معادله ی لاپلاس

 تعریف

در فضای سه بعدی مسئله پیدا کردن مقادیر حقیقی تابع φ از متغیرهای x و y و z است مثل

ادامه نوشته

ابو ریحان بیرونی

بیرونی در ۱۴ شهریور ۳۵۲ خورشیدی (۲۹ ذیقعده ۳۶۲ قمری برابر ۵ سپتامبر ۹۷۳ میلادی) در خوارزم که در قلمرو سامانیان بود به دنیا آمد، و زادگاه او که در آن زمان روستای کوچکی بود، «بیرون» نام داشت. مرگش در غزنه در اوان انقلاب سلجوقیان و پادشاهی مسعود بن محمود غزنوی بوده‌است و برخی درگذشت او را در ۲۲ آذر ۴۲۷ خورشیدی (۲۷ جمادی‌الثانی ۴۴۰ قمری برابر ۱۳ دسامبر ۱۰۴۸ میلادی) می‌دانند.

ادامه نوشته

ابوعبدالله محمد بن موسي خوارزمي، رياضي‌دان پرآوازه‌ ي ايراني، چنان‌كه پژوشگران اروپايي نيز بدان معترفند، يكي از بزرگ‌ترين رياضي‌دانان همه‌ي اعصار به شمار مي‌آيد. با اين همه از زندگاني وي آگاهي اندكي در دست است. بر پايه‌ي همين اطلاعات اندك، مي‌توان گفت كه وي به احتمال زياد از حدود سال 170 تا پس از 232 هجري قمري مي‌زيسته است. كتاب حساب خوارزمي باعث آشنايي مسلمانان و سپس اروپايي‌ها با رقم‌هاي هندي و شيوه‌ي حساب هندي شد و كتاب جبر و مقابله نام نويسنده‌اش را به عنوان بنيانگذار جبر در يادها ماندگار كرد. وي را معلم واقعي ملل اروپايي در علم جبر مي‌دانند.

 

ادامه نوشته

چهره های بزرگ

ماکسول ریاضیدان و فیزیکدان	لاپلاس ریاضیدان و فیزیکدان	مونژ ریاضیدان و فیزیکدان
کارولین هرشل فیزیکدان و ریاضیدان	دکارت فیلسوف (فیزیکدان و ریاضیدان)	دکتر محمود حسابی فیزیکدان و ریاضیدان
آلبرت انیشتین منجم، فیزیکدان و ریاضیدان	آریستارخوس فیزیکدان و ریاضیدان	اسحاق نیوتن فیزیکدان و ریاضیدان
خواجه نصیرالدین طوسی منجم، فیزیکدان و ریاضیدان	خوارزمی ریاضیدان ، فیزیکدان و پزشک	دکتر محسن هشترودی ریاضیدان و فیزیکدان

رياضيات در قرآن

به نام خدا 

ا- اولین آیه قرآن « بسم الله الرحمن الرحیم » دارای 19 حرف عربی است.

-2 قرآن مجید از 114 سوره تشکیل شده است و این عدد به 19 قابل قسمت است. (19* 6)

-3 اولین سوره ای که نازل شده است سوره علق (شماره 96) نوزدهمین سوره از آخر قرآن است.

-4 سوره علق 19 آیه دارد.

-5 سوره علق 285 حرف (19* 15) دارد.

-6 اولین بار که جبرئیل امین با قرآن فرود آمد، 5 آیه اول سوره علق را آورد که شامل 19 کلمه است.

-7 این 19 کلمه 76 حرف (19* 4) دارد که به تعداد حروف « بسم الله الرحمن الرحیم » است.

-8 دومین باری که جبرئیل فرود آمد 19 آیه اولی سوره قلم را آورد که شامل 38 کلمه است.(19* 2)
-9 سومین باری که جبرئیل فرود آمد 10 آیه اولی سوره مزمل را آورد که شامل 57 کلمه (19* 3) است.

-10 چهارمین بار که جبرئیل فرود آمد 30 آیه اولی سوره مدثر را آورد که آخرین آیه آن «بر دوزخ 19 فرشته موکلند» می باشد.

11- پنجمین باری که جبرئیل فرود آمد اولین سوره کامل « فاتحة الکتاب » را آورد که با اولین بیانیه قرآن بسم الله الرحمن الرحیم (19 حرف) آغاز می شود.

-12 آفریننده ذوالجلال و عظیم الشأن با آیه 31 سوره مدثر به ما یاد می دهد که چرا عدد 19 را انتخاب کرده است. پنج دلیل زیر را بیان می نماید:
الف - بی ایمانان را آشفته سازد.
ب - به خوبان یهود و نصارا اطمینان دهد که قرآن کتابی آسمانی است.
ج - ایمان مؤمنان را تقویت نماید.
د -تا هرگونه اثر شک و تردید را از دل مسلمانان و خوبان یهود و مسیحیت بزداید.
ه - تا منافقین و کفار را که سیستم اعدادی قرآن را قبول ندارند رسوا سازد.

-13 آفریننده به ما می آموزد که این نظم اعدادی قرآن تذکری به تمام جهانیان است. (آیه 31 سوره مدثر) و یکی از معجزات عظیم قرآن است. (آیه 53)

-14 هر کلمه از جمله آغازیه قرآن « بسم الله الرحمن الرحیم » در تمام قرآن به نحوی تکرار شده که به عدد 19 قابل قسمت است. بدین ترتیب که کلمه « اسم » 19 بار، کلمه « الله » 2698 (19* 42) بار، کلمه « الرحمن » 57 بار (19* 3 )، و کلمه « الرحیم » 114 بار ( 19* 6 ) دیده می شود.

-15 قرآن مجید شامل اعداد بیشماری است. مثلاً ما موسی را برای چهل شب احضار کردیم، ما هفت آسمان را آفریدیم و... . شمار این اعداد در تمام قرآن 285 (19* 15) خواهد بود.

-16 اگر 285 عدد فوق را با هم جمع کنیم حاصل جمع 174591 (19* 9181) خواهد بود.

-17 حتی اگر اعداد تکراری را از عدد فوق حذف نماییم حاصل جمع 162146 (19* 8534) خواهد بود.
-18 سوره قاف که با حرف ق شروع می شود شامل 57 (19* 3) حرف ق است.

-19 تنها سوره ای که در قرآن با حرف «ن» آغاز می شود، سوره قلم است.این سوره 133 «ن» دارد که به 19 قابل قسمت است. (19* 7(

تاريخچه مختصر رياضيات

انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور که مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه هايش را مي داند انجام مي داد اما به زودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد لذا به کمک انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد که مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار که بسيار پيچيده مي باشد قديمي ترين دستگاه شماري است که آثاري از آن در کهن ترين مدارک موجود يعني نوشته هاي سومري مشاهده مي شود. سومريها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين النهرين يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي عکاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639- 548 ق. م.) است که در پيدايش علوم نقش مهمي به عهده داشت و مي توان وي را موجد علوم فيزيک، نجوم و هندسه دانست. در اوايل قرن ششم ق. م. فيثاغورث (572-500 ق. م.) از اهالي ساموس يونان کم کم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مکتب فلسفي خويش همت گماشت. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني که در 490 ق. م. در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي کيوس قضاياي متفرق آن زمان را گردآوري کرد و در حقيقت همين قضايا است که مباني هندسه جديد ما را تشکيل مي دهند. در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبي ايجاد کرد که نه قرن بعد از او نيز همچنان برپا ماند. اين فيلسوف بزرگ به تکميل منطق که رکن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضي دان معاصر وي ادوکس با ايجاد تئوري نسبتها نشان داد که کميات اندازه نگرفتني که تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر کرده بود هيچ چيز غيرعادي ندارد و مي توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به کار برد. در قرن دوم ق. م. نام تنها رياضي داني که بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارک بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ گامهاي بلند و استادانه اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع کرد. بطلميوس که به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچگونه ارتباطي ندارد در تعقيب افکار هيپارک بسيار کوشيد. در سال 622 م. که حضرت محمد (ص) از مکه هجرت نمود در واقع آغاز شکفتگي تمدن اسلام بود. در زمان مأمون خليفه عباسي تمدن اسلام به حد اعتلاي خود رسيد به طوري که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي زبان علمي بين المللي شد. از رياضيدانان بزرگ اسلامي اين دوره يکي خوارزمي مي باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد کتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت. ديگر ابوالوفا (998-938) است که جداول مثلثاتي ذيقيمتي پديد آورد و بالاخره محمد بن هيثم (1039-965) معروف به الحسن را بايد نام برد که صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است. قرون وسطي از قرن پنجم تا قرن دوازدهم يکي از دردناکترين ادوار تاريخي اروپاست. عامه مردم در منتهاي فلاکت و بدبختي به سر مي بردند. برجسته ترين نامهايي که در اين دوره ملاحظه مي نماييم در مرحله اول لئونارد بوناکسي (1220-1170) رياضيدان ايتاليايي است. ديگر نيکلاارسم فرانسوي مي باشد که بايد او را پيش قدم هندسه تحليلي دانست. در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ايتاليايي و شاگردان آلماني آنها در حساب عددي جبر و مکانيک ترقيات شايان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصي به نام فرانسوا ويت (1603-1540م) به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده‌اي نمود. وي يکي از واضعين بزرگ علم جبر و مقابله جديد و در عين حال هندسه دان قابلي بود. کوپرنيک (1543-1473) منجم بزرگ لهستاني در اواسط قرن شانزدهم درکتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسماني منظومه شمسي را اين چنين ارائه داد:
1- مرکز منظومه شمسي خورشيد است نه زمين.
2- در حاليکه ماه به گرد زمين مي چرخد سيارات ديگر همراه با خود زمين به گرد خورشيد مي چرخند.
3- زمين در هر 24 ساعت يکبار حول محور خود مي چرخد، نه کره ستاره هاي ثابت.
پس از مرگ کوپرنيک مردي به نام تيکوبراهه در کشور دانمارک متولد شد. وي نشان داد که حرکت سيارات کاملاً با نمايش و تصوير دايره هاي هم مرکز وفق نمي دهد. تجزيه و تحليل نتايج نظريه تيکوبراهه به يوهان کپلر که در سال آخر زندگي براهه دستيار وي بود محول گشت. پس از سالها کار وي به نخستين کشف مهم خود رسيد و چنين يافت که سيارات در حرکت خود به گرد خورشيد يک مدار کاملاً دايره شکل را نمي پيمايند بلکه همه آنها بر روي مدار بيضي شکل حرکت مي کنند که خورشيد نيز در يکي از دو کانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاريخ رياضيات قرني عجيب و معجزه آساست. از فعالترين دانشمندان اين قرن کشيشي پاريسي به نام مارن مرسن که مي توان وي را گرانبها ترين قاصد علمي جهان دانست. در سال 1609 گاليله رياضيات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ايتاليا تدريس مي کرد. وي يکي از واضعين مکتب تجربي است. وي قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعريف کرد. در همان اوقات که گاليله نخستين دوربين نجومي خود را به سوي آسمان متوجه کرد در 31 مارس 1596 در تورن فرانسه رنه دکارت به دنيا آمد. نام رياضيدان بزرگ سوئيسي «پوب گولدن» را نيز بايد با نهايت افتخار ذکر کرد. شهرت وي بواسطه قضاياي مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا مي باشد و در کتابي به نام مرکزثقل ذکر شده. ديگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پي ير دوفرما رياضيدان بزرگ فرانسوي است که يکي از برجسته ترين آثار او تئوري اعداد است که وي کاملاً بوجود آورنده آن مي باشد. رياضيدان بزرگ ديگري که در اين قرن به خوبي درخشيد ژيرارد زارک فرانسوي است که بيشتر به واسطه کارهاي درخشانش در هنر معماري شهرت يافت و بالاخره رياضي دان ديگر فرانسوي يعني روبروال که بواسطه ترازوي مشهوري که نام او را همراه دارد همه جا معروف است. در اواسط قرن هفدهم کم کم مقدمات اوليه آناليز عناصر بي نهايت کوچک در تاريکي و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صداي آن به گوش مردم رسيد. بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما يکي از سه رياضيدان بزرگ نيمه اول قرن هفدهم بود و نيز مي توان ارزش او را در علم فيزيک برابر گاليله دانست. در نيمه دوم قرن هفدهم رياضي بطور دقيق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذير اين دوره يعني نيوتن انگليسي، لايب نيتس آلماني و هويگنس هلندي جهان علم را روشن کرده بودند. لايب نيتس در سال 1684 با انتشار مقاله اي درباره حساب عناصر بي نهايت کوچک انقلابي برپا کرد. هوگنس نيز در تکميل ديناميک و مکانيک استدلالي با نيوتن همکاري کرد و عمليات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعي حساب انتگرال در توسعه علوم دقيقه روشن شود. در قرن هجدهم ديگر تمام طوفانهاي قرن هفدهم فرو نشست و تحولات اين قرن عجيب به يک دوره آرامش مبدل گرديد. دالامبر فرانسوي آناليز رياضي را در مکانيک به کار برد و از روشهاي آن استفاده کرد. کلرو رقيب او در 18 سالگي کتابي به نام تفحصات درباره منحني هاي دو انحنايي انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله اي تهيه و به آکادمي علوم تقديم نمود که شامل مطالب قابل توجهي مخصوصاً در مورد مکانيک آسماني و هندسه بي نهايت کوچکها بود. ديگر لئونارد اويلر رياضيدان بزرگ سوئيسي است که در 15 آوريل 1707 م. در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783 م. در روسيه درگذشت. لاگرانژ از جمله بزرگترين رياضيدانان تمام ادوار تاريخ بشر است. مکانيک تحليلي او که در سال 1788 . عموميت يافت بزرگترين شاهکار وي به شمار مي رود. لاپلاس که در تدريس رياضي دانشسراي عالي پاريس معاون لاگرانژ بود کتابي تحت عنوان مکانيک آسماني در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ اين نابغه دانشمند وقتي که هنوز بيست سال نداشت شاخه جديد علم هندسه به نام هندسه ترسيمي را بوجود آورد. ژان باتيست فوريه در مسأله انتشار حرارت روش بديع و جالبي اختراع کرد که يکي از مهمترين مباحث آناليز رياضي گرديد. از ديگر دانشمندان بزرگ اين قرن سيمون دني پوآسون (1840-1781) فرانسوي و شاگرد لاپلاس مي باشد که اکتشافات مهمي در رياضيات نمود گائوس رياضيدان شهير آلماني تئوري کامل مغناطيس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسيم نقشه ها و نمايش سطوح بر صفحات اصلي و اساسي مي باشد. کوشي فرانسوي که در سراسر نيمه اول قرن پانزدهم بر ديگر هموطنان برتري داشت با منطق دقيق خود تئوري هاي زيادي از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هيچ دستور جبري که بتواند معادله درجه پنجم را به نتيجه برساند وجود ندارد. گالوا که در 26 اکتبر 1811 م. در پاريس متولد شد تئوري گروهها را که قبلاً بوسيله کوشي و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبري به کار برد و گروه جانشيني هر معادله را مشخص کرد. ديگر از دانشمندان بزرگ اين قرن ژنرال پونسله فرانسوي مي باشد که آثاري همچون «موارد استعمال آناليز در رياضي» و «خواص تصويري اشکال» دارد همچنين لازار کانو فرانسوي که اکتشافات هندسي او داراي اهميت فوق العاده مي باشد. ميشل شال هندسه مطلق را با بالاترين درجه استادي به بالاترين حد ممکن ترقي داد. در نيمه اول قرن نوزدهم رياضيدان روسي نيکلاس ايوانويچ لوباچوشکي نخستين کشف خود را درباره هندسه غيراقليدسي به جامعه رياضيات و فيزيک قازان تقديم کرد. ادوارد کومرنيز در نتيجه اختراع نوعي از اعداد به نام اعداد ايده آل جايزه رياضيات آکادمي علوم پاريس را از آن خود کرد. در اينجا ذکر نام دانشمنداني نظير شارل وايرشتراس و شارل هرميت که در مورد توابع بيضوي کشفيات مهمي نمودند ضروري است. ژرژ کانتور رياضيدان آلماني مکه در روسيه تولد يافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضيه مجموعه ها اساس هندسه اقليدسي را در هم کوفت. کانتور مجموعه را به دو صورت زير تعريف کرد:
1- اجتماع اشيايي که داراي صفت مميزه مشترک باشند هر يک از آن اشياء را عنصر مجموعه مي گويند.
2- اجتماع اشيايي مشخص و متمايز
ولي ابتکاري و تصوري هنري پوانکاره يا غول فکر رياضي آخرين دانشمند جهاني است که به همه علوم واقف بود. وي در بيست و هفت سالگي بزرگترين اکتشاف خود يعني توابع فوشين را به دنياي دانش تقديم نمود. بعد از پوانکاره رياضيدان سوئدي متياگ لفلر کارهاي او را ادامه داد و سپس رياضيدان نامي فرانسوي اميل پيکارد در اين راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فيزيک رياضي به منتها درجه تکامل خود رسيد و دانش نجوم مکانيک آسماني تکميل گرديد. امروزه رياضيات بيش از پيش در حريم ساير علوم نفوذ کرده و نه فقط علوم نجوم و فيزيک و شيمي تحت انضباط آن درآمده اند بلکه اصولاً رياضيات دانش مطلق و روح علم شده است.

