وبلاگ گروهی ریاضی دانان آینده کشور

هندسه موسیقی

هندسه موسيقي

دكتر حسن بلخاري

مطلب زير بريده‌اي از يك نوشتار بلند پيرامون مباني نظري موسيقي در تمدن اسلامي است. اين مطلب به ريشه‌هاي و تاثيرات تفكر يوناني بر فرهنگ موسيقايي اسلامي مي‌پردازد.

در بررسي تاريخ موسيقي در تمدن اسلامي، گام اول اشارتي نه چندان گذرا به فرهنگ و فلسفه يوناني است. اين گام ضروري است زيرا در اين معنا ترديدي وجود ندارد كه تاثيرپذيري فلسفه و كلام اسلامي از انديشه‌هاي فلاسفه يوناني، نقش مهمي در رويكرد به موسيقي در تاريخ تفكر و تمدن اسلامي داشته است. نظرگاههاي خاص «اخوان الصفا» و عرفاي بزرگي چون «مولانا محمد جلال الدين رومي » در مورد موسيقي و سماع، بازتابي از ديدگاه هاي فيثاغورثيان پيرامون موسيقي است.

بررسي تاريخي موسيقي با فيثاغورث آغاز مي‌شود. فيلسوف نام‌آور جزيره «ساموس» كه در سال 532 قبل از ميلاد به دنيا آمد و از بنيانگذاران اولين انجمن فلسفي عرفاني در زندگي انسان غربي است.

«كاپلستون » در «تاريخ فلسفه» معتقد است، محور افكار و اعمال فيثاغورثيان تزكيه و تطهير بود. آنها عوامل وصول بدين تطهير و تزكيه را، تمرين سكوت، موسيقي و مطالعه رياضيات مي‌دانستند. همنشيني موسيقي و رياضيات در ذهنيت فيثاغورثيان، ابواب معرفتي مهمي را بر ذهن و روح بشر گشود و در اين ميان موسيقي كه نسبت بسيار گسترد‌ه‌اي با عدد و هندسه داشت، عاملي براي عروج و صعود روح و ادراك رقص و چرخ افلاك توسط فيثاغورثيان شد.

فيثاغورثيان اولين كساني بودند كه پي بردند مي‌توان فواصل ميان نتهاي چنگ را با عدد بيان كرد. همچنين «فيثاغورث ميان سازواره‌اي موسيقايي و رياضيات رابطه‌اي اساسي يافت. ولي آنچه او كشف كرد بسيار دقيق و روشن بود. هر گاه تك تار كشيده‌اي را به ارتعاش درآوريم يك نت اصلي ايجاد مي‌كند. نتهايي كه با اين نت سازواره‌اي دارند با تقسيم تار به عده كاملا درستي از اجزاي آن به دست مي‌آيند، درست به دو جزء، درست به سه جزء، درست به چهار جزء. الي آخر. اگر نقطه ساكن تار، يا گره، بر يكي از اين نقاط مشخص قرار نگيرد، صداناساز است... فيثاغورث دريافته بود كه نواهايي كه به گوش خوشايند هستند با تقسيمات طول تمام تار بر اعداد درست مطابقت دارند. اين كشف براي فيثاغورثيان نيرويي عرفاني داشت. تطابق ميان طبيعت و عدد آنچنان قوي بود كه اينان متقاعد شده بودند كه نه تنها صداهاي طبيعت، بلكه همه ابعاد مميز آن نيز، بايد اعدادي ساده و بيانگر سازواره‌اي باشند. مثلا فيثاغورث و پيروانش بر اين عقيده بودند كه مدارهاي اجرام فلكي را ( كه به تصور يونانيان روي كر‌ه هاي بلورين به دور زمين گردش مي‌كنند) با ربط دادن آنها به فاصله‌هاي موسيقي مي‌توان حساب كرد.

احساس آنها چنين بود كه همه نظامهاي موجود در طبيعت موسيقايي‌اند: از ديد آنها گردش چرخ، موسيقي افلاك بود.»

فيثاغورثيان زمين را كروي مي‌دانستند و معتقد بودند «نه تنها مركز جهان نيست بلكه زمين و سيارات همراه با خورشيد گرد آتش مركزي يا «كانون جهان» كه با عدد يك، يكي گرفته مي‌شد مي‌گردند.»

تحليل موسيقايي فيثاغورثيان در طول تاريخ مورد ستايش و در عين حال انتقاد برخي واقع شده است. ليكن اهميت كار او در كشف نقش مهم اعداد در موسيقي و حساب بسيار قابل توجه و غير قابل انكار است. برتراندراسل در اين مورد مي‌گويد:

«رابطه‌اي كه وي (فيثاغورث ) ميان موسيقي و حساب پديد آورد هنوز در اصطلاحات رياضي «معدل هارمونيك» و «تصاعد هارمونيك» به جاي مانده است.» همچنين راسل معتقد است نسبت قوي ميان رياضيات و حقيقت، منشأ اعتقادات عرفاني و عقلاني در حيات انسان شده است: «به نظر من بزرگترين منشأ اعتقاد به حقيقت كامل و ابدي و نيز اعتقاد به عالم معقول و نامحسوس همان رياضيات است. نظريات عرفاني درباره نسبت زمان و ابديت نيز به وسيله رياضيات مطلق تقويت مي شود. زيرا كه اشياي رياضي مانند اعداد اگر اصولا واقعيتي داشته باشند، ابدي هستند و در بستر زمان قرار ندارند چنين اشياي ابدي را مي‌توان افكار خدا پنداشت؛ نظر به افلاطون كه مي‌گويد خدا «مهندس»‌است و عقيده سر جيمز جينز كه مي‌گويد خدا به علم حساب معتاد است از اين جا آب مي‌خورد، دين تعقلي در برابر دين اشراقي، از زمان فيثاغورث و خاصه از زمان افلاطون تاكنون متأثر از رياضيات و اسلوب رياضي بوده است، تركيب رياضيات و الهيات كه با فيثاغورث آغاز شد، در يونان و قرون وسطي و عصر جديد تا شخص كانت صفت مشخص فلسفه ديني شد.»

اين پيوستگي و پيوند ميان رياضيات، فلسفه، هنر، الهيات و عرفان بعدها عامل بسيار مهمي در شكل گيري هنر اسلامي شد.

در سطور پيشين ذكر شد كه نظريات فيثاغورثيان مورد انتقاد فلاسفه اسلامي چون فارابي، بوعلي سينا و بعدها «وين چن زوگاليله» - پدر گاليله- قرار گرفت. اما تحقيقات جديد نشان داده است استناد فيثاغورثيان به حساب و هندسه نه مبتني بر الهيات يوناني كه مبتني بر الهيات و اساطير سومريان بوده است.

در اين تحقيقات سعي بر اين است كه بين نقش بسيار مهم فلسفه يوناني در شكل گيري موسيقي علمي و عددي و نيز انتقادهايي كه به انديشه‌ فيثاغورثيان مي‌شود، جمعي صورت گيرد. از يك سو افلاطون، «برجسته‌ترين اسطوره نگارهارمونيك غرب» لقب مي‌گيرد و از سوي ديگر مباني فكري او مستند به كشفيات رياضي- موسيقايي سومريان مي‌شود. بدين ترتيب اين تحقيقات فيثاغورثيان را دور مي‌زند.

از جمله اين محققان جديد، «ارنست جي مك كلين» است. وي ضمن ذكر انتقادات وين چن زوگاليله به نظريات داستان جذاب ارتباط موسيقي و كيهان شناسي» خود برمي‌گزيند. از ديدگاه وي افلاطون به عنوان برجسته‌ترين اسطوره‌نگار هارمونيك، متأثر از رياضيات سومري است. وي مي‌گويد: «بايد بدانيم كه مجبوريم تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور- بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري‌ «كوه»‌تبعيت نماييم و سپس مانند سقراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور – بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري«كوه» تبعيت نماييم و سپس مانند سفراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت دايره‌اي بر روي شن به تصوير درآوريم. اين دايره همان جهان يا كيهان است كه همانند صداهاي گام 12 درجه‌اي تا ابد به صورت دايره‌اي خواهند بود.»

