش بر 2 بخش پذير باشد. باقي مانده تقسيم هرعدد بر 2 باقي مانده تقسيم رقم يکان عدد بر 2 است.

مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.

قاعده تقسيم بر 3 :

عددي بر 3 بخش پذير است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذير باشد. باقي مانده ی تقسيم عدد بر 3 همان باقي مانده تقسيم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.

مثال- مجموع رقم های عدد 7۵12 برابر 1۵ است و 1۵ بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7۵12 بر 3 بخش پذیر است.

قاعده تقسيم بر 4 :

الف) عددي بر 4 قابل قسمت است که دو رقم سمت راست آن بر4 قابل قسمت باشد. باقي مانده تقسيم هر عدد بر 4 مساوي باقي مانده تقسيم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .

مثال- عدد ۵248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.

ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.

مثال- عدد 1۵68 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = 8 + 6 * 2 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.

قاعده تقسيم بر 5 : 

عددي بر۵بخش پذير است که رقم يکانش بر۵ بخش پذير باشد. باقي مانده تقسيم هرعدد بر۵ باقي مانده تقسيم رقم يکان عدد بر ۵ است.

مثال- اعداد ۶۵،  240 و 800  بر۵ بخش پذیر هستند.

قاعده تقسيم بر 6 :

عددی بر 6 بخش پذیر است که  بر2 و3 بخش پذیر باشد. ( 3 * 2 = 6)

مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.

قاعده تقسيم بر 7 :

عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال- عدد ۵194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا:         

( 8 = 2 * 4)                            5194

                                                                         ( 2= 2 *1)              511  = 8 – 519

                                                                                             49 = 2- 51

49 مضربی از 7 است. بنابراین۵۱۹۴ بر 7 بخش پذیر است.

قاعده تقسيم بر 8 :

الف) عددي بر8  قابل قسمت است که سه رقم سمت راست آن بر 8 قابل قسمت باشد.

مثال- اعداد 4۵000 و706۵6 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و6۵6 بر 8 بخش پذیرهستند.

ب) عددی بر8 بخش پذیر است که 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.

مثال- عدد 6۵321 بر 8 بخش پذیر است. زیرا 16 = 2 * 2 + 3 * 4 و 16 بر 8 بخش پذیر می باشد.

قاعده تقسيم بر 9 :

عددي بر 9 بخش پذيراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذير باشد. باقي مانده تقسيم عدد بر9 همان باقي مانده تقسيم مجموع ارقام آن عدد بر9 است.

مثال- عدد ۵148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.

قاعده تقسيم بر 10 :

 عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.

مثال- اعداد 70  ، 1200 و  810  بر 10 بخش پذیر هستند.

قاعده تقسيم بر 11 :

عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.

مثال-عدد ۵240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا:

14 = 2 + 3 + 4 + 5

3 = 1 + 0 + 2

11 = 3 - 14

قاعده تقسيم بر 12 :

عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

مثال- اعداد 72 و  120  و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.

قاعده تقسيم بر 13 :

عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)

مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا:

         ( 28 = 7 * 4)                             247

( 8 = 2 * 4)               52 = 28 + 24

13 = 8 + 5

قاعده تقسيم بر 14 :

عددی بر 14 بخش پذیر است که   بر 2 و 7 بخش پذیر باشد. ( 7 * 2 =  14)

مثال- عدد 3۵42 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.

قاعده تقسيم بر 15 :

عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد. ( ۵ * 3 = 1۵)

مثال- عدد 43۵0 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 43۵0 نیز بخش پذیر است

قاعده های بخشپذیری

بخشپذیری از ساده ترین و بنیادیترین مفاهیم ریاضی است و بارزترین نتیجه نظریه اعداد که قضیه الگوریتم می‌ابشد.این مفهوم در عین اینکه مفهوم ساده و همه فهم دارد دارای مسائل دشوار وپیچیده می‌باشد.

                                                                                a=bq+r

این قضیه که به قضیه الگوریتم شهرت دارد بیان می‌دارد که باقیمانده تقسیم یک عدد بر عدد دیگر برابر r می‌باشد.البته به یک شرط مهم که باقیمانده باید بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر از خارج قسمت باشد. حالت خاص این مورد این است که باقیمانده برابر صفر باشد که در این صورت می‌گوییم :عددa برb بخشپذیر است.