تاريخچه عدد پی
يکی ازمعروفترين ثابتهای رياضی می باشد.که در محاسبه عدد پی(از حروف يونانی)که درمحیط ومساحت دايره وبيضی وحجم ومساحت کره کاربرد دارد.
نخستين تعريف عددپی (نسبت محيط دايره به قطرش)می باشداما اين ثابت پيچيده تر ازآن است که تعريف نشان می دهد.زيزا غيرممکن است که هم قطر وهم محيط دايره به صورت عددصحيح ياکسر محاسبه شود.
از اين رو عددپی يک عدد اصم(گنگ)می باشد.
درباره وجه نامگذاری اين عدد بايد گفت که نمادپی برای نسبت محيط دايره به قطر آن از اوايل قرن هيجدهم به کار رفته است. قديمی ترين سابقه تاريخی درموردعددپی پاپيروسی است که اکنون در مسکو نگهداری می شود.دراين سند محاسبه محيط دايره توسط مصريان ارائه شده است که برابر ۳ ميباشد .
درمحاسبه بابليان نيز اين مقدار۳ فرض شده است.که از کوششهای تجربی نتيجه گرفتند.
روی پاپيروس ديگری که متعلق به۱۷۰۰ سال پيش از ميلاد است مصريان مساحت دايره را از فرمول زير محاسبه می کردند.
مساحت = ( قطر - ۱ / ۹ ) به توان ۲
يا مساحت = شعاع × شعاع × ۸۱ / ۲۵۶
كه تقريبا برابر ...۱۶۰۵۰/۳ می باشد.

ويژگي ها و راه كارهاي حل مسائل كتاب رياضي

 

حدود ۲۰ راهكار از جرج پوليا در حل مسائل كتاب رياضي وجود دارد. كه به ۹ مورد آن اشاره مي كنم:

معمولا دانش آموز در حل مسائل كتابهاي درسي داراي مشكلات عمده اي است از اين رو لازم است راهكارهايي جهت حل مسائل كتاب (با داشتن ويژگي هاي مناسب)به شاگردان ارائه گردد.

برخي ازاين راهكارها عبارتنداز:

۱-شاگردان را بايد هدايت كرد كه مسئله را بفهمند.براي اين  منظور بخواهيد كه متن مسئله را دقيق بخواند ويا با زبان خودشان توضيح دهند كه مسئله چه مي گويد وچه مي خواهد.(فهميدن)

2-بخواهيد مسئله را عيني سازي كنند بدين ترتيب كه مثلا وقتي گفته مي شود علي دو سيب دارد مادرش به او سه سيب ديگر داد حالا علي چند سيب دارد؟اين مسئله فرد خودش و مادرش را در نظر بگيريد . تعداد سيب هاي داشته و گرفته را ملموس كند. تا بهتر بتواند مسئله را درك كند.

3- مسئله طرح شده بايد با سطح اطلاعات و دانش شاگردان همخواني داشته باشد.

4- از اشكال تابلو،نمودارها و نقشه هاي هندسي جهت درك بهتر مسئله استفاده كنيد.

5-براي تمركز بيشتر به آنان آموزش دهيد زير اعداد به كار رفته خط بكشند.

6-مسئله اي طرح كنيد كه صورت مسئله جنبه اي شهودي و تجربي داشته باشد.

7-صورت مسئله روشن و به دور از ابهام باشد تا شاگردان آن را راحتر بفهمند.

8-از مدل واقعي و ملموس جهت مسئله استفاده كنند.

9-به شاگردان اجازه دهيد تا روشي را كه خود پيشنهاد مي كنند جهت حل مسئله بكار گيرند.

حدس کولاتز

حدس کولاتز یکی از حدس‌های حل نشده در ریاضیات است.این حدس به افتخار لوتار کولاتز،که این موضوع را در سال۱۹۳۷ مطرح کرد، حدس کولاتز نام گرفت. این حدس همچنین به عنوان حدس 3n+1 نیز شناخته می‌شود.این گونه حدس‌ها می‌پرسد که آیا یک رشتهٔ خاص از اعداد، صرف نظر از این که چه عددی را به عنوان عدد اولیه انتخاب می‌کنیم، همیشه به یک صورت تمام می‌شود.

·          

ادامه نوشته

اعداد فیبوناچی

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:

1. \\ \end{cases} " type="#_x0000_t75">

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

‎

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.

·          

ادامه نوشته

تاریخچه ی هندسه:

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.

براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.

خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

 

تقسیم بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضائی.
• هندسه خطی.

در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است

ده ها هزار سال طول كشيد تا انسان توانست ، لنگان لنگان ، با شمردن آشنا شود .

رياضي دانان مسلمان

مسلمانان علم رياضي ، خاصه جبر و مقابله را به گونه اي پيشرفت دادند که مي توان گفت آنان موجد اين علم مي باشند.اگر اصول و مبادي علم رياضيات قبل از اسلام در دنيا وجود داشت ، لکن مسلمين انقلابي در آن ايجاد کردند و از جمله اينکه قبل از ديگران جبر و مقابله را در هندسه بکار بردند.

جبر و مقابله تا بدانجا مورد توجه آنان بود که مأمون عباسي در قرن سوم هجري
( قرن نهم ميلادي ) به ابومحمد بن موسي ، يکي از رياضيدانهاي دربار خود امر کرد کتاب سادة عام الفهمي در جبر و مقابله تآليف نمايد.

محمدبن موسي  فوت در سال )257 يا 259 هـ. ق. ) يکي از سه برادر دانشمندي بود که به بنوموسي شهرت داشتند.در نيمةدوم قرن سوم هجري ثابت بن قره( 221-228) هـ. ق.طبيب ،رياضيدان و منجم حوزه علمي بغداد خدمات بسياري را در زمينه ترجمه کتابهاي علمي از زبانهاي سرياني و يوناني به زبان عربي انجام داد.
وي دارالترجمه اي تأسيس کرد که بسياري از دانشمندان آشنا به زبانهاي خارجي در آن کار ميکردند. در اين دارالترجمه بسياري از آثار يونانيان نظير آپولونيوس ، تئودوسيوس ، بطلميوس ، جالينوس و ائوتوکيوس به وسيله او يا تحت سرپرستي وي به عربي ترجمه شد.

ابو حفض يا ابوالفتح الدين عمر بن ابراهيم نيشابوري مشهور به خيام نيشابوري از برجسته ترين حکما و رياضي دانان جهان در سال 329 ه.ق درنيشابو به دنيا آمد .خيام کمتر مي نوشت و شاگرد مي پذيرفت ، وي براي کسب دانش به خراسان و عراق نيز سفر کرد . به واسطه تبحر و دانش عظيمي که در رياضيات و نجوم داشت ، از سوي ملکشاه سلجوقي فراخوانده شد، ملکشاه به او احترام مي گذاشت و خيام نزد او قرب و منزلت ويژه اي داشت . او بنا به خواست ملکشاه در ساخت رصدخانه ملکشاهي و اصلاح تقويم با ساير دانشمندان همکاري داشت . حاصل کارش در اين زمينه تقويم جلالي آن است که هنوز اعتبار و رواج دارد و تقويم او از تقويم گريگور يابي دقيق تر است .

يکي ديگر از دانشمندان اسلامي که تحولي عظيم در علم رياضي پديد آورد ابوعبدالله محمدبن موسي خوارزمي متوفي )232 هـ. ق. ) است.اين رياضيدان ، منجم، جغرافيدان و مورخ ايراني يکي از منجمين دربار مأمون خليفه بود. وي در بيت الحکمه مشغول کار بود.

بيت الحکمه مؤسسه علمي معروفي بود که مأمون خليفة عباسي ( 198-218 هـ. ق. ) به تقليد از دارالعلم قديم جنديشاپور در بغداد تأسيس کرد. ظاهراً فعاليت عمدة اين مرکز ترجمة آثار علمي و فلسفي يوناني به عربي بود. عده اي از مترجمان برجسته و نيز کاتبان و صحافان در آنجا کار مي کردند. کتابخانه اي که بدين طريق فراهم آمد و عنوان خزانه الحکمه داشت از زمان هارون الرشيد و برامکه سابقه داشت.