«مك كلين» با ذكر اعداد نمادين سومري كه كاركرد خدايان اين تمدن را نشان مي‌داد نسبت ميان تقسيمات موسيقي با اين اعداد و كاركردها را نشان مي‌دهد. به عنوان مثال نماد عددي Ano به صورت 6060=1 در نظر گرفته مي‌شد و خدايي چون ِِEnlil با نماد عددي 50 مبدع فاصله موسيقايي سوم بزرگ Major third با نسبت چهار پنجم و سوم كوچك Major third با نسبت پنج ششم محسوب مي‌شود. Enki خداي آبهاي شيرين و با نماد عددي 40، فاصله پنجم درست Perefect Fith كه فدرتمند‌ترين فاصله‌ها پس از اكتاو است را سبب مي‌شود. خدايان ديگر نيز چون Sin، ٍShamash، ( يا شمس عربي)، Ishtar، nergal ، Baal و mardok هر كدام اين قلمرو پذيرايي نقشي مي‌شوند، نقشي كه از ارتباط گسترده ميان الهيات ، رياضيات و موسيقي حكايت مي‌كند. «تئون ازميري» متاثر از اين ديدگاه گفته بود: «اعداد سرچشمه‌هاي شكل و وانرژي‌اند در جهان. آنها حتي در نزد خود پويا و فعالند، چونان اغلب مردم در استعداد خود براي تئاتر متقابل.»

در تاثير پذيري فيثاغورثيان از هندسه و حساب سومري و نيز تاثير پذيري افلاطون از اين حساب و هندسه و همچنين قدسي انگاشتن عدد نزد فيثاغورث و فيثاغورثيان شكي وجود ندارد.

افلاطون در رساله تيمايوس Timaeu فرضيات جهان شناسي خود را ارائه كرده است. در اين رساله «جاي سقراط را يك تن فيثاغورثي گرفته است و قسمت عمده نظريات مكتب فيثاغورثي در آن بيان شده است.»

تاثير پذيري افلاطون از حساب و هندسه سومري و فيثاغورثي كه نقش مهمي در نظريات موسيقايي او داشت در اين رساله مشهود است:« تيمايوس مي‌گويد كه عناصر حقيقي جهان مادي خاك و هوا و آتش و آب نيستند بلكه عناصر حقيقي عبارتند از دو نوع مثلث قائمه الزاويه: يكي مثلثي كه نصف مريع است و ديگري مثلثي كه نصف مثلث متساوي الاضلاع است. در آغاز همه چيز درهم ريخته بوده و عناصر گوناگون پيش از آن كه نظم و آرايش يابند و جهان را پديد آورند در جاهاي گوناگون بوده‌اند ولي سپس خدا آنها را با شكل و عدد آرايش داد و آنها را كه خوب و زيبا نبودند تا سر حد امكان خوب و زيبا ساخت، گويا آن مثلثهايي كه در بالا ياد كرديم زيباترين شكلهايند بدين سبب خدا آنها را در ساختن ماده به كار برد. با اين مثلثها چها تا از احجام منتظم پنج گانه را مي‌توان ساخت و هر يك از اتمهاي چهار عنصر اصلي يكي از آن احجام منتظم است. اتم خاك شش سطحي، اتم آتش چهار سطحي، اتم هوا هشت سطحي و اتم آب بيست سطحي است.»

بحث بر سر صحت يا عدم صحت فرضيات افلاطون نيست، راسل در تاريخ فلسفه غرب مي‌گويد: «رساله تيمايوس بيش از همه آثار افلاطون حاوي مطالب احمقانه است» اما در عين حال نمي‌تواند به جدي بودن برخي مطالب او اقرار نكند: « مشكل بتوان تشخيص داد كه در رساله تيمايوس چه چيزهايي را بايد به جد گرفت و چه چيزهايي را بايد بازي خيال انگاشت. به نظر من شرح خلقت و پديد آمدن نظم از بي نظمي را بايد كاملا به جد گرفت. همچنين است تقسيم بندي چهار عنصر و رابطه آنها با احجام منتظم و مثلثهايي كه آنها را تشكيل مي‌دهند.»

همچنين رابرت لولر در كتاب ارزشمند خود تحت عنوان «هندسه مقدس» نسبت ميان هندسه قدسي و موسيقي از ديدگاه افلاطون را چنين روايت مي‌كند: «شايد به خاطر تامل در قوانين وساطت است كه شخص مي‌تواند رابطه بنيادين ميان هندسه و موسيقي را از قراري كه افلاطون در نامه هفتم خود مي گويد- و بيش از هر علم ديگر به آن احترام مي‌گذارد- اجمالا ببيند و شايد به همين دليل است كه مصريات دو هرم بزرگ را در جيزه ساخته‌اند كه يكي از آنها تنها مثلثي است كه اضلاعش يكي در تصاعد هندسي و ديگري در تصاعد 5،4،3 حساب است. در عصر ما «سايمون ويل» از اهميت اين علم به عنوان اصلي فلسفي براي عرفان عيسوي ياد مي‌كند.»

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:53 توسط مصطفي قاسمي |

ایران

به گفته کیامنش ، در سال های 93 ، 94 و 95 ، پنج درصد در آمد ناخالص ملی در ایران ، صرف آموزش و پرورش شد ، که مقدار هزینه صرف شده برای آموزش و پرورش به ترتیب 5/1 و9/1 و 2 میلیارد دلار بود. خط مشی های تربیت و تدریس را وزارت آموزش و پرورش تهیه و اجرا می کند و این خط مشی ها ، برای کل آموزش و پرورش قبل از دانشگاهی اجرا می شود.

برای تهیه و تدارک کتاب های درسی ، در جلسات ویژه ای اهداف هر سطح آموزش تعیین می شوند. در سال 95 – 1994،آموزش و پرورش بیش از 171 میلیون شماره از کتاب های درسی مدرسه ای را با بیش از 1000 عنوان چاپ کرده است، ساختار آموزش و پرورش ایران 1-3-3-5 است و آموزش اجباری ، شامل 8 پایه اول است . در دبیرستان، دانش آموزان به سه گروه اصلی نظری، فنی – حرفه ای و کارودانش تقسیم می شوند . گذراندن یک سال پیش دانشگاهی برای ورود به دانشگاه الزامی است.

سازمان های دولتی قادر به تاسیس مدارس خصوصی هستند، ولی باید همان برنامه درسی ملی که در مدارس عمومی اجرا می شود را، اجرا نمایند. برای سال 1995، درصد خیلی کمی از مدارس خصوصی بودند. تقویم مدرسه در ایران برای هر سه سطح ابتدایی ، راهنمایی و دبیرستان، شامل 200 روز است و دانش آموزان ، 6 روز در هفته از شنبه تا پنج شنبه به مدرسه می روند. تعطیلات شامل یک تعطیلات تابستانی سه ماهه و تعطیلات 13 روزه برای سال نو است و در مجموع،چندین تعطیلات ملی در طول سال وجود دارد . در پایه ابتدایی دانش آموزان 24 تا 28 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت می کنند که 18 تا 21 درصد از این زمان صرف ریاضی می شود. در دوره راهنمایی، دانش آموزان 30 تا 33 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت می کنند که 12 تا 17 درصد از این زمان صرف ریاضی می شود. متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های مدارس ابتدایی 29 نفر و این تعداد برای دوره های راهنمایی و دبیرستان، 32 نفر است.

تا پایان سال اول دبیرستان، هیچ گروه بندی وجود ندارد. ولی برای شروع سال دوم دبیرستان، دانش آموزان بر حسب توانایی هایشان و آزمون رغبت سنج ، به شاخه ها و رشته های مختلف تقسیم بندی می شوند.

معلمان به یکی از دو روش زیر ، گواهی نامه تدریس را دریافت می کنند:

الف ) در مراکز تربیت معلم یک دوره دو ساله که 20 درصد آن صرف آموزش پداگوژی می شود را می گذرانند . این دوره برای تربیت معلمان در سطوح ابتدایی و راهنمایی است.

ب ) گرفتن لیسانس در یک رشته خاص که چهار سال طول می کشد و 18 درصد این دوره صرف آموزش پداگوژی می شود.

ایران در سال 1991 ، به عضویت انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی درآمد و در مجموع ، در مطالعه تیمز و مطالعه آموزش زبا ن دوم که توسط این انجمن برگزار شد ، شرکت کرده است . در مطالعه تیمز در سال 1995 ، ایران در دو جمعیت یک و دو شرکت داشته که جمعیت اول شامل پایه های سوم و چهارم ابتدایی ؛ و جمعیت دوم شامل پایه های دوم و سوم راهنمایی است.