تعیین قاعدهٔ بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها۳،۷،۹ باشد :

اگر یکان عددی ۳ویا ۷ ویا ۹ باشد باید کاری کنیم که آن عدد به مضربی از خود عدد که یکان آن یک باشد تبدیل شود.

مثلاً اگریکان ۳ بود باید عدد را در ۷ و اگر یکان ۷ بود عدد را در ۳ و اگر عدد یکانش ۹ بود باید در ۹ ضرب شود. سپس حاصلضرب بدست آمده را به غیر از یکان آن از عدد کم می‌کنیم .عددی را که در این عملیات بدست می‌آید به این صورت در قاعده به کار می‌بریم.

مانند مثال: می‌خواهیم قاعده بخش پذیری بر ۱۳ را پیدا کنیم. ابتدا آنرا در ۷ ضرب می‌کنیم تا یکان آن برابر با یک شود . حاصل بدست آمده را که ۹۱ است به غیر از یکان یعنی عدد ۹ را از ۱۳ کم می‌کنیم حاصل برابر با ۴ می‌شود . در اینجا قاعده بخش پذیری بر ۱۳ بدست می‌آید : ( ۴برابر یکان + بقیه ارقام ) ؛ که باید بر ۱۳ بخشپذیر باشد.

                                      ( ۴= ۹-۱۳   ۹۱= ۷ ×۱۳ )

    امتحان این قاعده :  

       ۱۳= ۵+ ۸    ۸= ۲× ۴       ۵۲ = ۲۰ + ۳۲       ۲۰ = ۵× ۴          ۴۲۵ 

تعیین قاعدهٔ بخشپذیری بر اعدادی که یکان آنها۱ باشد :

در این روش باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده را بدست آوریم مانند مثال زیر :

می‌خواهیم قاعده بخشپذیری بر عدد ۳۱ را پیدا کنیم. ابتدا باید به جز یکان بقیه ارقام را در نظر بگیریم و قاعده‌ای به این صورت بدست آوریم:

۳ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کرده عدد حاصل باید صفر باشد تا بر ۳۱ بخشپذیر باشد.

برای قاعده دوم می‌توان گفت با تقسیم بقیه ارقام بر یکان ، عددی را که یکان باید در آن ضرب شود بدست می‌آوریم.

نکته : بدست آوردن قاعده بخشپذیری بر اعدادی با یکان (۱) از روش بالا که برای ۳و ۷و ۹ به کار می‌رفت میسر است ولی طولانی می‌شود.

۱) قاعده بخشپذیری بر ۷ : ۵ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر ۷ بخشپذیر باشد. ( ۵= ۲- ۷ و ۲۱ = ۳ × ۷ )

    مثال :                            ۱۴= ۹ + ۵        ۵= ۱× ۵            ۹۱                         ۳۵ = ۵×۷    ۲۸۷ = ۲۵ + ۲۶    ۲۵ = ۵×۵       ۲۶۲۵

                          ۲۱=۱۵+۶    ۱۵ = ۵×۳     ۶۳ = ۳۵ + ۲۸   

البته یه قاعده دیگه هم برای بخشپذیری بر ۷ هست به این صورت که ۲برابر یکان را از بقیه ارقام باقیمانده کم می‌کنیم ، حاصل باید بر ۷ بخشپذیر باشد.

۲ ) قاعده بخشپذیری بر۱۳ : ۴ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر۱۳ بخشپذیر باشد. ( ۴= ۹-۱۳ ۹۱= ۷ ×۱۳ )

مثال : ۱۳= ۵+ ۸    ۸= ۲× ۴       ۵۲ = ۲۰ + ۳۲       ۲۰ = ۵× ۴     ۴۲۵ 

۳ ) قاعده بخشپذیری بر۱۹ : ۲ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر ۱۹ بخشپذیر باشد. ( ۲= ۱۷ – ۱۹ ۱۷۱ = ۹ × ۱۹ )

مثال :

                                   ۱۹= ۶+۱۳       ۶= ۳×۲         ۱۳۳

                         ۱۶ = ۸ ×۲     ۲۲۸ = ۱۶ + ۲۱۲     ۱۶= ۸ ×۲    ۲۱۲۸ 

               ۱۹= ۳+۱۶  ۱۶= ۸×۲    ۳۸ = ۱۶ +۲۲     

۴ ) قاعده بخشپذیری بر۲۹ : ۳ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر ۲۹ بخشپذیر باشد. ( ۳= ۲۶ – ۲۹ ۲۶۱ = ۹ × ۲۹ )