از مؤسسات وابسته به بيت الحکمه رصدخانه اي در بغداد و رصدخانه اي در دمشق بود که منجمين و رياضيدانان اسلامي در آنجا به رصد کواکب و فراهم کردن زيجها (جداولي که از روي آن به حرکت اجراي سماوي پي مي برند) اشتغال داشتند.
درباره اهميت و ارزش آثار خوارزمي چنين آورده اند:

 خوارزمي درخشانترين چهره در ميان دانشمنداني بود که در دربار مأمون گرد هم آمده بودند. او کتب و آثاري را در علوم جغرافيا و نجوم تدوين نمود که سيصد سال بعد به وسيله آتل هارت انگليسي به لاتين ترجمه و در اختيار علماي اروپا قرار گرفت.

ولي دو اثر او در رياضيات نام او را جاوداني ساختند. يکي از آنها حل المسائل علمي ، براي زندگي عملي، با عنوان جبر و مقابله بود. مترجمي که در قرون وسطي اين اثر را برگرداند نيز همان نام عربي را براي آن برگزيد و اولين کلمة عنوان کتاب يعني « الجبر» را براي هميشه در رياضيات تحت عنوان (Algebra) به جاي ماند, گذاشت.
دومين اثر خوارزمي که نامش را جاودان ساخت ، همان کتاب آموزشي فن محاسبه بود که در آن طريقة استفاده از اعداد هندي را مي آموخت. نوشتن اعداد ، جمع و تفريق ، نصف کردن و دو برابر کردن ، ضرب، تقسيم و محاسبات کسري. اين کتابچه نيز به اسپانيا آورده و در اوايل قرن دوازدهم ميلادي به لاتين برگردانده شد. ترجمة آن از عربي به لاتين با اين جمله آغاز مي گردد: «چعلل زوال علوم يوناني

محمدبن موسي ( فوت در سال ۲۵۷ يا ۲۵۹ هـ. ق. ) يکي از سه برادر دانشمندي بود که به بنوموسي شهرت داشتند.در نيمةدوم قرن سوم هجري ثابت بن قره( ۲۲۱-۲۲۸ هـ. ق. )طبيب ،رياضيدان و منجم حوزه علمي بغداد خدمات بسياري را در زمينه ترجمه کتابهاي علمي از زبانهاي سرياني و يوناني به زبان عربي انجام داد.
وي دارالترجمه اي تأسيس کرد که بسياري از دانشمندان آشنا به زبانهاي خارجي در آن کار ميکردند. در اين دارالترجمه بسياري از آثار يونانيان نظير آپولونيوس ، اقليدس ، ارشميدس ، تيودوسيوس ، بطلميوس ، جالينوس و ايوتوکيوس به وسيله او يا تحت سرپرستي وي به عربي ترجمه شد.

ابوریحان محمد بن احمد بیرونی (۳ ذیحجه ۳۶۲ ه.ق. حومه شهر کاث - ۴۴۰ ه.ق غزنین)، دانشمند بزرگ و ریاضیدان، ستاره‌شناس و تاریخنگار سده چهارم و پنجم هجری است و بعضی از پژوهندگان او را از بزرگ‌ترین فیلسوفان مشرق‌زمین می‌دانند.

ابو جعفر محمد بن محمد بن حسن طوسی (زاده توس بسال ۵۹۸ ه.ق. مطابق با ۵۸۰ ه.خ.) ملقب به خواجه نصیر طوسی یا خواجه نصیرالدین طوسی (توسی هم نوشته شده)، فیلسوف، متکلم، فقیه، دانشمند، ریاضیدان و سیاستمدار شیعه سده هفتم است.

جمشید بن مسعود بن محمود طبیب کاشانی ملقب به غیاث‌الدین که در غرب به الکاشی(al-kashi) مشهور است. ریاضی‌دانی برجسته و ستاره‌شناس و محاسبی ماهر و زبردست بود. آلات رصدی دقیقی اختراع کرد و از حدود ۸۰۸ (۱۴۰۶) تا پایان عمرش ۸۳۲ (۱۴۲۹) فعالیت علمی داشته است. در دوران فعالیت علمی‌اش به تالیف کتاب‌های متعددی در زمینه ریاضیات و نوجوم پرداخته است مهم‌ترین این آثار عبارت‌اند از: زیج خاقانی، مفتاح الحساب، رسالهٔ محیطیه و رسالهٔ وتر و جیب. او ضمنا وسیله‌ای برای رصد به‌نام «طبق المناطق» اختراع کرد که برای یافتن عرض ستاره‌یی است و کتاب «نزهة الحدائق» در توصیف و تشریح آن نوشت. برجسته‌ترین ابداعات او در ریاضیات کسرهای اعشاری و محاسبه‌ی π با دقتی که تقریباً تا صد و پنجاه سال بعد گسترش نیافت و محاسبهٔ سینوس زاویهٔ یک درجه با روش حل پی‌درپی نوعی معادلهٔ درجه سوم است. او در حدود ۸۲۴ (۱۴۲۱) به دعوت الغ بیک از کاشان به سمرقند رفت و مدیر رصدخانهٔ سمرقند و مورد احترام ریاضی‌دانان و ستاره‌شناسان سمرقند بود. او در ۱۹ رمضان ۸۳۲ (۱۴۲۹) هنگامی که برای رصد به حومهٔ سمرقند رفته بود درگذشت.

ابوحنیفه دینوری، احمدبن داودبن ونند معروف به‌ابوحنیفه دینوری، زادگاه وی دینور و به‌تاریخ تقریبی (۸۲۸ - ۸۸۹ میلادی) برابر با (۲۲۲ - ۲۸۲ هجری قمری) است. تحصیلات خود را در اصفهان، کوفه و بصره به‌پایان رساند و از محضر اسحاق سکیت و پسرش یعقوب سکیت بهره‌ها گرفت. دینوری، گیاه‌شناس، مورخ، جغرافیادان، ستاره‌شناس و ریاضی‌دان، نحوی و لغت‌شناس بوده و به‌علوم هند آشنائی داشته است.

 

این قرن یکی از مهمترین قرنها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهای فکری بیشتر، پیشرفتهای سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:

الف) کشف لگاریتم

ب) تدوین علامات و نمادگذاریهای کنونی جبری

ج) گشوده شدن پهنه جدیدی در هندسه محض به ویژه هندسه تصویری

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی

ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال

و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال

شاید بهترین راه برای بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصری از زندگانی ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:

1.      نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاری هندی-عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها. «جان نپر» سومین اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نیست بلکه معکوس e است که البته خود او چیزی در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و جداول مربوط به آن، «هنری بریگز» که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و لگاریتم معمولی در پایه ۱۰ را معمولاْ «لگاریتم بریگزی» می نامند. لگاریتم به معنای «عدد نسبت» است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است. (مراجعه کنید به صفحه ۴ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.)
 

2.      پاسکال: این نابغه فرانسوی، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و فقط با تلاشهای خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله ای درباره مقاطع مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع کرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهای مذهبی، جسم ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین «چه ها که می شد!!» در تاریخ ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهای او عبارتند از:

- تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی از قدیمی
  ترین احکام قابل قبول استقرای ریاضی استفاده شده است.

- کشف و اثبات قضیه مشهور «هگزاگرام رمزی» که درباره یک ۶ ضلعی محاط در یک مقطع
  مخروطی است.

- پی ریزی علم احتمال به همراه «فرما» (ریاضیدان بزرگ فرانسوی). این علم به وسیله مکاتباتی
  بین پاسکال و فرما در تلاش برای حل «مساله امتیازها» در یک بازی شانسی به وجود آمد.

- اثری درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه ای واقع بر محیط یک دایره، هنگامی که
  دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاک می غلطد، رسم می شود. این منحنی دهها
  خواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاری بین ریاضیدانان ایجاد کرد به طوری که به آن
  «سیب نفاق» گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب شده است، برای مطالعه آن
  به پاورقی صفحه ۲۷ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید).  جالب است
  که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزی شبیه به سیب ایجاد می شود. 

3.      دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهای جبری برای حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاری در ساده سازی مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زیبایی را به نام «قاعده علامات دکارت» برای تعیین تعداد ریشه های مثبت و منفی یک چند جمله ای به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۷۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). او برای اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو چند جمله ای هم درجه برای به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوری است و مطالب بسیاری را به جهان فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهای جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که ارزش آموزشی زیادی دارد (مراجعه کنید به صفحه ۵۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
 

4.      فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاری از شاخه های ریاضیات کارهای مهم و اساسی انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:

- تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از موسسان
  هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهای فرما عکس کارهای دکارت بوده است.
  دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما فرما از معادله شروع و
  سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.

- تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده ای در نظریه اعداد داشت. قضایای
  بسیاری را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها درست بودن اغلب قضایای ثابت
  نشده او به ثبوت رسید(مراجعه کنید به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د.
  ایوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید!  

- فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزی کرد.

- فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهای اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از طریق
  معادله f'(x)=0 نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳
  جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). همچنین او یک روش کلی برای یافتن مماس بر
  نقطه ای از یک منحنی که مختصات دکارتی آن معلوم باشد، ابداع کرد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳
  جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

5.      ریاضیدانان معروف قرن ۱۷ که قبل و یا همزمان با نیوتن می زیستند و در شکل گیری و پیشرفت
حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند: (۱) سیمون استوین (۲) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما برای پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) (۳) کاوالیری (۴) فرما (۵) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) (۶) آیزاک برو (که احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)

6.      نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهای او ساده نیست. ریاضیدان و فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه ای است که در جهان زیسته است. همچنین «لایبنیتز» رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهای انجام شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در ۲۳ سالگی به درجه ای رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند. روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در ۲۷ سالگی به استادی دانشگاه برگزیده شد و حدود ۶۵ سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ دستاوردهای نیوتن را بدین صورت بیان کرده است: «طبیعت و قوانین طبیعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باری فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد.» البته نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازی در کنار دریا هستم که گاهی صدفهای زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از غولان، ارشمیدس و امثال او باشند. کارهای ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر است:

- تالیف کتاب« اصول ریاضی فلسفه طبیعی» که با اصرار «هالی» ستاره شناس معروف و با هزینه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده های زمینی و سماوی می پردازد و یک صورت بندی ریاضی از این پدیده هاست. این کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاری بر دنیای جدید داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.

- بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهای مربوط به  سریهای نامتناهی

- بسط روشهای مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحنای منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهای زیر منحنی ها و طول قوس آنها

- ارائه روشی برای تقریب زدن مقادیر ریشه های حقیقی یک معادله جبری یا غیر جبری و نیز روشهای زیبایی برای مطالعه منحنی های درجه سوم

7.      لایبنیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدی نیوتن در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباری بین این دو بر سر تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته دارای اندیشه ای عالی بوده است. بد نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که برای انجام کارهای سیاسی به کشورهای دیگر سفر می کرد. کارهای او در ریاضیات به طور خلاصه عبارتند از:

- ارائه قسمت مهمی از نمادهای کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال که از S کشیده Summa -یک کلمه لاتین به معنای مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهای نیوتن آنچنان استفاده نمی شود.

- استخراج بسیاری از قواعد مقدماتی مشتق گیری که معمولاْ در ابتدای درس مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم (مراجعه کنید به صفحه ۱۱۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

- تلاش برای پایه گذاری نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان برای اولین بار

- ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتوای مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهای نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).

- لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را برای حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.