برنامه درسی ریاضی، در سطح ملی طراحی می شود که تمام مدارس ، ملزم به اجرای آن هستند. اهداف برنامه درسی به وسیله شورای ریاضی دفتر برنامه ریزی و تالیف کتب درسی تهیه ، و به وسیله شورای عالی آموزش و پرورش تایید می شود . به طور مثال ، اهداف برنامه درسی ریاضی از پایه یک تا هشت به صورت زیر است :

- توسعه راه های تفکر نظام وار که دانش آموزان بتوانند در نتیجه گیری و تجرید از این راه ها استفاده کنند ؛ - توسعه توانایی انجام محاسبا ت ذهنی ساده شامل تخمین عددی و اندازه ؛ - آشنا کردن دانش آموزان با جنبه هایی از ریاضیات که مربوط به سایر موضوعات است ؛ - توسعه توانایی های حل مساله ؛ - توسعه فهم مفاهیم ریاضی در هر مساله و توانایی توضیح دادن آن مفاهیم در هر قالب ریاضی. در حال حاضر ، راهنمای برنامه درسی برای کتاب های درسی و تغییر برنامه درسی وجود ندارد .

در ویرایش جدید کتاب هاب درسی دوره ابتدایی، بر اساس نظریه های یادگیری، تغییراتی ایجاد شده است. به طور مثال مطالب مربوط به ضرب و تقسیم کسرها از پایه چهارم و تقسیم اعشاری از پایه پنجم حذف شده اند و در کتاب های جدید برای آوردن مثال ها و تمرین ها از زمینه زندگی واقعی استفاده شده است. برای دوره راهنمایی، کتاب پایه سوم راهنمایی که به تازگی انتشار یافته است ، تغییر کرده است . به طور مثال ، مقدمات هندسه تحلیلی و تبدیلات هندسی دراین کتاب گنجانیده شده است . در سطح دبیرستان با تغییر نظام آموزشی ، کتاب هاب درسی به طور کلی عوض شده و ریاضیات محاسباتی و الگوریتمی در تمام پایه ها گنجانیده شده و روی کاربرد تاکید شده است . کتاب های درسی به وسیله وزارت آموزش و پرورش تهیه و توزیع می شوند و تمام مدارس، باید از آنها استفاده کنند. در مدارس ابتدایی و راهنمایی، معلم دقیقا کتاب درسی را دنبال می کند تا نسبت به برنامه درسی وفادار باشد. بیشتر کتاب های درسی شامل شکل های زیاد و توضیح به کمک تصویر است.

آشنایی با نظام های آموزش و پرورش شش کشور دنیا

انگلستان

به گفته دیویس ، بر اساس گزارش یونسک، انگلستان رتبه خوبی به لحاظ رشد اقتصادی دارا است. مخارج آموزش و پرورش در سال 94 – 1993 شانزده درصد از مخارج دولت بود و 5 درصد درآمد ناخالص ملی در سال 1991 صرف آموزش و پرورش شده است. در انگلستان ، دولت مرکزی مسئول تامین نیازهای آموزشی، برنامه ریزی و تعیین خط مشی ملی است. طبق قانون اصلاح آموزش و پرورش محلی سال 1988، بیش تر مدیران مدارس توسط انجمن محلی تعیین می شوند. آموزش اجباری در انگلستان از 5 سالگی تا 16 سالگی است و سطوح ابتدایی ( 11 – 5 سالگی ) و راهنمایی ( 16 – 11 سالگی ) را در بر می گیرد و تا پایان پایه 11، درس های ریاضی و علوم، اجباری هستند. در انگلستان ، سال تحصیلی به سه بخش تقسیم شده است که شامل یک تعطیلات تابستانی طولانی و یک تعطیلات کوتاه دو تا سه هفته ای در کریسمس و عید پاک است. هفته مدرسه ای از دوشنبه تا جمعه و روز درسی، تقریبا 6 ساعت است. در سال 1995، متوسط تعداد دانش آموزان در دوره ابتدایی در هر کلاس 27 دانش آموز و در دوره دبیرستان ، 22 دانش آموز در هر کلاس بود. در انگلستان ، هیچ خط مشی مشخصی برای گروه بندی وجود ندارد و بیش تر مدارس، گروه بندی ندارند. کلاس های مدارس ابتدایی شامل دانش آموزان با توانایی های متفاوت در ریاضی و علوم است ولی در دبیرستان ، گروه بندی در درس ریاضی رایج است اما در درس علوم ، کمتر اتقاق می افتد.

معلمان برای دریافت گواهی نامه معلمی باید به یکی از دو روش زیر عمل کنند:

الف) دوره چهار ساله لیسانس علوم تربیتی را بگذرانند .

ب) پس از پایان دبیرستان ، یک سال علوم تربیتی5 بخوانند و سه سال دیگر را در یک رشته تحصیلی صرف کنند.

انگلستان و ولز از سال 1959، عضو انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی هستند. انگلستان به تنهایی یا به همراه ولز، در مطالعات قبلی این انجمن از جمله FIMSS، FISS ، SISS ، SIMS ، شرکت کرده اند. انگلستان در مطالعه تیمز 1995 ، در دو جمعیت 1و2 شرکت داشته است. جمعیت 1 شامل دانش آموزان پایه 4 و 5 ابتدایی و جمعیت 2 شامل دانش آموزان پایه 8 و 9 دبیرستان است. در سال 1988 ، برای اولین بار در انگلستان برنامه درسی ملی مطرح شد که در سطح آموزش اجباری ، به کار گرفته شد. مدارس مستقل ، ملزم به پیروی از این برنامه ملی نیستند، ولی باید یکی از برنامه های تایید شده را انتخاب کرده و اجرا کنند. استفاده از ابزارهای کمک آموزشی هم چون ماشین حساب و کامپیوتر در کلاس های درس ریاضی ، طی ده سال گذشته افزایش یافته است. در حال حاضر، نگرش دانش آموزان نسبت به ریاضی منفی است و همین باعث می شود که مطالعه ریاضی را در سطوح بالاتر دنبال نکنند. در سطوح بالاتر، نسبت دختران به پسران، برای مطالعه ریاضی کم تر است و این نگرانی را ایجاد می کند که باید راهی برای ترغیب بیش تر دختران به خواندن ریاضی پیدا کرد. کتاب های درسی به طور طبیعی توسط شرکت های تجاری تولید می شوند . با این حال ، بسیاری از کتابها قدیمی شده اند ، چون برنامه های درسی تغییر کرده اند، ولی کتابهای درسی هیچ تغییری نکرده اند.

در حال حاضر، ناشران در حال دوباره نویسی کتابها هستند تا با برنامه درسی جدید، متناسب باشد. در انگلستان ، تعداد زیادی از کتاب های درسی که در دوره دبیرستان خیلی زیاد استفاده می شود، از سری پروژه ریاضیات مدرسه ای (SMP) است. تا سال 1991، برای دریافت دیپلم متوسطه انجام کارهای پروژه ای اجباری نشده بود، ولی از آن پس، اجباری شد. برای دانش آموزان پایه های پایین تر، کارهای پروژه ای معرفی شدند و دانش آموزان در این پایه ها بر خلاف گذشته، بیش تر به کار گروهی تشویق می شوند. هم چنین کامپیوترها به طور وسیعی در مدارس در دسترس هستند و دانش آموزان با چگونگی استفاده از آنها و کاربرد هایشان، آشنا شده اند. در اواسط دهه هشتاد در انگلستان، یک بحث جدی در زمینه تربیت معلمان و چگونگی به دست آوردن تکنولوژی جدید توسط معلمان مطرح شد. در نظام آموزشی انگلستان، دو نوع ارزش یابی وجود دارد که یکی ارزش یابی های پیوسته است و به وسیله معلم اجرا می شود و دیگری، ارزش یابی خارجی است که در پایان 7، 11 و 16 سالگی و به طور متمرکز، اجرا می شود. لازم به ذکر است که ارزش یابی خارجی فقط به عنوان نمونه اجرا می شود و هدف آن، ارزش یابی نظام آموزشی است و بر ارزش یابی شخصی دانش آموزان، تاکید ندارد.