   ۲۹ = ۵+۲۴     ۲۴= ۸×۳     ۵۸ = ۱۵ +۴۳     ۱۵ = ۵×۳            ۳۴۵ 

   ۲۹= ۱۸ +۱۱     ۱۸ = ۶×۳     ۱۱۶ = ۱۲ + ۱۰۴   ۱۲ = ۴×۳      ۱۰۴۴

۵ ) قاعده بخشپذیری بر۳۳ : ۱۰ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر ۳۳ بخشپذیر باشد. ( ۱۰= ۲۳ – ۳۳ ۲۳۱ = ۷ × ۳۳ )

    ۳۳= ۲۰ +۱۳  ۲۰ = ۲×۱۰    ۱۳۲ = ۶۰ +۷۲      ۶۰ = ۶ ×۱۰     ۷۲۶

   ۶۶ = ۵۰ +۱۶    ۵۰ = ۵ ×۱۰     ۱۶۵ = ۱۰ + ۱۵۵    ۱۰ = ۱× ۱۰  ۱۵۵۱

۶ ) قاعده بخشپذیری بر۴۹ : ۵ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر ۴۹ بخشپذیر باشد. ( ۵= ۴۴– ۴۹ ۴۴۱ = ۹ × ۴۹ )

                                         ۴۹ = ۲۵ + ۲۴        ۲۵ = ۵×۵      ۲۴۵

۴۹ = ۲۰ + ۲۹ ۲۰ = ۴×۵ ۲۹۴ = ۳۵ + ۲۹۵ ۳۵ = ۷×۵ ۲۵۹۷

۷ ) قاعده بخشپذیری بر۵۷ : ۴۰ برابر یکان + بقیه ارقام باید بر۵۷ بخشپذیر باشد. ( ۴۰=۱۷– ۵۷ ۱۷۱ = ۳ ×۵۷)

                       ۸۰ = ۲×۴۰  ۳۴۲ = ۲۸۰ +۶۲   ۲۸۰ = ۷ ×۴۰    ۶۲۷

                    ۱۶۰ = ۴ ×۴۰   ۱۱۴  = ۸۰ + ۳۴  

          ۵۷ = ۴۰ + ۱۷    ۴۰ = ۱ × ۴۰     ۱۷۱ = ۱۶۰ +۱۱

تذکر : اگر عدد بدست آمده از انجام عملیات قاعده، غیر قابل تشخیص باشد یعنی نفهمیم بخشپذیر هست یا نیست باید عملیات را تا بدست آمدن عدد ادامه دهیم .

۱ ) قاعده بخشپذیری بر۱۱ اگر  یکان را از  بقیه ارقام کم کنیم    باید بر۱۱ بخشپذیر باشد. 

   مثال :                                                ۰ = ۱-۱     ۱۱= ۱- ۱۲      ۱۲۱

                                                        ۰ = ۲-۲      ۲۲ = ۵ – ۲۷      ۲۷۵

قاعده دیگری برای بخشپذیری بر ۱۱: ۱۰ برابر یکان + بقیه ارقام بر ۱۱ بخشپذیر باشد .

   مثال:                                       ۳۳= ۲۰ +۱۳     ۲۰ = ۲× ۱۰      ۱۳۲

۲) قاعده بخشپذیری بر۲۱ : اگر۲ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم بایدصفر شود.

مثال : ۰ = ۲-۲ ۲= ۱×۲ ۲۱ = ۱۰ – ۳۱ ۱۰ = ۵ × ۲ ۳۱۵

         ۰ = ۴-۴       ۴= ۲×۲       ۴۲ = ۱۴ – ۵۶        ۱۴ = ۷ ×۲        ۵۶۷

۳ ) قاعده بخشپذیری بر۳۱ : اگر ۳ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم ، حاصل برابر صفر شود.

مثال :           ۰ = ۶-۶    ۶= ۲×۳    ۶۲ = = ۱۸ – ۸۰     ۱۸ = ۶ ×۳    ۸۰۶ 

                 ۰ = ۹-۹     ۹ = ۳×۳      ۹۳ = ۱۵ – ۱۰۸    ۱۵= ۵×۳     ۱۰۸۵

۴ ) قاعده بخشپذیری بر۵۱ : اگر ۵ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم ، حاصل برابر صفر شود.