الگوهاي فعال تدريس
نقد و بررسي انواع روش تدريس رياضي

بحث در روش تدريس رياضي به زمان ما منحصر نمي شود. از هنگامي كه تدريس رياضي مطرح بوده است، روش تدريس آن نيز مورد بحث و مطالعه بوده است. با مطالعه تاريخ آموزش و پرورش، ملاحظه مي كنيم كه همواره دو نوع آموزش درمقابل هم قرار داشت هاند. دسته اول، روشهاي تدريس سنتي، كه در گذشته هاي دور به كار مي رفته اند و دسته دوم، روشهاي مبتني بر يافته هاي روانشناسي است كه به طور عمده از قرن بيستم به بعد تكوين يافته اند و به روشهاي جديد شهرت دارند. از ميان روشهاي سنتي مي توان از روش سقراطي و روش مكتبخانه اي در ايران و ديگر كشورهاي اسلامي نام برد. از روش هاي جديد در تدريس رياضي مي توان به روش توضيحي، روش سخنراني، روش اكتشافي، روش حل مساله، روش بحث در كلاس، روش پرسش و پاسخ، روش فعال، روش قياسي و استقرايي آموزش مهارتهاي فراشناختي نام برد. در اين فصل انواع روشهاي تدريس رياضي كه به پنج دسته، روش كلامي، روش مكاشفه اي، روش مفهومي، روش فعال و روش الگوريتمي مورد بررسي و نقد قرار مي گيرند. در پايان اين فصل از خوانندگان انتظار مي رود كه بتواند با تكيه بر انواع روشهاي تدريس ذكر شده، در يك يا چند موضوع درسي، تدريسي را طراحي نمايند و در صورت امكان آن را اجرا نمايند تا به نقاط قوت و ضعف خود آشنا شوند و نقاط قوت خود را در تدريس هاي بعدي، پر رنگ تر نموده و برضعف هاي خود چيره شوند.
2-1 روش كلامي (زباني)
در اين روش معلم به اصطلاح متكلم وحده است. همه چيز را بيان مي كند، قواعد را بررسي مي كند، نتيجه گيري مي كند و طراح مساله است. خلاصه معلم همه كاره و دانش آموز هيچ كاره است. معلم مساله گو و شاگرد مساله حل كن، معلم متكلم و شاگرد مستمع است. اين نكته جالب است كه طرفداران اين روش دو گروه مخالفند، عده اي موافق روش زبان ماشيني و عده اي موافق روش زباني استدلالي هستند.
الف) روش تدريس زبان ماشيني (قاعده گويي):
اين گروه اعتقاد دارند كه دانستن قواعد و فنون محاسبه براي دانش آموزان كافي است. اگر دانش آموز ادامه تحصيل دهد آنگاه برايش استدلال خواهد شد و مطالب را خواهد فهميد و در صورتي كه ادامه ندهد اين محاسبات هست كه به دردش مي خورد و چه كار دارد كه چرا فلان مطلب چنين است و چنان نيست. حسن اين روش در آن است كه تدريس به سرعت انجام مي شود ولي معايب آن عبارتند از:
1- دانش آموز قواعدي را بدون آنكه آنها را درك كرده و منطقي بودن آنها را پذيرفته باشد، آنها را حفظ مي كند و به همين سرعت هم فراموش مي كند.
2- نسبت به مطالبي كه مي خواند احساس بيگانگي مي كند و نسبت به آنچه ياد گرفته است علاقه اي نشان نمي دهد.
3- اين آموزش پاسخگوي نيازهاي طبيعي دانش آموز به كنجكاوي و حقيقت جويي نمي باشد.
4- طرفداران اين روش جالب پرورش را به طور كلي ناديده مي گيرند.
ب) روش تدريس زبان استدلالي:
طرفداران اين شيوه برخلاف گروه قبل تدريس رياضي را توام با استدلال قبول دارند. آنها معتقدند كه رياضي با منطق آميخته است. پس بايد با استدلال و برهان به امر تدريس رياضي همت گماشت. ابتدا بايد تعريف و اصول گفته شود و به دنبال آن مي توان نتيجه گيري ها را با استفاده از قوانين منطق آغاز نمود. حسن اين روش آن است كه با طبيعت رياضي سازگاري دارد ولي معايب آن عبارتند از:
1- از روش استدلالي در هر سني نمي توان استفاده نمود.
2- قدرت ابتكار رشد نمي كند و دانش آموز جستجوگر نخواهد شد.
3- معلم و شاگرد به تدريج از جهان واقعي دور مي شوند.