سنگاپور

با توجه به گفته های انگ ، تونگ و توه ، می توان گفت که نظام آموزشی سنگاپور در مواردی، شبیه ایران است. به طور مثال مردم سنگاپور به زبان های چینی ، مالزیایی و هندی تکلم می کنند در حالی که زبان رسمی کشور ، واحد است . هم چنین جمعیت جوان دانش آموزان در کشور سنگاپور ، مشابه ایران است ، و نظام آموزشی ، متمرکز است . کل مخارج دولت در حدود2/9 میلیارد دلار است که 22 درصد آن صرف آموزش و پرورش ، تدارک آموزش کودکان در مدرسه و فراهم کردن آموزش به تناسب توانایی های بالقوه هر دانش آموزاست . توسعه برنامه درسی ، انتخاب کتاب های درسی ، آموزش و استاندارد های ارزش یابی ، در وزارت آموزش و پرورش متمرکز شده اند. هر دانش آموز سنگاپوری حداقل 10 سال آموزش عمومی می بیند که شامل 6 سال دوره ابتدایی و 4 سال متوسطه است . در پایه 1 تا 4، روی سواد پایه و مهارت های عددی تاکید می شود و تمام دانش آموزان براساس توانایی هایشان طبقه بندی می شوند . در سنگاپور ، سه نوع طبقه بندی وجود دارد . تمام دانش آموزان در پایان پایه ششم ، به وسیله یک آزمون ملی ارزش یابی می شوند و سپس ، بر اساس توانایی هایشان ، در یکی از دوره های نظری یا فنی ثبت نام می کنند . پس از پایان دبیرستان ، دانش آموزان حتما باید یک دوره دو ساله را برای ورود به کالج کمبریج – سنگاپور بگذرانند . تمام دانش آموزان از پایه 1 تا 10 ، ریاضی را مطالعه می کنند . هر سال مدرسه ای ، شامل 4 ترم 10 هفته ای است. بین ترم های 1 و 2 و بین ترم های 3 و 4 مدارس یک هفته تعطیل است.

یک تعطیلات 4 هفته ای در پایان نیم سال و یک تعطیلات طولانی 6 هفته ای در پایان سال وجود دارد . در سنگاپور ، بیش تر مدارس دو نوبتی هستند. روزهای مدرسه ای از دوشنبه تا جمعه است و فعالیت های فوق برنامه ، قبل یا بعد از ساعت مدرسه یا در روز شنبه برگزار می شود . میزان وقتی که برای درس ریاضی در پایه های مختلف صرف می شود ، متغیر است . به طور مثال ، برای پایه های 1 تا 4 ، 20 درصد ؛ در پایه های 5 و 6 ، 20 تا 27 درصد ؛ در پایه های 7 تا 8 ، 13 تا 14 درصد و در پایه های 9 و 10 ، بین 13 تا 25 درصد از زمان برنامه درسی ، صرف ریاضی می شود. متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های دوره ابتدایی 37 نفر ، در کلاس های دبیرستانی 35 نفر و در سطح کالج ، کمتر از 22 نفر است.

آموزش حرفه ای معلمان در سنگاپور، به وسیله شورای ملی آموزش و پرورش تهیه و تدوین شده است که شامل دوره های زیر است:

الف) دوره چهارساله لیسانس برای تدریس در دوره ابتدایی و راهنمایی ؛

ب) گذراندن یک دوره یک ساله پس از فارغ التحصیل شدن در یک رشته دانشگاهی که با گذراندن این دوره ، دانشجویان می توانند معلم ابتدایی یا راهنمایی شوند ؛

ج) گذراندن دیپلم آموزشی که مدت آن دو سال بوده و می توان با گذراندن این دوره ، معلم ابتدایی شد ؛

د) دوره های ضمن خدمت که برای تمرین عملی تدریس ، از سوی شورای ملی پیشنهاد شده است.

اگر چه جمعیت دانش آموزی سنگاپور همانند ایران جوان است ، ولی متوسط سن معلمان ابتدایی و متوسطه آن ، 41 سال است . سنگاپور در سال 1982 به عضویت انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی درآمد . در گذشته سنگاپور در آزمون های دیگر این انجمن از جمله SIMSS شرکت داشته است . در سال 1995 ، سنگاپور در جمعیت 1 و2 تیمز شرکت کرده است. در سال 1990 ، در بخش های ریاضی برنامه درسی ارایه شده ، بازنگری شد . برنامه درسی جدید ، تاکید بیشتری بر مفاهیم ریاضی و توانایی به کار بردن آن ها برای حل مساله ریاضی دارند و به روش های تدریس موثر تاکید شده است . این روش ها عبارتند از : توسعه مفاهیم ریاضی از طریق انجام فعالیت های معنی دار ؛ استفاده از تفکر ریاضی ، ارتباط های ریاضی وار و حل مساله ریاضی ؛ § استفاده از تکنولوژی کامپیوتر ، در تدریس و یادگیری ریاضیات. وزارت آموزش و پرورش سنگاپور ، فهرستی از کتاب های درسی و مواد کمک آموزشی مناسب را تهیه و در اختیار همه قرارمی دهد . لازم به توضیح است که کتاب های درسی این فهرست ، به طور تجاری تهیه می شوند .

این کتاب ها بدون انعطاف ، برنامه قصد شده را دنبال می کنند . دانش آموزان به خواندن کتاب های درسی تشویق می شوند ، ولی از کتاب ها چیزی نمی آموزند و بیش تر ، از تدریس معلم شان برای مرور درس و انجام تکالیف شان استفاده می کنند. از آن جایی که دانش آموزان در یادگیری ریاضیات دوست دارند که از یک فرآیند ملموس وعینی به سوی تجرید حرکت کنند ، معلمان تشویق می شوند که از این روند ، برای آموزش آنها استفاده کنند . معلمان برای به کار بردن شیوه فعال در یادگیری دانش آموزان و با استفاده از مواد آموزشی ، فیلم های متنوع و کامپیوتر ترغیب می شوند. ارزش یابی ، بخشی از فرآیند یادگیری و تدریس است و هدف آن ، اندازه گیری میزان یادگیری مورد نظر است. ارزش یابی ، آمادگی دانش آموزان را برای یادگیری موضوعات جدید ، مورد بررسی قرار می دهد و به این ترتیب ، برای میزان اثر بخشی تدریس معلم ، بازخورد مناسبی تهیه می کند.

ژاپن

به گفته میاکه و ناگاساکی ، در سال 1990 ، هفده درصد هزینه عمومی دولت ژاپن صرف آموزش و پرورش شده است که این میزان ، تقریبا 6 درصد تولید ناخالص ملی است. وزارت آموزش و پرورش ژاپن قالب های برنامه درسی استاندارد را تهیه کرده است و مدارس ، برای آموزش اجباری باید یکی از آنها را انتخاب کنند. در ژاپن ، آموزش و پرورش بر طبق الگوی 3-3-6 است. آموزش اجباری شامل شش سال در مدارس ابتدایی و سه سال در مدارس متوسطه است. میزان ریاضی تدریس شده در پایه های مختلف در جدول زیر آمده است.

پایه

25 25 25 22 22 21 20 19
زمان کلاس ریاضی برحسب ساعت
13% 13%

10%

17% 17% 18% 19% 16%

درصد کلاس ریاضی

در آموزش و پرورش ژاپن ، هم مدرسه خصوصی وجود دارد و هم مدرسه دولتی. بیش تر مخارج مدارس دولتی به عهده دولت مرکزی است. حتی نیمی از مخارج مدارس خصوصی نیز ، به عهده دولت مرکزی است. سال مدرسه ای که از اول آوریل شروع می شود و در 31 مارس تمام می شود ، به سه بخش تقسیم شده است . بیش تر مدارس ابتدایی و متوسطه ، به مدت 35 هفته یا 190 روز باز هستند . روزهای مدرسه ای در هر هفته ، از دوشنبه تا جمعه است . دانش آموزان در هر روز ، 6 ساعت به مدرسه می روند و گاهی 4 ساعت نیز در کلاس های روز شنبه که 2 تا 3 بار در هر ماه برگزار می شود ، حضور می یابند. در سال 1994 ، تعداد متوسط دانش آموز در کلاس های ابتدایی 29 نفر بود و این تعداد ، برای دوره متوسطه 34 نفر بود . در حالی که بیش ترین تعداد دانش آموزان در دبیرستان ، 40 دانش آموز در کلاس درس بود. در ژاپن ، هیچ برنامه مشخصی برای گروه بندی دانش آموزان وجود ندارد و یک برنامه اجباری ریاضی و علوم در کلاس هایی با توانایی های متفاوت دانش آموزان تا پایان پایه نهم ، ارائه می شود. با شروع پایه نهم ، مدارس باید درسهای انتخابی از ریاضی را در برنامه درسی قرار دهند تا دانش آموزان علاقه مند ، درس ها را بگیرند.