مثال :     ۰ = ۱۰ -۱۰   ۱۰= ۲×۵     ۱۰۲ = ۲۰ – ۱۲۲    ۲۰ = ۴×۵     ۱۲۲۴

                                               ۰ = ۳۵-۳۵       ۳۵ = ۷ × ۵           ۳۵۷

۵ ) قاعده بخشپذیری بر۷۱ : اگر ۷ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم ، حاصل برابر صفر شود.

مثال : ۰= ۷ – ۷ ۷ = ۱×۷ ۷۱= ۲۱ – ۹۲ ۲۱= ۳×۷ ۹۲۳

                                      ۰ = ۶۳ – ۶۳          ۶۳= ۹ ×۷        ۶۳۹

۶ ) قاعده بخشپذیری بر۱۰۱ : اگر ۱۰ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم ، حاصل برابر صفر شود.

مثال: ۰= ۱۰ -۱۰ ۱۰ = ۱ ×۱۰ ۱۰۱ = ۴۰- ۱۴۱ ۴۰ = ۴ ×۱۰ ۱۴۱۴

        ۰ = ۱۰ -۱۰    ۱۰ = ۱×۱۰   ۱۰۱ = ۳۰ – ۱۳۱       ۳۰ = ۳×۱۰     ۱۳۱۳

۷ ) قاعده بخشپذیری بر۱۱۱ : اگر ۱۱ برابر یکان را از بقیه ارقام کم کنیم ، حاصل برابر صفر شود.

 مثال : ۰ = ۱۱- ۱۱    ۱۱= ۱×۱۱    ۱۱۱= ۷۷ – ۱۸۸    ۷۷= ۷ ×۱۱          ۱۸۸۷

         ۰ = ۲۲- ۲۲    ۲۲ = ۲ ×۱۱     ۲۲۲= ۵۵- ۲۷۷   ۵۵ = ۵ ×۱۱         ۲۷۷۵

 

 

بخش پذیری

بخش‌پذیری یک رابطه ریاضی میان دو عدد درست است.

یک عدد درست تنها زمانی به عدد درست دیگر بخش پذیر است که از بخش آن باقیمانده‌ای برجای نماند. براین پایه عدد ۸ به عدد ۴ بخش پذیر است.

عددی به ۲ بخش پذیر است که یکان آن ۰، ۲، ۴، ۶ و یا ۸ باشد.

عددی به ۴ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از دو رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۴ بخش پذیر باشد.

عددی به ۸ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از سه رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۸ بخش پذیر باشد.

عددی به ۱۶ بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از چهار رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۱۶ بخش پذیر باشد.

در کل، عددی به ۲ به نمای n بخش پذیر است هر آنگاه که عددی که از n رقم واپسین آن ساخته می‌شود به ۲ به نمای n بخش پذیر باشد.

عددی به ۵ بخش پذیر است، هر آنگاه که یکان آن عدد به ۵ بخش پذیر باشد (۰ یا ۵).

عددی به۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با دو رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۲۵ بخش پذیر باشد (۰۰ یا ۲۵ یا ۵۰ یا ۷۵).

عددی به۱۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با سه رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۱۲۵ بخش پذیر باشد.

عددی به۶۲۵ بخش پذیر است، هر آنگاه، عددی که با چهار رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۶۲۵ بخش پذیر باشد.

در کل، عددی به ۵ به نمای n بخش پذیر است، هرآنگاه، عددی که از n رقم واپسین آن ساخته می‌شود، به ۵ به نمای n بخش پذیر باشد.

عددی به ۳ بخش پذیر است که مجموع رقم‌های آن به ۳ بخش پذیر باشد.

عددی به ۶ بخش پذیر است، که به ۲ بخش پذیر بوده و مجموع آن به ۳ بخش پذیر باشد.

عددی به ۹ بخش پذیر است که مجموع آن به ۹ بخش پذیر باشد.

تقسیم چیست

تَقسیم یا بَخش یکی از چهار عمل اصلی در ریاضی است که وارونهٔ عمل ضرب است.

به طور ویژه، اگر «c» ضرب‌در «a» برابر «b» را اینگونه بنویسیم:

اگر b برابر صفر نباشد٬ پس «a» بخش بر (تقسیم بر) «b» برابر «c» ٬ اینگونه نوشته می‌شود:

برای نمونه:

هنگامی که:

.

در گزارهٔ بالا٬ «a» را «مقسوم»٬ «b» را «مقسوم علیه» و «c» را «خارج قسمت» می‌گویند.

تقسیم بر صفر (یا بخش بر صفر) درصورتی که «b» صفر باشد تعریف نشده‌ است