نقد و خلاصه روش هاي كلامي (زباني):
روشهاي زباني همان طور كه از نامشان پيداست، بر زبان و كلام معلم تكيه دارد. در اين روشها، معلم و مدرس متكلم وحده است و كمتر مجال سئوال كردن، توضيح دادن، درك و فهم واقعي به دانش آموزان داده مي شود.
تنها مزيت ظاهري روشهاي زباني اين است كه تصور مي شود كه دانش آموزان به ظاهر در درس پيش مي روند. اين باور درست نيست، زيرا در دراز مدت، اثرات نادرستي در پرورش فكر و استعداد دانش آموزان مي گذارد و در سنين بالاتر اگر مطالب رياضي را دير مي فهمند، علت عمده اش اين است كه قبلا در آموزش مطالب بنيادي به آنها عجله كرده ايم. به عبارت ديگر، در مراحل بعدي آموزش، دانش آموزان ناچارند از معلوماتي استفاده كنند كه قبلاً آنها را خوب فرا نگرفته و به درستي نفهميده اند.
2-2 روش اكتشافي
يادگيري اكتشافي فرايندي است كه دانش آموز به طور مستقل و با راهنمايي معلم يا بدون آن، اصل يا قانوني را كشف نموده و مساله اي را حل مي كند. ويژگي عمده روش اكتشافي، درجه و ميزان راهنمايي شدن شاگرد (به وسيله معلم) براي اكتشاف است كه اين ويژگي به عواملي مانند استعداد دانش، مهارت شاگرد و درجه دشواري خود مساله بستگي دارد و مي تواند در چهار محدوده قرار گيرد.
1- معلم مي تواند اصول و راه حل مساله را براي شاگرد توضيح دهد، اما پاسخ مساله را نگويد (در اينجا معلم از روش توضيحي بهره مي گيرد)؛ اين نوع راهنمايي براي دانش آموزان ضعيف ضرورت مي يابد.
2- معلم مي تواند فقط اصولي را كه براي كشف آن به كار مي رود به شاگرد توضيح دهد، اما راه حل و جواب مساله را در اختيار او قرار ندهد.
3- معلم مي تواند اصول را ارائه ندهد؛ اما راه حل را بگويد.
4- معلم مي تواند اصول و راه حل را به شاگرد نگويد؛ كه آن را يادگيري راهنمايي نشده مي ناميم.
از آن جايي كه اين روش بر پاسخ مداوم دانش آموزان به سئوالات مختلف در كلاس درس تا حدودي متكي است، لذا تدريس به وسيله آن مشكل است و لذا معلم نياز به صبر بيشتر و وقت زيادتري دارد و نقش معلم در اين روش هدايت نمودن دانش آموزان در ارتباط دادن مطالب جديد با تجارب و محفوظات گذشته نشان مي باشد. حدسيات، تخمين ها و آزمايش و خطا، آزمايشهايي هستند كه در روش اكتشافي براي يافتن ايده هاي جديد و ارتباط آنها با مفاهيم گذشته به كار مي روند.
معلم با طرح سئوالات مناسب مي تواند جواب هاي نادرست دانش آموزان را به سمت جواب هاي درست هدايت نمايد. معلم بايد كلاس را در جهت صحيح و مسير معيني حفظ نمايد به طوري كه از حالت كاوش و پويايي شاگردان كاسته نشود. در اين روش، معلم دانش آموزان را وادار به فكر كردن مي كند و آنها را براي رسيدن به پاسخ درست تشويق مي نمايد لذا دانش آموز در فرايند يادگيري سهيم است.
تكنيك هاي تدريس به روش مكاشفه اي:
1- معلم، سئوالي را براي بررسي كردن به دانش آموزان ارائه مي نمايد. معلم بايد اطمينان حاصل كند كه دانش آموزان مساله را فهيمده اند و بدانند كه دنبال چه چيزي مي گردند و چگونه بايد اين راه را ادامه دهند و چگونه مسير درست را انتخاب نمايند.
2- معلم فكر كردن را در دانش آموزان با گفتگو و پرسش برانيگزاند و از آنها بخواهد با ارائه مثال ها و نامثال ها، مساله را دنبال كنند.
3- معلم فعاليت هايي طرح ريزي نمايد كه الگوهاي جديد را ايجاد نمايد.
4- معلم از مدل هاي مختلف آموزشي و ابزار كمك آموزشي باري تدريس بهره برد.
5- در ارزشيابي نيز از مسايل استفاده نمايد كه توانايي آنها را در كشف مقاصد جديد بسنجد.
6- از نتيجه گيري سريع براساس يك يا دو نمونه به عنوان شاهد خوددداري كنيد.
اكتشاف يك مطلب در كلاس درس بايد روال منطقي داشته باشد و تا حدودي نمايانگر يك مكاشفه واقعي با محيطي منطقي باشد.
7- دانش آموزان را به طور مرتب در جريان پيشرفت هايشان قرار دهيد.
محاسن روش اكتشافي از ديدگاه برونر:
1- يادگيري اكتشافي، توانايي ذهني دانش آموزان را تقويت مي كند.
2- يادگيري اكتشافي، انگيزه دروني دانش آموز را افزايش مي دهد، زيرا در اين يادگيري شاگرد به طور خودجوش فعاليت هاي آموختن را دنبال مي كند و پاداشي هم كه مي گيرد، از فعاليت هاي خود اوست.
3- يادگيري اكتشافي، فنون اكتشاف را به شاگرد مي آموزد و او را خلاق و كاوشگر بار مي آورد.
4- يادگيري اكتشافي موجب دوام بهتر آموخته ها مي شود. زيرا دانش آموز خود آموخته هايش را سازمان مي دهد و مي داند كه چه موقع و چگونه آنها را به دست آورد.
5- از آنجا كه در اين روش از مشاهده اشكال، اشيا، و تصاوير براي تدريس استفاده مي شود. درك حقايق و روابط را تا حدي براي دانش آموزان آسان مي كند.
معايب روش اكتشافي:
1- قدرت استدلال و ارتباط بين مفاهيم كم مي شود.
2- اين روش بسيار وقت گير است.
3- طرفداران اين روش اهميت فوق العاده اي به احساس و ادراك مي دهند اما بايد توجه داشت كه بعضي از مفاهيم رياضي (مانند اعداد منفي) را نمي توان از راه حواس درك نمود.
4- مكاشفه در بدو امر خوب است ولي نتيجه اساسي نه از راه مكاشفه بلكه از كوششي كه در نباله اين رغبت براي توضيح و تنظيم روابط صورت مي گيرد، حاصل مي شود. به عنوان مثال نيوتن با مشاهده سقوط سيب از درخت، وجود رابطه اي بين زمين و اجسام پيرامون آن را احساس كرد (مكاشفه) ولي مشاهدات مذكور به تنهايي ارزش چنداني نداشت و اگر به همين جا خاتمه يافته بود، هيچ نتيجه عملي از آن به دست نمي آمد.
5- اگر هر تصوري را به كمك شكل و به طور يكنواخت به دانش آموزان عرضه كنيم، بيم آن مي رود كه ذهن آنها، به جاي رابطه مورد نظر، توجه شان به شكل يا تصوير جلب شود و به كلي از حقيقي كه در نظر داريم بي اطلاع بماند.
2-3- روش مفهومي
در اين روش بيشتر تاكيد بر مفاهيم رياضي است و تكيه كمتري بر مهارت ها مي شود. ما معتقديم كه تكيه بيش از حد بر يكي، ما را از ديگري دور مي سازد لذا يايد به طور متعادل بين مفاهيم و استفاده از روش ها تاكيد نمود. ذكر اين نكته ضروري است كه تا هنگامي كه مفاهيم در ذهن دانش آموزان شكل نگرفته است، نبايد به سراغ تكنيك ها و مهارت ها رفت. تفاوت روش مفهومي با روش الگوريتمي نيز از همين جا ناشي مي شود كه در روش مفهومي تكيه بر مفاهيم است و در روش الگوريتمي تكيه بر مهارت ها و تكنيك هاست.
2-4- روش فعال
در اين روش، هدف اين است كه دانش آموزان در فرايند آموزش و پرجنب و جوش باشند. البته، هيچ روشي به طور محض غيرفعال نيست. براي مثال، در روش سخنراني، معلم فعال و دانش آموزان ظاهراً غيرفعالند اما در حقيقت، به طور ذهني فعالند؛ زيرا به سخنان معلم گوش مي كنند و درباره مطالب آن مي انديشند و يادداشت برمي دارند.
برخلاف روش هاي منفعل كه « معلم محور» است روش فعالي « دانش آموز محور» است. دانش آموز درامر يادگيري شركت فعال دارد، با مسايل مواجه مي شود، راجع به حل آنها فكر مي كند و با راهنمايي معلم به حل آنها مي پردازد. در اثر كارهاي آموزشي خودش، به مفاهيم پي مي برد. در اين صورت است كه دانش آموز به حل مساله ها علاقه مند مي گردد. موفقيت اين روش، به مهارت معلم و تسلط او به درس همبستگي دارد.
در آموزش به روش فعال هر دانش آموز مطالب را به سرعت خود ياد مي گيرد و فرصت دارد كه به مطالب فكر كند. دانش آموز از طريق حل مساله، طي فرايندي به تدريج به مفاهيم پي مي برد و به جاي آنكه شاهد را رفتن معلم باشد خود قدم به قدم راه رفتن را تمرين مي كند و مي آموزد. با پي بردن به توانايي هاي خود، در او حس اعتماد به نفس تقويت مي شود چون در به دست آوردن نتيجه ها و كشف قواعد سهيم است و نسبت به مطالب احساس علاقه و مالكيت مي كند و ميل به دانش افزايي در او باور مي شود، در جريان كار فعال، دانش آموز رشد مي كند و تفكر منطقي را تقويت مي كند. در اين روش وظايف معلم عبارتست از توجه به كار يكايك دانش آموزان و دادن راهنمايي در موارد لازم، علاقه مند كردن آنها به كار و فعاليت درسي، شناخت دانش آموزان و پي بردن به توانايي آنها و از همه مهمتر قدم به قدم پيش بردن دانش آموز براي يادگيري يك مطلب درسي جديد طي مراحل مختلف آن. وظيفه دانش آموز هم فهاليت و كارآموزي و كاوشگري در حد توانايي خود مي باشد.
سه اصل آموزش به روش فعال:
معلم بايد بداند كه روند يادگيري چگونه جريان دارد و راه هاي ثمربخش را انتخاب كند. سه اصل براي تدريس ثمربخش وجود دارد كه عبارتند از:
1- اصل يادگيري فعال (كشف موضوع توسط خود دانش آموز ضمن انجام فعاليت هاي مناسب): البته آنچه در كلاس مورد توجه ملعم است اهميت دارد، ولي هزار بار مهم تر از آن، چيزي است كه مورد توجه دانش آموز است. انديش ها بايد از ذهن خود دانش آموز بيرون بيايد. در اين ميان نقش معلم را مي توان با نقش ماما و قابله مقايسه كرد.
اين، نصيحت رسمي سقراط است. گفتگوي سقراطي، بهترين شكل آموزش با بهترين نتيجه است. درست است كه ميزان وفتي كه، در مدرسه، براي هر ماده درسي گذاشته اند، محدود است كه با اين روش همه درس ها را نمي توان ارائه نمود ولي با همه اين، اصل قديمي ما به قوت خود باقي است كه مي گويد: «با همين امكان هايي كه داريد، حداكثر تلاش خود را به كار بريد، تا خود دانش آموزان، در جريان كشف، شركت داشته باشند».
اگر دانش آموز در تنظيم صورت مساله هايي كه بايد حل كند، شركت داشته باشد، خيلي فعالتر خواهد كوشيد. معلم بايد شرايطي را فراهم آورد كه دانش آموز بتواند مساله هاي خودش را طرح كند چون باعث خواهد شد كه نيروي خلاقيت او شكوفا شود.
2- اصل بهترين انگيزه: معلم بايد خودش را واسطه اي بداند كه مي خواهد مقداري از رياضياتي را كه مي داند، در اختيار دانش آموزان قرار دهد. اگر واسطه اي در عرصه جنس خود با مشكلي روبرو شود و كالايش روي دستش بماند يا خريداران از خريد كالاي او سرباز زنند، نبايد تقصير را به گردن خريداران بيندازد. به خاطر داشته باشيد كه، معمولاً حق با خريدار است. دانش آموزي كه از يادگرفتن رياضيات سرباز مي زند، ممكن است حق داشته باشد. هيچ دليلي وجود ندارد كه شاگرد شما، تنبل يا كم هوش باشد. بلكه خيلي ساده، ممكن است به چيز ديگري علاقه مند باشد. آخر، دنياي ما پر از چيزهاي جالب است. وظيفه شما، به عنوان يك معلم و به عنوان كسي كه مي خواهد آگاهي ديگران را بالا ببرد، اين است كه دانش آموز را به رياضيات علاقه مند كنيد. بنابراين، معلم بايد تمامي توجه خود را در انتخاب مساله و تنظيم آن به كار برد و آن را به بهترين صورت ممكن، به دانش آموزان عرصه كند. مساله بايد نه تنها از موضع معلم، بلكه از موضع شاگرد هم، جالب باشد. چه بهتر كه بشود درس را، در رابطه با تجربه روزانه شاگردان طرح كرد و آن را به صورت معما درآورد. مساله را مي توان با موضوعي آغاز كرد كه براي دانش آموزان روشن است و چه بهتر كه اين موضوع، امكان كاربرد علمي مساله و يا موضوعي مورد علاقه عموم باشد. اگر مي خواهيم نيروي خلاقيت دانش آموزان را پرورش دهيم نبايد مبنايي در اختيار آنها بگذاريم تا مطمئن شوند تلاش آنها بيهوده و عبث نيست.
به خصوص، علاقه دانش آموز، بهترين انگيزه او در كار است. ولي، انگيزه هاي ديگري هم وجود دارد كه نبايد آنها را از دست داد. از دانش آموز بخواهيم كه نتيجه را حدس بزند، ولو بخشي از آن را، دانش آموزي كه فرضيه اي را ارائه كند، در واقع خود را به آن وابسته كرده است، حيثيت و احساس او در گرو فرضيه اوست و با بي صبري در انتظار آن است كه ببيند حدس او درست است يا نه، او با اشتياق به سرنوشت مساله و كار كلاس علاقه مند مي شود و در آن لحظه ها هيچ چيز ديگري توجه او را به خود جلب نخواهد كرد.
3- اصل تسلسل مرحله ها: عيب اصلي كتاب هاي رياضي دراين است كه تقريباً همه مسال هاي موجود در آنها، از صورت هاي متعارف و عادي انتخاب شده است. منظور از مساله هاي عادي، مساله هايي هستند كه ميدان كاربرد كمتري دارند و تنها به روشن كردن يك قانون خدمت مي كنند و تمرين هاي مناسب براي يك قانون هستند. البته اين مثال ها هم مفيد و هم لازم هستند ولي دو مرحله مهم آموزش در آنها وجود ندارد: مرحله بررسي و پژوهش و مرحله فراگيري. هدف اين دو مرحله اين است كه مساله مورد بررسي را با شرايط موجود و با آگاهي هايي كه قبلا به دست آورده ايم، مربوط مي كند. مساله هاي عادي، اين دو منظور را برنمي آورند، زيرا از قبل معلوم است كه براي روشن شدن قانون معيني طرح شده اند و اهميت آنها، تنها در خدمت كردن به همين قانون است. البته، گاهي در اين مساله ها، به قانون يا قانون هاي ديگري هم توجه مي شود كه در اين صورت، مساله هاي مفيدتري به حساب مي آيند. حقيقت اين است كه بايد در كنار مساله هاي عادي، دست كم گاه به گاه، مساله هاي عميق تري هم به دانش آموزان داده شود، مساله هايي كه زمينه غني تري داشته باشد امكان ورود دانش آموزان به كارهاي جدي تر علمي را فراهم آورد. وقتي مي خواهيد چنين مساله هايي را در كلاس مورد بحث قرار دهيد از همان ابتدا، يك بررسي و پژوهش مقدماتي به دانش آموزان پيشنهاد كنيد. اين كار اشتهاي آنها را در حل مساله و رسيدن به جواب تحريك مي كند. اين مطلب را هم فراموش نكنيد كه مقداري از وقت كلاس را، براي بحث درباره نتيجه اي كه به دست آمده است باقي بگذاريد. يادگيري توسط سه فاز صورت مي پذيرد: فاز اول: دانش آموز حدس و گمان مي زند. فاز دوم: آن را به صورت كلمات در مي آورد. فاز سوم: براي تثبيت يادگيري تمرين و ممارست انجام دهد.
محاسن روش فعال:
1- دانش آموز مفاهيم را درك مي كند.
2- خود را در به دست آوردن نتيجه ها سهيم مي داند و اين در او علاقه ايجاد مي كند و به تدريج احساس توانايي مي كند كه اين خود موجب به وجود آمدن حس اعتماد به نفس در دانش آموز مي شود.
3- اين آموزش نياز به كنجكاوي، پويايي و خلاقيت را برآورده مي سازد و موجب رشد شخصيت در دانش آموز مي شود.
معايب روش فعال:
1- مدتي صرف خواهد شد تا دانش آموز از طريق حل تمرين هاي كار در كلاس و پاسخ به سئوال هاي مناسب مفاهيم را يكي كي بفهمد و به قاعده ها پي ببرد.
2- هر مفهومي را نمي توان با روش فعال آموزش داد.
2-5- روش الگوريتمي:
منظور از روش الگوريتمي، مجموعه دستورالعمل هايي است كه انجام آنها منجر به حصول نتايجي براي دانش آموز گردد. تعدادي از الگوريتم هاي حساب و جبر كه در دوره هاي تحصيلي مورد بحث قرار مي گيرند عبارتند از: چهار عمل اصلي روي اعداد صحيح و اعشاري، تناسب، جذريابي، يافتن بزرگ ترين مقسوم عليه مشترك، نوشتن اعداد به پايه هاي گوناگون، عمليات روي كسرهاي متعارفي، حل معادلات جبري و عمليات جبري روي بردارها در صفحه، در زمينه هندسه نيز به الگوريتم هاي زير بر مي خوريم مانند: ترسيمات با خط كش، پرگار، گونيا و نقاله مثلا در رسم عمود، نضف كردن پاره خط، ساختن مثلث. هر يك از الگوريتم هاي ذكر شده مبتني بر يك يا چند مفهوم رياضي است. از آن جمله اند مفاهيم: نوشتن اعداد در يك پايه، جذر، نسبت، عدد اول، مجموعه. علاوه بر مفاهيم و الگوريتم ها، ركن ديگر كاربرد الگوريتم ها در حل مسايل است.
معايب روش الگوريتمي:
1- تاكيد بيش از حد بر الگوريتم ها شم عددي دانش آموز را كاهش مي دهد. چون كه شم عددي ما را از مرتكب شدن اشتباهات فاحش مصون مي دارد.
2- دانش آموز تقريباً در هيچ مساله واقعي نياز به اين الگوريتم ها را ندارد. مثلاً الگوريتم جذر بهتر است از روش آزمون و خطا در دوره راهنمايي تحصيلي تدريس گردد.
3- معمولاً دليل درستي اين الگوريتم ها مطرح نمي شود.
4- چون اين الگوريتم ها دشوارند و حفظ كردن آنها نيروي فراواني از دانش آموز مي طلبد، محصل به تدريج نسبت به مفهوم اصلي بيگانه مي شود.
5- در حال حاضر كه ماشين حسابهاي دستي ارزان قيمت عمليات رياضي را حتي از انسان سريع تر و دقيق تر انجام مي دهند لذا ضرورتي بر حفظ همه الگوريتم ها نيست.


چند توصيه براي بهبود روش الگوريتمي:

1- به جاي تاكيد بر كسب مهارت در اجراي دقيق دستورالعمل هاي رياضي، تاكيد بيشتري صرف درك مفاهيم گردد و با قرار دادن وقت كافي در اختيار دانش آموز، به او اجازه آزمايش كردن داده شود. دانش آموزي كه وادار شود هر بار با رجوع به مفاهيم اوليه، مسايل قابل فهم خود را حل كند، به تدريج نياز به دستورالعمل را احساس مي كند و ممكن است خود به سوي الگوريتم سازي سوق داده شود.
2- مسايل حرفي متنوع تر، جذاب تر، واقعي تر و بعضاً دشواري تري از آنچه امروزه معمول است در اختيار دانش آموزان قرار گيرد. درك و فهم مفاهيم رياضي در سطح مدرسه، در ميدان به كارگيري آنها در مسايل ملموس و قابل فهم تحقق مي يابد.
3- تقويت شم عددي دانش آموز كه در حال حاضر بهايي به آن داده نمي شود، به طور جدي مطرح گردد. دانش آموز بايد ياد بگيرد كه حدود نتيجه يك محاسبه را قبل از انجام دقيق آن حدس بزند و با بتواند از عهده تخمين هايي برآيد.
برگرفته از كتاب آموزش رياضي و حل مساله تاليف مهدي رحمانيhttp://afshin1363.blogfa.com
********************************

مرتبط:

_نقش تك مهارتها در فعاليتهاي ياددهي و  4 شیوه آموزشی پیشنهادی یونیسف  در اروپا

_کدام روش تدریس ها برای آموزش علوم مناسب است ،معرفی الگوهای تدریس درس علوم

_روش تدریس مبتنی بر مهر ورزی و محبت به دانش آموزان توسط معلم

_معرفی  کلیه روشهای تدریس برای معلمان و مربیان،شیوه های نوین تدریس برای  افزایش کارایی معلمان و یادگیری بهتر دانش آموزان

_این نسخه بسیار موثر فراموش نشود!  80 نكته مهم در تدريس موفق معلمان و مربیان مدارس درکلاس درس

 

 

www.zibaweb

ارشمیدس



ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت.