کسانی که می خواهند در آینده معلمان ابتدایی و متوسطه شوند ، باید یک لیسانس چهار ساله را به همراه چندین دوره در نظریه های آموزشی و پداگوژی ، به عنوان قسمتی از لیسانس حرفه ای معلمی ، داشته باشند .

دوره های دوساله کالج نیز، در آموزش وجود دارند که فارغ التحصیلان این دوره ، می توانند در پایه های 1 تا 9 تدریس کنند. متوسط سن معلمان ژاپن در دوره ابتدایی 40 سال و دردوره اول متوسطه ( پایه های 7 تا 9 ) ، 39 سال و برای دوره دوم متوسطه ( پایه های 10 تا 12 ) ، 42 سال است. ژاپن از سال 1961 ، عضو انجمن ارزشیابی پیشرفت تحصیلی است و قبل از شرکت در مطالعه تیمز ، در مطالعه های تطبیقی دیگر این انجمن از قبیل ، SIMSS,FISS,SISS,FIMSS شرکت کرده است. ژاپن در مطالعه تیمز در سال 1995 ، در دو جمعیت 1 و2 شرکت کرده است. شورای برنامه ریزی در وزارت آموزش و پرورش ژاپن ، هدف های برنامه درسی را هدایت می کند. در دوره ابتدایی ، هدف ها ، کمک به دانش آموزان در مطالعه خردمندانه و منطقی پدیده های زندگی روزانه ، کسب علوم و مهارت های اساسی در ارتباط با اعداد ، کمیت ها و شکل های هندسی ، ایجاد نگرش مثبت نسبت به ریاضی و دست یافتن به رضایت مندی در استفاده از ریاضیات در زندگی روزانه است. در سطح دبیرستان ، این اهداف شامل کمک به دانش آموزان در عمیق تر کردن فهم شان از مفاهیم پایه ای ریاضی ، اصول و قواعد درباره اعداد ، کمیت ها و شکل های هندسی است. دانش آموزان باید بیاموزند که پدیده های ریاضی را نمایش دهند و از شیوه های ریاضی وار دیدن و فکر کردن ، قدردانی نمایند . تغییرات ایجاد شده در برنامه درسی به ترتیب در سالهای 1992 و 93 و 94 برای پایه های 1 تا 6 و 7 تا 9 و 10 تا 12 اجرا شد . اساس این اصلاح ، تاکید بر ریاضیات پایه ، ایجاد قدردانی نسبت به ریاضیات ، راه های ریاضی وار فکر کردن ، و فراهم کردن وضعیتی که دانش آموزان بتوانند به طور فردی تربیت شوند ، است.

در برنامه درسی جدید ، استفاده از کامپیوتر از دوره ابتدایی شروع می شود و در دوره دبیرستان ، در سطح وسیعی به کار گرفته می شود و از پایه پنجم به بعد ، از ماشین حساب در تدریس به طور فزاینده ای استفاده می شود. براساس سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم تیمز ، و مطالعات دیگر ، به نظر می رسد که دانش آموزان ژاپنی از ریاضی بیزار هستند و این طرز تلقی ، در بین دانش آموزان رشد یافته است و باید برای آن ، تدبیری اندیشیده شود. برای استفاده از ماشین حساب و کامپیوتر در برنامه درسی ، تاکید زیادی شده ولی به نظر می رسد که به طور موثر در کلاس درس از آنها استفاده نمی شود و باید در این زمینه ، معلمان را بیشتر آموزش داد.

کتاب های درسی توسط تیم نویسنده آن ها که شامل آموزشگران ریاضی ، ریاضی دان ها و معلمان است ، نوشته شده و توسط انتشاراتی های تجاری چاپ می شود . هیات محلی آموزش و پرورش در مشورت با نماینده های معلمان مشخص می کنند که از کدام کتاب درسی از فهرست تولیدات تایید شده توسط وزارت آموزش و پرورش ، استفاده شود . در تمام سطوح از معلم انتظار می رود تا از کتاب درسی برای تدریس استفاده کند و معلمان ، معمولا از کتاب های درسی برای مرور و استحکام بخشیدن دانش ها و مهارت های پایه ای و خلاصه کردن قواعد استفاده می کنند . کتاب ها از یک رهیافت حل مساله که شامل پنج گام پرس و جو ، تشریح ، مثال ها ، تمرین ها و کاربرد ها است ، استفاده می کنند و بیش تر از موضوعات حقیقی زندگی برای معرفی مفاهیم ریاضی استفاده می نمایند. راهنمای برنامه درسی بر برقراری تعادل بین تدریس تکنیک های محاسباتی و توسعه مفاهیم ، تاکید دارد. ولی معلم ها در تدریسشان بیش تر بر تکنیک ها تاکید دارند. اگر چه ریاضیات به صورت یک علم یکپارچه است ، ولی گرایش معلم ها در تدریس ریاضی به صورت موضوعات مجزااست و این گرایش ، در ریاضیات دبیرستانی بسیار رشد کرده است . استفاده از ماشین حساب از پایه پنجم به بعد توصیه شده است ولی معلمان به ندرت از آن استفاده می کنند ، و نیز، استفاده از کامپیوتر برای تمام پایه ها توصیه شده اما هنوز هم در کلاس های درس ، خیلی کم از آن استفاده می شود. رهیافت های استقرایی برای تدریس مفاهیم ریاضی در پایه های 1 تا 9 مورد استفاده قرار می گیرد .

مواد آموزشی و دست ورزی، در دوره ابتدایی استفاده می شوند در حالی که در دوره دبیرستان به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند . استفاده از پروژه های تحقیقی و باز پاسخ ، قویا توصیه شده اند . در حال حاضر همه معلمان موافقند که پروژه ها مهم هستند ، ولی در چگونگی استفاده از این روش مطمئن نیستند . به یادگیری مشارکتی هم، توجه زیادی نشده و هنوز روش های معلم محوری حاکم هستند. در نظام آموزشی ژاپن ، به طور رسمی ، هیچ ارزشیابی خارجی وجود ندارد . ولی برای آزمون ورودی سه سطح وجود دارد . اولی در پایان پایه نهم و ورود به دوره اول دبیرستان و دومی در پایان پایه نهم و ورود به دوره دوم دبیرستان و سومی در پایان پایه 12 ، برای ورود به دانشگاه است . ارزش یابی محلی نیز برای دادن بازخورد به مدارس و کمک به آن ها در انجام وظایفشان ، وجود دارد . ارزش یابی های کلاسی ، به منظور پرورش دانش آموزان و توسعه تدریس انجام می شود . در ارزشیابی های کلاسی ، استفاده از آزمون کتبی هنوز شیوه غالب است.

کانادا

به گفته تیلور ، کشور کانادا دارای یک حکومت مرکزی و چندین حکومت فدرالی استانی است که آموزش و پرورش ، به وسیله استان ها اداره می شود . کانادا جزو هفت کشور صنعتی جهان است و هزینه های آموزش و پرورش کانادا در سال 1992بیش از 7 درصد در آمد ناخالص ملی بود و در سال 93 – 1992 این هزینه ها ، به 30 میلیارد دلار رسید. کانادا کشوری با تنوع بسیار زیاد جغرافیایی ، سازمان دهی سیاسی وساختار فرهنگی است ، که همه این عوامل ، برساختار و ماهیت نظام آموزشی آن ، تاثیر می گذارد. ساختار آموزش وپرورش کانادا عموما ، 6- 3- 3 است. در طول سال ، 180 تا 200 روز درسی وجود دارد و شامل چند تعطیلی ملی و محلی است. دانش آموزان ابتدایی هفته ای 30 ساعت به مدرسه می روند که 23 تا 24 ساعت از آن ، صرف تدریس و بقیه آن صرف بازی روزانه ، نهار و زنگ تفریح می شود . در دبیرستان ، دانش آموزان هفته ای 30 تا 35 ساعت به مدرسه می روند . در کانادا ممکن است کلاس هایی با بیش از 40 دانش آموز وجو د داشته باشند ، ولی میانگین تعداد دانش آموزان در سال 94 – 1993 در ایالت کبک ، برای دوره ابتدایی 27 نفر و برای دوره دبیرستان 30 نفر بود . خواندن ریاضی تا پایه 9 یا 10 ، اجباری است . در بعضی ازاستانها ، این وضعیت تا پایان پایه 11 ادامه دارد . درس های انتخابی در ریاضی ، معمولا در سطح دبیرستان ارایه می شوند .

گروه بندی دانش آموزان در کانادا ، یک موضوع قابل بحث است ، چرا که با اهداف مدارس عمومی تناقض دارد . گروه بندی، موافقان و مخالفانی دارد و فلسفه طرفداران گروه بندی ، عمل گرایی است .

معلمان برای دریافت گواهی نامه معلمی ، به یکی از دو روش زیر اقدام می کنند :

الف) یک دوره چهارساله دانشگاهی در یک رشته ، به اضافه یک دوره یک ساله در تربیت معلم را می گذرانند ،

ب) بعد از اخذ لیسانس ، یک دوره دو ساله آموزش معلمان را می گذرانند.

بیش تر زمان صرف شده برای دوره های تربیت معلم ، بر پداگوژی و برنامه درسی تاکید دارد . آموزش ضمن خدمت به وسیله آموزش و پرورش ، هیات آموزشی مدرسه یا دانشکده های علوم تربیتی ارایه می شود . شرکت در این دوره ها اجباری نیست ، ولی در بسیاری از مواقع و در زمان تغییرات برنامه درسی و اطمینان بخشی به معلمان ، ضروری است .

استان های کبک ، انتاریو و بریتیش کلمبیا از سال 1981 ، عضو انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی شده اند ، که در دومین مطالعه تیمز ، در تمام سطوح جمعیتی شرکت داشته است . در مجموع ، پنج استان بریتیش کلمبیا ، آلبرتا ، انتاریو، نیوبرانزویک ، و نیوفوندلند ، مستقلا در یک یا بیش تر از جمعیت های تیمز شرکت داشته اند. اغلب دوره های برنامه درسی ریاضی در کانادا ، مشابه هستند و تمرکز جدید کتاب های درسی ریاضی ، بر یادگیری فعال و فرآیند ریاضی قرار گرفته است .

یکی از دلایل این تشابه این است که ناشران ، برای صرفه اقتصادی بیش تر ، مواد درسی ای را در کتاب های خود می گنجانند که حداقل ، مورد تایید دو یا چند استان کانادا باشند. اهداف ریاضی در راهنمای برنامه درسی که به وسیله هر ایالت منتشر شده است ، موجود است . این اهداف در اکثر موارد ، شبیه استاندارد برنامه درسی ریاضی مدرسه ای است که توسط شورای ملی معلمان ریاضی آمریکا و کانادا (NCTM) 15 تهیه شده است. رهیافت های تدریس در 10 سال اخیر ، تغییر زیادی کرده اند . این رهیافت ها به سوی یادگیری فعال رفته اند و سعی می کنند تا دانش آموزان را در تکالیف باز پاسخ ، فعالانه شرکت دهند .

استفاده از ابزارهای کمک آموزشی الکترونیکی از قبیل ماشین حساب و کامپیوتر در کلاس درس ریاضی ، طی 10 سال اخیر افزایش یافته است . در سطح مدارس ابتدایی ، استفاده از ماشین حساب به طور محسوسی افزایش یافته است ، به گونه ای که صحت بیش تر جواب های به دست آمده برای مسایل ریاضی ، با استفاده از ماشین حساب بررسی می شوند . ماشین حساب باعث شد تا مسایل ریاضی واقعی تر شوند ، چرا که قبلا سعی می شد تا اعداد به گونه ای سرراست باشند تا محاسبات ، ساده باشند . ولی اکنون با استفاده از ماشین حساب ، می توان با اعداد غیر معمولی و واقعی نیز ، به راحتی کار کرد . استفاده از ماشین حساب های گرافیکی ، انقلابی در تدریس و یادگیری نمودار و کاربردهای آن پدید آورده است . در حال حاضر، تاکید برنامه درسی ریاضی بر حل مساله و کاربردهای ریاضیات در جهان واقعی و روابط بین رشته ای مانند رابطه ریاضی با سایرعلوم است . در راستای این تاکید ها ، کتاب های درسی نیز تغییر کرده اند .

بسیاری از مدارس ، از تکنولوژی جدید در برنامه درسی استفاده می کنند تا بتوانند از برنامه های نرم افزاری و پایگاه های داده های بین المللی نیز ، استفاده کنند. برنامه درسی بر تدریس مفاهیم ، بیش از یادگیری طوطی وار تاکید دارد . استفاده از ماشین حساب در تمام سطوح توصیه شده است . به ویژه در جمعیت 3 ، استفاده از کامپیوتر نیز قویا ، توصیه شده است . استفاده از روش یادگیری فعال ، یادگیری مشارکتی و برنامه درسی باز پاسخ در تمامی دوره ها ، مورد انتظار است. معلمان برای ارزشیابی آموخته های دانش آموزان ، از آزمون های کتبی ، پروژه های کلاسی و ارزش یابی فردی استفاده می کنند .

از زمانی که رهیافت های تدریس به سمت یادگیری فعال تغییر یافته ، معلمان استفاده از رویه های ارزش یابی غیر سنتی مانند مشاهده را گسترش داده اند. هم چنین ، آن ها از سایر روش های ارزش یابی که شامل ارزش یابی پرونده کاری ، مشاهده دقیق و خود ارزش یابی است ، نیز استفاده می کنند.

کره جنوبی

به گفته کیم ، در سال 1994 ، هزینه های آموزش و پرورش در کره جنوبی ، بیست و سه درصد از کل هزینه های دولت و در حدود 4 درصد از درآمد ناخالص ملی بود. در کره جنوبی ، وزارت آموزش و پرورش مسئول تهیه خط مشی مربوط به آموزش ، چاپ و تایید کتاب های درسی ، سیاست های اجرایی و فراهم کردن پشتوانه مالی برای دانشگاه های ملی است . هیات مدیره هر ناحیه آموزش و پرورش ، تصمیمات مربوط به آن ناحیه را می گیرد.

مسئولیت تمام مدارس ابتدایی و متوسطه ، با ادارات محلی آموزش و پرورش است . از زمان انقلاب کره در سال 1948 ، مدارس کره ملزم هستند تا برنامه درسی ملی را اجرا کند .ساختار وزارت آموزش و پرورش کره 6 - 3 -3 است که شامل 6 سال ابتدایی و سه سال راهنمایی و سه سال دبیرستان است . بیش تر مدارس در کره دولتی هستند ولی تعدادی مدرسه خصوصی نیز وجود دارد که معمولا توسط یک شخص و با رعایت بعضی اصول تعیین شده توسط دولت ، اداره می شوند . سال مدرسه ای در کره از اول مارس تا آخرین روز فوریه است و شامل بیش از 220 روز است که از این میان ، 204 روز برای آموزش و 16 روز برای فعالیت های فوق برنامه و جشنواره است . سه دوره تعطیلی در طول سال تحصیلی وجود دارد . دانش آموزان در هر هفته ، از دوشنبه تا شنبه به مدرسه می روند. در سطح ابتدایی ، دانش آموزان 24 تا 31 ساعت در هفته و در سطح دبیرستان ، 34 ساعت در هر هفته به مدرسه می روند .

در سال 1995 ، متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های درس دوره ابتدایی 37 نفر بود و این تعداد برای دوره راهنمایی و دبیرستان ، به ترتیب 48 و 49 نفر بود. در کره جنوبی ، قانون رسمی برای گروه بندی دانش آموزان وجود ندارد و کلاس ها در بر گیرنده دانش آموزان با توانایی های متنوع هستند . مطالعه ریاضی تا پایان پایه 11 ، اجباری است. معلمان به یکی از دو روش زیر گواهی نامه تدریس را دریافت می کنند: یا دوره چهار ساله لیسانس را در یک کالج می گذرانند و یا یک دوره معلمی را که توسط دانشگاهها ارایه می شود ، سپری می کنند. در سال 1994 ، متوسط سن معلمان برای مدارس ابتدایی ، دوره اول دبیرستان و دوره روم دبیرستان ، به ترتیب 42 و 39 و 40 سال بود. کره از سال 1982 ، عضو انجمن ارزشیابی پیشرفت تحصیلی است و در دومین مطالعه بین المللی علوم و مطالعه محیط زیست ، شرکت داشته است . کره در جمعیت 1 و جمعیت 2 مطالعه تیمز شرکت کرده است . کره در جمعیت 3 شرکت نکرد چرا که دانش آموزان پایه 12 ، کار زیادی برای ورود به کالج انجام می دهند و برنامه سنگینی دارند.