در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیکدان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ناگهان فکری به مغزش خطور کرد او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می زد یافتم یافتم، او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او ماموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار در بار را کشف و او را رسوا کند شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز ))نقره[ که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است هر چند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند ولی او تا آن لحظه این طور فکر می کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کندآنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند اما در این روش تاج شاهی از بین می رفت پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جا به جا کرده است.

او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقار آب یکسانی را جا به جا می کنند ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است«طلا تقریباٌ‌ دو برابر نقره وزن دارد) بنابراین باید مقدار کمتری آب را جا به جا کند این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جا به جا می کند به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد آن هم اینکه می توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جا به جا می کنند اندازه گیری کرد این قانون«وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می گویند اصل ارشمیدس می نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.
به هر حال ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است او کتابهایی در باره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه می دانست علاوه بر آن او قوانینی در باره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.
ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد» عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیری و منزوی بود در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت یکی کونون(این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود.

ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون درگذشت ارشمیدس با دوسته که از شارگردان کونون مکاتبه می کرد.

یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات به دست آوردن عدد بود وی برای محاسبه عدد پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی به دست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسر های متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است.
در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع ))تعادل اجسام غوطه ور به کار برد.

همچنین برای اولین بار برخی از اصول ««مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.

در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیج مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند حمله ور گردد دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.
زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می گذشت همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تامین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود درآوردند سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند ومتفکر مشهور و بزرگ را ندارند با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد او به وسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می گویند آخرین کلمات او این بود: دایره های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دوران ها خاتمه پذیرفت این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.

خواجه نصيرالدين طوسي

خواجه نصير الدين مشهور به محقق طوسي؛ حکيم و دانشمند بزرگ جهان در سال ۵۹۷ هجري در شهر طوس ديده به جهان گشود. اين محقق گرانقدر جهان تشيع؛ در زمان هلاکوخان به وزارت رسيد و در همان رصدخانه مراغه را با بيش از ۱۲ دستگاه و ابزار نجومي جديد؛ با ابتکار خود ساخت که از شاهکارهاي مراکز علمي جهان در قرون وسطي بود. بعدها تيکوبراهه منجم هلندي با تقليد از او رصدخانه اوزانين برگ را برپا نمود.

خواجه حدود ۸۰ کتاب و رساله در رياضيات؛ نجوم؛ فلسفه؛ تفسير و مسايل اجتماعي نوشت و از کارهاي معروف او در علوم؛ وضع مثلثات و قضاياي هندسه کروي؛ تفهيم بي نهايت کوچک ها و تکميل نظريه ارشميدس است.

علامه حلي(شاگرد وي) از او به عنوان استاد بشريت ياد ميکند- جورج ساتن وي را بزرگترين رياضيدان اسلام به شمار مي آورد و بروکلمن آلماني مي گويد وي از مشهورترين دانشمندان قرن هفتم و برترين مولفان اين قرن به طور مطلق است. جامعه علمي جهان به پاس خدمات و تلاشهاي اين دانشمند بزرگ در علم رياضي و نجوم نامش را بر کره ماه ثبت نمود.

اين حکيم الهي سرانجام در سال ۶۷۲ هجري در شهر مقدس کاظمين در گذشت. بنابر وصيت خودش او را در پايين پاي دو معصوم دفن کردند و برمزارش نوشتند : و کلبهم باسطٌ ذراعيه بالوصيد

 

يکي از معمول ترين سئوالهائي که مطرح مي شود اين است که: چه کسي صفر را کشف کرد؟ البته براي جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم که بگوئيم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي کردند.

اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يکي از کاربردهاي عدد صفر اين است که به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) بکار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار مي رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده مي کنيم.

هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ... بکار مي برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله اي برخورد نمي کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بکار  نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي که آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده کردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم.  به اين ترتيب به اين مطلب  پي مي بريم که کاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين کساني مي دانند کهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است که رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.

البتهبعضى ازرياضي دانان يوناني  ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتي اشاره مي کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ کردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان کساني بودند که پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مکاني اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي کردند.

اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نکته اي که مي توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي که از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردي تلاش مي کند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه مي شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي کند. رياضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .  

اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکای مرکزی زندگی می کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظريات رياضی دانان هندی علاوه بر غرب، به رياضی دانان اسلامی و عربی نيز انتقال يافت. فيبوناچی، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندی و عربی و رياضيات اروپا می باشد

 

 

رياضيات چيست؟

 

آيا ميتوان اين علم را در چند جمله معرفي کرد ؟ بدون شک معرفي علوم پايه بخصوص علم رياضي که ما در همه علوم است، کار بسيار دشواري است. زيرا اين علم از يک سو ذهني و تجريدي و از سوي ديگر عملي ميباشد و در نتيجه يک تعريف بايد کلي باشد تا بتواند تمام ابعاد دانش رياضي را در بر بگيرد .براي مثال « آندروگليسون» رياضي دان آمريکايي در معرفي اين علم مي گويد:

 

«رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن ، توصيف و درک نظمي است که در وضعيتهاي ظاهراََ پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاههيمي هستند که ما را قادر ميسازند تا اين نظم را توصيف کنيم.»

 

دکتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه تربيت معلم تهران نيز در معرفي اين علم ميگويد:

 

« علم رياضي، قانونمند کردن تجربيات طبييعي است که در گياهان و بقيه مخلوقات مشاهده ميکنيم.علم رياضيات اين تجربيات را دسته بندي وقانونمند کرده وهمچنين توسعه ميدهد.»

 

رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درک نظمي است که در وضعيت‌هاي ظاهرا پيچيده‌ نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند که ما را قادر مي‌سازند تا اين نظم را توصيف کنيم» .
دکتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه تربيت معلم تهران نيز در معرفي اين علم مي‌گويد:
«علم رياضي، قانونمند کردن تجربيات طبيعي است که در گياهان و بقيه مخلوقات مشاهده مي‌کنيم . علوم رياضيات اين تجربيات را دسته‌بندي و قانونمند کرده و همچنين توسعه مي‌دهند.»
دکتر رياضي استاد رياضي نيز در معرفي اين علم مي‌گويد: «رياضيات علم مدل‌دهي به ساير علوم است. يعني زبان مشترک نظريات علمي ساير علوم ، علم رياضي مي‌باشد و امروزه اگر علمي را نتوان به زبان رياضي بيان کرد، علم نمي‌باشد.»

 

رياضيات بر خلاف تصور بعضي از افراد يکسري فرمول و قواعد نيست که هميشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه رياضيات درست فهميدن صورت مساله و درست فکر کردن براي رسيدن به جواب است و براي به دست آوردن اين توانايي ، دانشجو بايد صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتي به مدت چندين ساعت در مورد يک مساله رياضي فکر کرده و در نهايت با ابتکار و خلاقيت آن را حل کند.

 

 

 

 

معرفي گرايش هاي رياضي:

 

رياضيات هنري است باستاني واز همان آغاز از جمله ذهني ترين و در عين حال علمي ترين تلاشهاي آدمي بوده است. يعني از همان 1800سال پيش از ميلاد که بابليها در زمينه خواص تجريدي اعداد به پژوهش پرداختند، رياضيات در کنار جنبه هاي ادراکي نظري ،به صورت ابزار که هر روز براي مساحي زمين، دريانوردي وساختن بناهاي بزرگ مورد نياز بود،به کار ميرفت.

 

امروزه نيز به همين منوال است وشايد به همين دليل ما در رشته رياضي با دو گزايش رياضي محض وکاربردي روبهرو هستيم.اما آيا ميتوان اين دو گرايش را به طور کامل از يکديگر مجزا کرد؟آيا ميتوان گفت که رياضي محض تنها يک فعاليت ذهني است وهيچ کاربردي ندارد و در کنار آن رياضي کاربردي، کاربرد رياضيات را در علوم وفنون مختلف بررسي ميکند وآيا طبق نظر «هارولدهاردي» رياضيدان بزرگ انگليسي، تنها بايد به خاطر زيبايي رياضيات ( رياضيات محض ) به آن پرداخت واين علم هيچ ارزش علمي ندارد ؟

 

بايد گفت که امروزه چنين ديدگاهي قابل قبول نيست بلکه به اعتقاد رياضيدانها حتي ذهني ترين حوزه هاي رياضيات مثل هندسه، نظريه اعداد ومنطق نيز اهميت علمي بسياري دارد وبه همين دليل نببايد رياضيات را به دو گرايش محض وکاربردي تقسيم کرد.

 

ويژگي ها و توانمندي هاي لازم براي موفقيت در رشته رياضي:

 

رياضيدان، کاشف متهور ناشناخته ها است. عاشقي است که با شوري فراوان پا در وادي ناشناخته ها ميگذارد وبا تلاشي تحسين بر انگيز وبه کمک ابزا رهايي که در اختيار دارد ، تاريکيهاي راه را روشن کرده وراه را براي ديگران هموار ميسازد.به همين دليل يک رياضيدان قبل از هر چيز بايد جرات قدم گذاري در وادي ناشناخته ها را داشته باشد. همچنبن بايد با صبرو حوصله زياد وابتکار وخلاقيت مسائل وقضاياي دانش رياضي راحل کند.

 

 

 

چرا رياضيات مي خوانيم؟
چرا بايد رياضيات بخوانيم؟راجر بيکن، فيلسوف انگليسي در سال 1267 ميلادي پاسخ اين سوال را اين چنين داده است: «کسي که اين کار را نکند نمي تواند چيزي از بقيه علوم و هر آن چه در اين جهان هست بفهمد . . . چيزي که بدتر است اين است که کساني که رياضيات نمي دانند به جهالت خودشان پي نمي برند و در نتيجه در پي چاره جويي برنمي آيند.» مي توانم همين جا سخن را پايان دهم اما ممکن است بعضي ها فکر کنند که شايد خيلي چيزها در هفت قرن گذشته تغيير کرده باشد.
شاهدي تازه مي آورم، پال ديراک از خالقان مکانيک کوانتومي، معتقد است که وقتي تئوري فيزيکي اي را پايه ريزي مي کنيد نبايد به هيچ شهود فيزيکي اعتماد کنيد. پس به چه چيزي اعتماد کنيد؟ به گفته اين فيزيکدان مشهور، فقط به برنامه اي متکي بر رياضيات ولو اين که در نگاه اول ربطي به فيزيک نداشته باشد.در حقيقت، در فيزيک تمامي ايده هاي صرفا فيزيکي رايج در ابتداي اين قرن کنار گذاشته اند در حالي که الگوهاي رياضي اي که به زرادخانه هاي فيزيکدان ها راه يافته اند به تدريج معناي فيزيکي يافته اند. در اين جاست که قابل اعتماد بودن رياضيات به روشني رخ مي نماياند. بنابراين الگو سازي رياضي روشي پربار براي شناخت در علوم طبيعي است .
موريس کلاين مي نويسد: يوناني هاي قديم واقعيت هاي دنياي اطراف خود را با علم رياضيات منطبق مي ديدند و حقيقت نمايي طرح کيهان را در رياضيات مي يافتند. آن ها بين قانون هاي طبيعت و قانون هاي رياضي شباهت هايي را احساس مي کردند که اکنون يکي از پايه هاي اساسي علوم را تشکيل مي دهد. بعدها يوناني ها در شناخت طبيعت پيشتر رفتند و اعتقاد استواري پيدا کردند که جهان بر اساس قانون هاي رياضي طراحي شده و دستگاه کنترل شده اي است، از قانون هايي پيروي مي کند و براي بشر قابل درک است.
دست آخر اين که رياضيات موسيقي ذهن است پس بايد آن را نواخت.

 

 

ولادت حضرت محمد (ص) مبارک

مساله های جالب

- فرض كنيد :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.
- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.
- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.
- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.
- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.
- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.
سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟

جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده

توان

توان

ادامه نوشته

جذر

جذر

ادامه نوشته

پیتر سیمون لاپلاس

مونژ گاسپار مونژ در سال 1746 در شهر کوچک بون واقع در فرانسه متولد شد. مونژ که فرزند کاسب دوره گردی بود در 16 سالگی به تیزکردن چاقو و قیچی و غیره می پرداخت وی با وسایلی که به دست خود ساخته بود نقشه بزرگی از وطن خود تهیه کرد که مورد توجه و تحسین فراوان واقع شد و نقشه او را در فرمانداری نصب کردند. معلمین او پس از مشاهده نقشه گفتند او داناتر از آن است که شاگرد ما باشد و او را برای تدریس فیزیک به مدرسه کشیشان شهر لیون فرستادند وی دستیار شارل بوسو، استاد ریاضیات، شد در سال 1768 مونژ جانشین او شد اگر چه مقام استادی نداشت سال بعد به عنوان مدرس فیزیک تجربی در مدرسه جای آبه نوله را گرفت در این سمتهای دو گانه که قسمتی از آن اختصاص به هدفهای علمی داشت مونژ نشان داد که ریاضیدان و فیزیکدانی توانا، طراحی با استعداد، آزمایگشری ماهر و معلمی در تراز اول است. مونژ به مطلعه بعضی از شاخه های هندسه دوباره جان بخشید و کار وی نقطه شروع شکوفایی فوق العاده آن رشته در سده 19 بود علاوه بر این پژوهشهای وی به رشته های دیگر تحلیل ریاضی کشیده شد خصوصاٌ به نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل فیزیک، شیمی و فناوری. مونژ که معلمی نامدار و رئیس مدرسه ای بی نظیر بود، مسئولیتهای مهم اداری و سیاسی را در طول انقلاب و دوره امپراطوری بر عهده گرفت بنابراین وی یکی از مبتکرترین ریاضیدانان عصر خود بود مونژ خیلی زود کارهای شخصی خود را آغاز کرد پژوهشهای وره جوانی او(1766 – 1772) بسیار متنوع اما جلوه دهنده خصوصیاتی بودند که نشانه استعداد کامل وی بود: از جمله حس تند و تیز درک واقعیت هندسی، علاقه به مسائل علمی، توانایی عظیم تحلیلی و توجه به جنبه های متعدد تحلیلی هندسی. در جریان سالهای 1777 تا 1780 مونژ عمدتاٌ به فیزیک و شیمی علاقه مند بود و مقدمات تهیه آزمایشگاه شیمی مجهزی را برای مدرسه مهندسی فراهم آورد انتخاب شدنش به عضویت فرهنگستان علوم به عنوان هندسه دان دستیار در سال 1780 زندگی مونژ را دگرگون ساخت زیرا وی را مجبور کرد که بر اساس منظمی در پاریس اقامت کند در پاریس در طرحهای فرهنگستان شرکت کرد و مقاله هایی در باره فیزیک و شیمی و ریاضیات تنظیم و عرضه نمود فهرستی از مطالبی که به فرهنگستان تقدیم کرد گواه بر تنوع آنها است: ترکیب اسید نیتریک، ا=تولید سطوح منحنی، معادلات تفاضلی متناهی و معادلات دیفرانسیل جزئی، انعکاس مضاعف و ساختار اسپات اسبند، ترکیب آهن، فولاد و چدن و تاثیر جرقه های برقی و بر گاز بیو کسید کربن، پدیده موئینگی و علل بعضی از پدیده های هواشناختی و بررسی در نور شناسی فیزولوژیک. وقتی انقلاب در 1789 آغاز شد مونژ در زمره شناخته شده ترین دانشمندان فرانسوی بود او که عضو بسیار فعال فرهنگستان علوم بود شهرتی در ریاضیات و فیزیک و شیمی کسب کرده بود به عنوان ممتحن دانشجویان افسری نیروی دریایی، شاخه ای از مدارس نظامی فرانسه را رهبری می کرد که در آن زمان عملاٌ تنها مؤسسات نظامی بودند که تعلیمات علمی شایسته ای به دانشجویان خود می دادند و این مقام وی را، در هر بندری که از آن دیدار می کرد با دیوانسالارانی در تماس می گذاشت که اندکی بعد تحت مدیریت او قرار می گرفتند این مقام همچنین وی را قادر ساخت که معدنهای آهن، کارخانه ذوب آهن و کارخانه های دیگر را ببیند و بدین ترتیب در کار فلز پردازی و مسائل فناوری خبره و صاحب نظر شود علاوه بر این اصلاح مهمی که در 1776 در روش تعلیم در مدارس نیروی دریایی انجام داده بود وی را برای تلاشهایی آماده ساخت کهدر زمان انقلاب برای تازه کردن روشهای علمی و فنی بر عهده گرفت در سال 1794 مسئولیت تاسیس مدرسه مرکزی کارهای عامه(که بعداٌ به مدرسه پلی تکنیک تبدیل شد) به وی محول گردید مونژ مه در سال 1794 به عنوان معلم هندسه ترسیمی منصوب شد بر عمل تربیت سرکارگران آینده نظارت کرد و هندسه ترسیمی را در دوره های انقلابی که برای تکمیل تربیت دانشجویان آینده طراحی شده بودند تدریس نمود و یکی از فعالترین عضوهای شورای مدیریت بود. این مدرسه پس از دو ماه تاخیر که بر اثر مشکلات سیاسی پیش آمد در سال 1795 به نجومی منظم شروع به کار کرد. هر چند وظایفی که به عنوان سناتور به عهده مونژ محول شد موجب گردید که او چند بار از درسهایش در مدرسه پلی تکنیک دور شود از علاقه شدیدش به مدرسه هیچ کاسته نشد مراقبت دقیق در پیشرفت دانشجویان داشت و کارهای پژوهشی انان را دنبال می کرد و دقت خاصی به برنامه تعلیمات مبذول داشت بیشتر آنچه مونژ در این دوره منتشر کرد برای دانشجویان مدرسه پلی تکنیک نوشته شده بود موفقیت گسترده کتاب او بنام«هندسه ترسیمی) (1799) باعث اشاعه سریع این شاخه جدید هندسه هم در فرانسه و هم در خارج از آن شد. این اثر چند بار چاپ شد. کار عملی مونژ ریاضیات(شاخه های گوناگون هندسه و تحلیل ریاضی) فیزیک، مکانیک و نظریه ماشینها را در می گرفت اگر چه اطلاع از جزئیات خدمات مونژ به فیزیک بسیار ناچیز است زیرا وی هرگز اثر عمده ای در این زمینه منتشر نساخت خدمات اصلی وی متمرکز بودند بر نظریه گرما، صوت، برق ساکن، نور شناسی(نظریه سرابها) مهمترین پژوهش مونژ در شیمی مربوط بود به ترکیب آب. خیلی زود، در سال 1781 وی ترکیب اکسیژن با ئیدروژن را در لوله اکسیژن سنج تحقق بخشید و در سال 1783 – همزمان با لاووازیه و بی ارتباط با او – آب را ترکیب کرد. با این که اسباب مونژ بسیار ساده تر بود نتایج اندازه گیریهایش دقیقتر بودند. در قلمرو تجربی در سال 1784 مونژ با همکاری کلوله برای نخسین بار موفق شد که گازی را مایع سازد و آن انیدرید سولفور(بیوکسیدگوگرد) بود. سراجام بین سالهای 1786 و 1788 مونژ با برتوله و اندر مونه در اصول فلز پردازی و ترکیب آهن و چدن و فولاد به پژوهش پرداخت. مونژ مردی شجاع و از دوستان ناپلئون بود و در سال 1798 به اتفاق او به کشور مصر رفت در این سفر ناپلئون نتوانست او را از شرکت در حمله به اسکندریه منصرف سازد. بعد از آنکه ناپلئون روانه سنت هلن گردید مخترع هندسه ترسیمی و ایجاد کننده اصلی مدرسه پلی تکنیک هم تمام عناوین خود را از دست داد و از آکادمی رانده شد. مونژ در 28 سال 1818 در 72 سالگی در پاریش درگذشت مخترع هندسه ترسیمی میراثی عظیم از خود به جا گذاشت زیرا ساختن ماشینهای مدرن و عمارات عظیم بدون کمک آن ممکن نیست.

مونژ گاسپار مونژ در سال 1746 در شهر کوچک بون واقع در فرانسه متولد شد. مونژ که فرزند کاسب دوره گردی بود در 16 سالگی به تیزکردن چاقو و قیچی و غیره می پرداخت وی با وسایلی که به دست خود ساخته بود نقشه بزرگی از وطن خود تهیه کرد که مورد توجه و تحسین فراوان واقع شد و نقشه او را در فرمانداری نصب کردند. معلمین او پس از مشاهده نقشه گفتند او داناتر از آن است که شاگرد ما باشد و او را برای تدریس فیزیک به مدرسه کشیشان شهر لیون فرستادند وی دستیار شارل بوسو، استاد ریاضیات، شد در سال 1768 مونژ جانشین او شد اگر چه مقام استادی نداشت سال بعد به عنوان مدرس فیزیک تجربی در مدرسه جای آبه نوله را گرفت در این سمتهای دو گانه که قسمتی از آن اختصاص به هدفهای علمی داشت مونژ نشان داد که ریاضیدان و فیزیکدانی توانا، طراحی با استعداد، آزمایگشری ماهر و معلمی در تراز اول است. مونژ به مطلعه بعضی از شاخه های هندسه دوباره جان بخشید و کار وی نقطه شروع شکوفایی فوق العاده آن رشته در سده 19 بود علاوه بر این پژوهشهای وی به رشته های دیگر تحلیل ریاضی کشیده شد خصوصاٌ به نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل فیزیک، شیمی و فناوری. مونژ که معلمی نامدار و رئیس مدرسه ای بی نظیر بود، مسئولیتهای مهم اداری و سیاسی را در طول انقلاب و دوره امپراطوری بر عهده گرفت بنابراین وی یکی از مبتکرترین ریاضیدانان عصر خود بود مونژ خیلی زود کارهای شخصی خود را آغاز کرد پژوهشهای وره جوانی او(1766 – 1772) بسیار متنوع اما جلوه دهنده خصوصیاتی بودند که نشانه استعداد کامل وی بود: از جمله حس تند و تیز درک واقعیت هندسی، علاقه به مسائل علمی، توانایی عظیم تحلیلی و توجه به جنبه های متعدد تحلیلی هندسی. در جریان سالهای 1777 تا 1780 مونژ عمدتاٌ به فیزیک و شیمی علاقه مند بود و مقدمات تهیه آزمایشگاه شیمی مجهزی را برای مدرسه مهندسی فراهم آورد انتخاب شدنش به عضویت فرهنگستان علوم به عنوان هندسه دان دستیار در سال 1780 زندگی مونژ را دگرگون ساخت زیرا وی را مجبور کرد که بر اساس منظمی در پاریس اقامت کند در پاریس در طرحهای فرهنگستان شرکت کرد و مقاله هایی در باره فیزیک و شیمی و ریاضیات تنظیم و عرضه نمود فهرستی از مطالبی که به فرهنگستان تقدیم کرد گواه بر تنوع آنها است: ترکیب اسید نیتریک، ا=تولید سطوح منحنی، معادلات تفاضلی متناهی و معادلات دیفرانسیل جزئی، انعکاس مضاعف و ساختار اسپات اسبند، ترکیب آهن، فولاد و چدن و تاثیر جرقه های برقی و بر گاز بیو کسید کربن، پدیده موئینگی و علل بعضی از پدیده های هواشناختی و بررسی در نور شناسی فیزولوژیک. وقتی انقلاب در 1789 آغاز شد مونژ در زمره شناخته شده ترین دانشمندان فرانسوی بود او که عضو بسیار فعال فرهنگستان علوم بود شهرتی در ریاضیات و فیزیک و شیمی کسب کرده بود به عنوان ممتحن دانشجویان افسری نیروی دریایی، شاخه ای از مدارس نظامی فرانسه را رهبری می کرد که در آن زمان عملاٌ تنها مؤسسات نظامی بودند که تعلیمات علمی شایسته ای به دانشجویان خود می دادند و این مقام وی را، در هر بندری که از آن دیدار می کرد با دیوانسالارانی در تماس می گذاشت که اندکی بعد تحت مدیریت او قرار می گرفتند این مقام همچنین وی را قادر ساخت که معدنهای آهن، کارخانه ذوب آهن و کارخانه های دیگر را ببیند و بدین ترتیب در کار فلز پردازی و مسائل فناوری خبره و صاحب نظر شود علاوه بر این اصلاح مهمی که در 1776 در روش تعلیم در مدارس نیروی دریایی انجام داده بود وی را برای تلاشهایی آماده ساخت کهدر زمان انقلاب برای تازه کردن روشهای علمی و فنی بر عهده گرفت در سال 1794 مسئولیت تاسیس مدرسه مرکزی کارهای عامه(که بعداٌ به مدرسه پلی تکنیک تبدیل شد) به وی محول گردید مونژ مه در سال 1794 به عنوان معلم هندسه ترسیمی منصوب شد بر عمل تربیت سرکارگران آینده نظارت کرد و هندسه ترسیمی را در دوره های انقلابی که برای تکمیل تربیت دانشجویان آینده طراحی شده بودند تدریس نمود و یکی از فعالترین عضوهای شورای مدیریت بود. این مدرسه پس از دو ماه تاخیر که بر اثر مشکلات سیاسی پیش آمد در سال 1795 به نجومی منظم شروع به کار کرد. هر چند وظایفی که به عنوان سناتور به عهده مونژ محول شد موجب گردید که او چند بار از درسهایش در مدرسه پلی تکنیک دور شود از علاقه شدیدش به مدرسه هیچ کاسته نشد مراقبت دقیق در پیشرفت دانشجویان داشت و کارهای پژوهشی انان را دنبال می کرد و دقت خاصی به برنامه تعلیمات مبذول داشت بیشتر آنچه مونژ در این دوره منتشر کرد برای دانشجویان مدرسه پلی تکنیک نوشته شده بود موفقیت گسترده کتاب او بنام«هندسه ترسیمی) (1799) باعث اشاعه سریع این شاخه جدید هندسه هم در فرانسه و هم در خارج از آن شد. این اثر چند بار چاپ شد. کار عملی مونژ ریاضیات(شاخه های گوناگون هندسه و تحلیل ریاضی) فیزیک، مکانیک و نظریه ماشینها را در می گرفت اگر چه اطلاع از جزئیات خدمات مونژ به فیزیک بسیار ناچیز است زیرا وی هرگز اثر عمده ای در این زمینه منتشر نساخت خدمات اصلی وی متمرکز بودند بر نظریه گرما، صوت، برق ساکن، نور شناسی(نظریه سرابها) مهمترین پژوهش مونژ در شیمی مربوط بود به ترکیب آب. خیلی زود، در سال 1781 وی ترکیب اکسیژن با ئیدروژن را در لوله اکسیژن سنج تحقق بخشید و در سال 1783 – همزمان با لاووازیه و بی ارتباط با او – آب را ترکیب کرد. با این که اسباب مونژ بسیار ساده تر بود نتایج اندازه گیریهایش دقیقتر بودند. در قلمرو تجربی در سال 1784 مونژ با همکاری کلوله برای نخسین بار موفق شد که گازی را مایع سازد و آن انیدرید سولفور(بیوکسیدگوگرد) بود. سراجام بین سالهای 1786 و 1788 مونژ با برتوله و اندر مونه در اصول فلز پردازی و ترکیب آهن و چدن و فولاد به پژوهش پرداخت. مونژ مردی شجاع و از دوستان ناپلئون بود و در سال 1798 به اتفاق او به کشور مصر رفت در این سفر ناپلئون نتوانست او را از شرکت در حمله به اسکندریه منصرف سازد. بعد از آنکه ناپلئون روانه سنت هلن گردید مخترع هندسه ترسیمی و ایجاد کننده اصلی مدرسه پلی تکنیک هم تمام عناوین خود را از دست داد و از آکادمی رانده شد. مونژ در 28 سال 1818 در 72 سالگی در پاریش درگذشت مخترع هندسه ترسیمی میراثی عظیم از خود به جا گذاشت زیرا ساختن ماشینهای مدرن و عمارات عظیم بدون کمک آن ممکن نیست.