اهداف کلی آموزش ریاضی در کره ، به صورت زیر معرفی شده است: - فهمیدن مفاهیم و اصول پایه ای و اشکال هندسی از طریق استفاده از رهیافت های ریاضی در مشاهده و سازمان دهی پدیده های مختلف که در زندگی روزمره اتفاق می افتد ؛ - حل مسایل منطقی متفاوت به وسیله تمرین مهارت های ریاضی پایه و به کار بردن آن ها در زندگی روزمره ؛ - افزایش توانایی ها و قابلیت های مورد نیاز ریاضی کاربردی و مهارت های حل مسایل مختلف. در کره ، خط مشی مشخصی در رابطه با استفاده از وسایل کمک آموزشی مانند کامپیوتر و ماشین حساب در کلاس های درس ، وجود ندارد و استفاده از آن ها ، فقط به علاقه معلم بستگی دارد ولی استفاده از این وسایل در آینده ، اجتناب ناپذیر است. اگرچه رویکرد برنامه درسی ریاضی به سوی روش فعال تغییر کرده ، ولی تغییر شیوه تدریس خیلی کند است . با این که آموزشگران ریاضی استفاده از شیوه های متفاوت تدریس را توصیه می کنند ، ولی معلمان استفاده از روش سخنرانی را پیشنهاد می کنند .

چون در کره جنوبی ، تعداد دانش آموزان در کلاس های درس زیاد است ، خواسته والدین هم این است که مدرسه ، فرزندانشان را برای آزمون ورودی دانشگاه ها ، آماده کنند. در این کشور ، در دوره ابتدایی از یک کتاب درسی و یک کتاب تمرین که توسط وزارت آموزش و پرورش تهیه شده ، استفاده می شود . کتاب تمرین بر تمرین های محاسباتی و کاربردی تمرکز یافته است .

کتاب های درسی طی ده سال اخیر ، تغییر بسیاری کرده است . این کتابها به وسیله مؤسسات تخصصی که زیر نظر وزارت آموزش و پرورش کار می کنند ، چاپ می شوند . نویسندگان کتابها ، معمولا ترکیبی از معلمان ، متخصصان آموزش و پرورش و متخصصان موضوعی هستند. استفاده از سؤالات باز پاسخ در امتحانات خارجی مثل ارزش یابی ملی و امتحان های ورودی دانشگاه ها ، افزایش یافته است و درکلاس درس ، بر این نوع سؤالات ، تاکید بیشتری می شود . معلمان سعی می کنند بر فعالیت های دست ورزی ملموس و کار گروهی ، تاکید کنند . برای آسان تر کردن یادگیری ، تعدادی تکلیف با هدف مرور آن چه که آموخته شده ، در پایان هر درس ، به دانش آموزان داده می شود . اگر چه ماشین حساب به عنوان قسمتی از زندگی روزانه در کره جنوبی شده است ، ولی دانش آموزان استفاده از آن را در برنامه ریاضی مدرسه ای ندارند . علوم کامپیوتری ، برنامه های کامپیوتری و کاربردهای آن ها در برنامه درسی ریاضی ضروری نیستند و به صورت موضوعات مجزا تدریس می شوند. در کره ، آموزش کلاسی طی ده سال گذشته بوده است .

ارزش یابی ملی برای دانش آموزان کره ای یکی برای ورود به دانشگاه است. دانش آموزان برای شرکت در امتحان ورودی دبیرستان باید در ناحیه آموزشی خود شرکت کنند . البته ، دانش آموزان یک آزمون پیشرفت تحصیلی هم در سطح ملی می دهند که در مدارس ابتدایی ، راهنمایی و دبیرستان اجرا می شود و هدف آن ، ارزش یابی ، کنترل فرآیند یادگیری دانش آموزان و کارآمدی نظام آموزشی در سطح ملی است . ارزش یابی های محلی و کلاسی نیز با روش های متفاوتی انجام می شوند.

منابع

________________________________________________________________________________________

[1] Robitaile , David F . (1997) National Context for Mathematics and Science Education , AN {1} ENCYCLOPEDIA OF THE EDUCATION SYSTEMS PARTICIPATING IN TIMSS , Published by Pacific Educational press , Faculty of Education , University of British Clombia.

{2} سلسبیلی ، نادر ( 79 – 1378 ) ، همایش علمی – پژوهشی آموزش ریاضی و علوم با تاکید بر یافته های سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم ( تیمز) ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 57 . سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی ، وزارت آموزش و پرورش.

{3} عصاره ، علیرضا . ( 80 – 1379 ) . عوامل مؤثر بر پیشرفت تحصیلی دانش آموزان پایه های دوم و سوم راهنمایی کشور در درس ریاضی ( جمعیت دوم تیمز ) مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 59 و 60 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارت کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش .

{4} کیامنش ، علیرضا ؛ خیریه ، مریم ، ( 1379) ، روند تغییر درون دادها و برون دادهای آموزش ریاضی براساس یافته های TIMSS و TIMSS-R ، انتشارت پژوهشکده تعلیم و تربیت ، وزارت آموزش و پرورش .

{5} گویا ، زهرا ؛ غلام آزاد ، سهیلا ، ( 80 – 1379 ) ، گزارش بیست و چهارمین کنفرانس روان شناسی آموزش ریاضی ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 61 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش.

{6} گویا ، زهرا ، ( 1376 ) ، یادداشت سر دبیر ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 48 ، سال یازدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:51 توسط مصطفي قاسمي |

رياضي سوم راهنمايي

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:40 توسط مصطفي قاسمي |

.:: دستگاه معادله های خطی ::.

(system of linear equations)

دستگاه معادله های خطی شامل مجموعه ای از دو یا چند معادله خطی می باشد.

منظور از حل دستگاه, به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله ها بر قرار باشند.

مثال:

مشخصات:

*نام:دستگاه معادله های خطی

*این دستگاه شامل دو معادله ی خطی می باشد.

*این دستگاه شامل دو مجهول x و y است.

*به ازای x=-۶ و y=۳ هر دو معادله بر قرارند.

*جواب دستگاه در واقع طول و عرض نقطه ی تقاطع این دو خط می باشد.

دستگاه دو معادله ی دو مجهولی:

یک دستگاه دو مجهولی درجه اول به شکل زیر است:

این دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول می باشد. مجهول های دستگاه در مورد هر موضوعی می توانند باشند . برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و قیاسی را توضیح می دهیم.

روش حذفی:

در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب می کنیم که ضریب های یکی از مجهول ها در دو معادله قرینه شود, آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع می کنیم و ساده می کنیم, پس از پیدا شدن یکی از مجهول ها آن را در یکی از دو معادله قرار می دهیم و مجهول دیگر را بدست می آوریم.

مثال 1: دستگاه زیر را حل کنید.

حل:

بنابر این x=-۳ و y=۲ جواب دستگاه می باشد.

مثال 2: دستگاه زیر را حل کنید.

حل:

ابتدا طرفین معادله اول را در عدد 6 و طرفین معادله دوم را در عدد 2 ضرب می کنیم تا مخرج ها حذف شوند.

بنابر این x=۶ و y=۶ جواب دستگاه می باشد.

روش قیاسی:

در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار می دهیم.

مثال: دستگاه زیر را حل کنید.

حل:

1- دستگاه فقط یک جواب دارد در صورتیکه

2- دستگاه بیشمار جواب دارد در صورتیکه

3- دستگاه جواب ندارد در صورتیکه

þ تست1 :

مجموع جوابهای یک دستگاه دو معادله و دو مجهولی برابر 15 و تفاضل جواب ها برابر 3 است.

حاصل ضرب جواب های این دستگاه کدام است؟

د) 54

ج) 48

ب) 42

الف) 36

þ تست2 :

در یک قلک 25 سکه 100 ریالی و 250 ریالی به مبلغ 4000 ریال موجود است.

تعداد سکه های 100 ریالی برابر است با:

د)20

ج) 15

ب) 10

الف) 5

þ تست3 :

به ازای چه مقدار از m دستگاه معادلات جواب ندارد؟

- د) 2

ج) 2

ب) 1

الف) 1-

þ تست4 :

جواب x در دستگاه چقدر است؟

- د) 2

ج) صفر

ب) 1-1

الف) 1

þ تست5 :

اگر y=ax+b معادله خطی باشد که از دو نقطه می گذرد, حاصل a+b کدام است؟

-د) 11

ج) 11

-ب) 9

الف) 9

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:38 توسط مصطفي قاسمي |

آموزش ریاضی سوم راهنمایی-زاویه و دایره

.:: زاویه و دایره ::.