مونژ گاسپار مونژ در سال 1746 در شهر کوچک بون واقع در فرانسه متولد شد. مونژ که فرزند کاسب دوره گردی بود در 16 سالگی به تیزکردن چاقو و قیچی و غیره می پرداخت وی با وسایلی که به دست خود ساخته بود نقشه بزرگی از وطن خود تهیه کرد که مورد توجه و تحسین فراوان واقع شد و نقشه او را در فرمانداری نصب کردند. معلمین او پس از مشاهده نقشه گفتند او داناتر از آن است که شاگرد ما باشد و او را برای تدریس فیزیک به مدرسه کشیشان شهر لیون فرستادند وی دستیار شارل بوسو، استاد ریاضیات، شد در سال 1768 مونژ جانشین او شد اگر چه مقام استادی نداشت سال بعد به عنوان مدرس فیزیک تجربی در مدرسه جای آبه نوله را گرفت در این سمتهای دو گانه که قسمتی از آن اختصاص به هدفهای علمی داشت مونژ نشان داد که ریاضیدان و فیزیکدانی توانا، طراحی با استعداد، آزمایگشری ماهر و معلمی در تراز اول است. مونژ به مطلعه بعضی از شاخه های هندسه دوباره جان بخشید و کار وی نقطه شروع شکوفایی فوق العاده آن رشته در سده 19 بود علاوه بر این پژوهشهای وی به رشته های دیگر تحلیل ریاضی کشیده شد خصوصاٌ به نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل فیزیک، شیمی و فناوری. مونژ که معلمی نامدار و رئیس مدرسه ای بی نظیر بود، مسئولیتهای مهم اداری و سیاسی را در طول انقلاب و دوره امپراطوری بر عهده گرفت بنابراین وی یکی از مبتکرترین ریاضیدانان عصر خود بود مونژ خیلی زود کارهای شخصی خود را آغاز کرد پژوهشهای وره جوانی او(1766 – 1772) بسیار متنوع اما جلوه دهنده خصوصیاتی بودند که نشانه استعداد کامل وی بود: از جمله حس تند و تیز درک واقعیت هندسی، علاقه به مسائل علمی، توانایی عظیم تحلیلی و توجه به جنبه های متعدد تحلیلی هندسی. در جریان سالهای 1777 تا 1780 مونژ عمدتاٌ به فیزیک و شیمی علاقه مند بود و مقدمات تهیه آزمایشگاه شیمی مجهزی را برای مدرسه مهندسی فراهم آورد انتخاب شدنش به عضویت فرهنگستان علوم به عنوان هندسه دان دستیار در سال 1780 زندگی مونژ را دگرگون ساخت زیرا وی را مجبور کرد که بر اساس منظمی در پاریس اقامت کند در پاریس در طرحهای فرهنگستان شرکت کرد و مقاله هایی در باره فیزیک و شیمی و ریاضیات تنظیم و عرضه نمود فهرستی از مطالبی که به فرهنگستان تقدیم کرد گواه بر تنوع آنها است: ترکیب اسید نیتریک، ا=تولید سطوح منحنی، معادلات تفاضلی متناهی و معادلات دیفرانسیل جزئی، انعکاس مضاعف و ساختار اسپات اسبند، ترکیب آهن، فولاد و چدن و تاثیر جرقه های برقی و بر گاز بیو کسید کربن، پدیده موئینگی و علل بعضی از پدیده های هواشناختی و بررسی در نور شناسی فیزولوژیک. وقتی انقلاب در 1789 آغاز شد مونژ در زمره شناخته شده ترین دانشمندان فرانسوی بود او که عضو بسیار فعال فرهنگستان علوم بود شهرتی در ریاضیات و فیزیک و شیمی کسب کرده بود به عنوان ممتحن دانشجویان افسری نیروی دریایی، شاخه ای از مدارس نظامی فرانسه را رهبری می کرد که در آن زمان عملاٌ تنها مؤسسات نظامی بودند که تعلیمات علمی شایسته ای به دانشجویان خود می دادند و این مقام وی را، در هر بندری که از آن دیدار می کرد با دیوانسالارانی در تماس می گذاشت که اندکی بعد تحت مدیریت او قرار می گرفتند این مقام همچنین وی را قادر ساخت که معدنهای آهن، کارخانه ذوب آهن و کارخانه های دیگر را ببیند و بدین ترتیب در کار فلز پردازی و مسائل فناوری خبره و صاحب نظر شود علاوه بر این اصلاح مهمی که در 1776 در روش تعلیم در مدارس نیروی دریایی انجام داده بود وی را برای تلاشهایی آماده ساخت کهدر زمان انقلاب برای تازه کردن روشهای علمی و فنی بر عهده گرفت در سال 1794 مسئولیت تاسیس مدرسه مرکزی کارهای عامه(که بعداٌ به مدرسه پلی تکنیک تبدیل شد) به وی محول گردید مونژ مه در سال 1794 به عنوان معلم هندسه ترسیمی منصوب شد بر عمل تربیت سرکارگران آینده نظارت کرد و هندسه ترسیمی را در دوره های انقلابی که برای تکمیل تربیت دانشجویان آینده طراحی شده بودند تدریس نمود و یکی از فعالترین عضوهای شورای مدیریت بود. این مدرسه پس از دو ماه تاخیر که بر اثر مشکلات سیاسی پیش آمد در سال 1795 به نجومی منظم شروع به کار کرد. هر چند وظایفی که به عنوان سناتور به عهده مونژ محول شد موجب گردید که او چند بار از درسهایش در مدرسه پلی تکنیک دور شود از علاقه شدیدش به مدرسه هیچ کاسته نشد مراقبت دقیق در پیشرفت دانشجویان داشت و کارهای پژوهشی انان را دنبال می کرد و دقت خاصی به برنامه تعلیمات مبذول داشت بیشتر آنچه مونژ در این دوره منتشر کرد برای دانشجویان مدرسه پلی تکنیک نوشته شده بود موفقیت گسترده کتاب او بنام«هندسه ترسیمی) (1799) باعث اشاعه سریع این شاخه جدید هندسه هم در فرانسه و هم در خارج از آن شد. این اثر چند بار چاپ شد. کار عملی مونژ ریاضیات(شاخه های گوناگون هندسه و تحلیل ریاضی) فیزیک، مکانیک و نظریه ماشینها را در می گرفت اگر چه اطلاع از جزئیات خدمات مونژ به فیزیک بسیار ناچیز است زیرا وی هرگز اثر عمده ای در این زمینه منتشر نساخت خدمات اصلی وی متمرکز بودند بر نظریه گرما، صوت، برق ساکن، نور شناسی(نظریه سرابها) مهمترین پژوهش مونژ در شیمی مربوط بود به ترکیب آب. خیلی زود، در سال 1781 وی ترکیب اکسیژن با ئیدروژن را در لوله اکسیژن سنج تحقق بخشید و در سال 1783 – همزمان با لاووازیه و بی ارتباط با او – آب را ترکیب کرد. با این که اسباب مونژ بسیار ساده تر بود نتایج اندازه گیریهایش دقیقتر بودند. در قلمرو تجربی در سال 1784 مونژ با همکاری کلوله برای نخسین بار موفق شد که گازی را مایع سازد و آن انیدرید سولفور(بیوکسیدگوگرد) بود. سراجام بین سالهای 1786 و 1788 مونژ با برتوله و اندر مونه در اصول فلز پردازی و ترکیب آهن و چدن و فولاد به پژوهش پرداخت. مونژ مردی شجاع و از دوستان ناپلئون بود و در سال 1798 به اتفاق او به کشور مصر رفت در این سفر ناپلئون نتوانست او را از شرکت در حمله به اسکندریه منصرف سازد. بعد از آنکه ناپلئون روانه سنت هلن گردید مخترع هندسه ترسیمی و ایجاد کننده اصلی مدرسه پلی تکنیک هم تمام عناوین خود را از دست داد و از آکادمی رانده شد. مونژ در 28 سال 1818 در 72 سالگی در پاریش درگذشت مخترع هندسه ترسیمی میراثی عظیم از خود به جا گذاشت زیرا ساختن ماشینهای مدرن و عمارات عظیم بدون کمک آن ممکن نیست.

پیتر سیمون لاپلاس در 23 مارس 1749 در حوالی پون لوک فرانسه متولد شد پدرش دهقان فقیری بود و از کودکی خودش اطلاعی در دست نیست لاپلاس از جمله مؤثرترین دانشوران در طول تاریخ می باشد او به محض اینکه ریاضیدان مشهوری شد و افتخاراتی کسب نمود اصل و نسب خود را مخفی نگاه می داشت، مشهور است که لاپلاس برای ملاقات دالامبر ریاضیدان با ارزش در یکی از روزهای سال 1770 به خانه او می رود و با وجود توصیه هایی که ارائه می دهد کمک قابل توجهی از طرف زیاضی دان بزرگ نسبت به او نمی شود لاپلاس مایوس نمی شود و نامه ای برای دالامبر می فرستد و در آن افکار خویش را درباره اصل مکانیک شرح می دهد دالامبر به محض خواندن نامه نویسنده را احضار می کند و به او می گوید چنانچه ملاحظه میکنید من به توصیه و سفارش ترتیب اثر نمی دهم ولی شما برای شناساندن خود وسیله خوبی بدست آوردید دالامبر فوراٌ‌ لاپلاس را به سمت استاد مدرسه نظامی پاریس انتخاب می کند.

ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا آخر قرن شانزدهم

در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوری رم در اواسط قرن پنجم

ادامه نوشته

ریاضیات بابلی و مصری

با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی، علوم

ادامه نوشته

رابطهی ریاضی با فاصله ی سیارات تا خورشید

سال 1766 میلادی، يوهان تيتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد که با استفاده از آن می

ادامه نوشته