دایره: (circle)

مجموعه نقاطی از صحفه که فاصله ی آن از یک نقطه به نام مرکز برابر باشند ، دایره نامیده می شود.

دایره ی c به مرکز o و شعاع R را با نماد نشان می دهیم .

وتر دایره :(circle chord) پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می کند . هر دایره بیشمار وتر دارد . مانند وتر های AB و CD در دایره ی C .

قطر دایره:(circle axis) بزرگترین وتر در هر دایره را قطر می نامند . قطر وتر ی از دایره است که از مرکز می گذرد مانند قطر MN در دایره ی C.

کمان دایره :(circle arc) قسمتی از محیط دایره را می گویند که به دو نقطه روی محیط دایره محدود شده باشد. اگر دو نقطه ی A و B را روی دایره C در نظر بگیریم دو کمان پدید می آید ، کمان کوچکتر را به صورت و کمان بزرگتر را به صورت می خوانیم .

í نقطه و دایره : نقطه و دایره نسبت به هم 3 وضعیت دارند :1 نقطه داخل دایره است. 2 نقطه روی دایره است. 3 نقطه خارج دایره است .

í وضع یک خط و یک دایره نسبت به هم:

خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:

1. خط خارج دایره است که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.

2.خط بر دایره مماس است.که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است . یعنی d = R

3.خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع کو چکتر است.

یعنی: d < R

خط و دایره

í زاویه و دایره:

زاویه ی مرکزی:زاویه ای که رأس آن مرکز دایره باشد زاویه ی مرکزی نامیده می شود.

در شکل مقابل زاویه ی AOB یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل آن می باشد.

نکته: اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان مقابلش مساوی است.

زاویه ی مرکزی در دایره:

زاویه ی محاطی: زاویه ی محاطی زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند .

در شکل مقابل زاویه ی یک زاویه ی محاطی است و کمان BC ، کمان مقابل آن می باشد.

نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی نصف کمان مقابل آن است.

زاویه ی محاطی در دایره :

زاویه ی ظلّی : هر زاویه ای که رأسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد ، زاویه ی ظّلی نامیده می شود.

در شکل مقابل یک زاویه ی ظّلی و کمان AB کمان مقابل به زاویه ی ظّلی A می باشد.

نکته : اندازه ی زاویه ی ظّلی نصف کمان مقابل آن است.

زاویه ی ظّلی

í مثلث و دایره :

دایره ی محاطی مثلث :

3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است ؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OK

پس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .

این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است.

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:

شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .

دایره ی محیطی مثلث:

سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC

اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .

مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است.

محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:

شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .

تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم:

لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی :

از طرفی می دانیم مساحت مثلث برابر است با :

حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت:

دایره و چند ضلعی های متنظم :

چند ضلعی متنظم: چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی متنظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی متنظم است.

رسم چند ضلعی متنظم:

برای رسم یک n ضلعی متنظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .

تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:

1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی رسم کنیم .

2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .

3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود .

مثال:

چهار ضلعی متنظم:

پنج ضلعی متنظم:

شش ضلعی متنظم:

بازی و ریاضی :

ساخت چند ضلعی های متنظم با گره زدن کاغذ

پنج ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

برای ساخت یک پنج ضلعی متنظم با این نوار به تر تیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید

مانند شکل زیر:

2. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

3. نوار های اضافی را ببرید ،پنج ضلعی متنظم بوجود می آید.

4. گره را باز کنید و ذوزنقه های تشکیل شده را با هم بررسی و مقایسه کنید.

هفت ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

برای ساخت یک هفت ضلعی متنظم با این نوار به ترتیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید. (مانند پنج ضلعی متنظم)

2. گره را سفت نکنید و وسط گره (ناحیه ی 1) را در نظر داشته باشید.

3. مجددأ یک سر نوار را به قصد زدن گره دوم زیر سر دیگر برده ،و از ناحیه 1 (وسط گره اول) عبور دهید.

4. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

5. نوار های اضافی را ببرید ،هفت ضلعی متنظم بوجود می آید.

1- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد دو وتر دلخواه در داخل دایره بوجود آمده است.

2- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد امتداد دو وتر دلخواه در خارج دایره بوجود آمده است.

3- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید :

5- شعاع دایره ی محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره ی محاطی آن مثلث است.

6- مرکز دایره ی محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است.

7- مساحت مثلثی به اضلاع c , b , a از رابطه ی زیر بدست می آید:

8- سهم در چند ضلعی متنظم پاره خطی است که از مرکز چند ضلعی به ضلع آن عمود می شود.

مانند OA در شش ضلعی متنظم شکل مقابل.

برای بدست آوردن مساحت یک n ضلعی متنظم از رابطه ی زیر استفاده می شود.

9- برای یک n ضلعی متنظم زاویه ی داخلی از رابطه ی و زاویه ی مرکزی از رابطه ی بدست می آید.

10- مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی از رابطه ی مقابل بدست می آید: 180× (n - ۲)

مثال ها

در هر یک از شکل های زیر مقادیر مجهول را بیابید.

در تمامی شکل ها O مرکز دایره است.

تصویر 1:

حل:

تصویر 2:

شکل کمکی:

حل:

تصویر 3:

شکل های کمکی :

حل:

تصویر 4:

حل:

تصویر 5:

شکل های کمکی:

حل:

تصویر 6:

حل:

تصویر 7:

هشت ضلعی متنظم است.

حل:

تصویر8:

شکل های کمکی:

حل:

تصویر9:

حل:

تصویر10:

شکل های کمکی:

حل:

تصویر 11:

شکل های کمکی:

حل:

تصویر 12:

حل:

تصویر 13:

حل:

þ تست1 :

در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان کدام است؟

د) ˚110

ج) ˚120

ب) ˚55

الف) ˚60

þ تست2 :

در شکل مقابل چند درجه است؟

د) ˚140

ج) ˚220

ب) ˚120

الف) ˚70

þ تست3 :

در شکل مقابل y چند درجه است؟

ب) ˚120	الف) ˚145
د) ˚100	ج) ˚108

þ تست4 :

فاصله ی خط d از مرکز دایره ای برابر 5^cm است . اگر قطر دایره دو برابر این فاصله باشد ، وضعیت خط و دایره نسبت به هم کدام است؟

ب)خط و دایره متقاطع اند.	الف)خط دایره را قطع نمی کند.
د)خط ودایره دو نقطه مشترک دارند .	ج:خط بر دایره مماس است.

þ تست5 :

مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 و 8 و 10 مفروض است. دایره ای رسم کرده ایم که از رأ س های مثلث می گذرد. شعاع دایره چقدر است؟

د) 10

ج)2

ب)

الف) 5

þ تست6 :

اندازه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 6^cm چقدر است؟

د)2

ج)2

ب)2

الف)

þ تست7 :

در شکل مقابل 6 ضلعی منتظم است . اگر محیط دایره p۴ باشد، طول هر ضلع 6 ضلعی منتظم برابر است با:

د) 2

ج) 3

ب)

الف) 4

þ تست8 :

در شکل مقابل AB < DE پنج ضلعی متنظم است.

اگر M قرینه ی نقطه ی A نسبت به خط BE باشد، اندازه ی زاویه ی چقدر است؟

د) ˚32

ج) ˚30

ب) ˚35

الف) ˚36

þ تست9 :

ده نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند. حداکثر تعداد وتر هایی که می توان با وصل کردن این نقطه ها به یکدیگر رسم نمود چند تا است اگر هیچ دو وتری متقاطع نباشند ؟

د) 35

ج) 27

ب) 17

الف) 15

þ تست10 :

اگر AB یکی از ضلع های یک پنچ ضلعی منتظم و AD نیز یکی از ضلع های یک نه ضلعی منتظم در دایره C باشند ، اندازه زاویه ی A برابر است با:

د) ˚130

ج) ˚124

ب) ˚135

الف) ˚120

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:33 توسط مصطفي قاسمي |

آموزش ریاضی سوم - بردار ها

.:: بردار ::.

مختصات:

برای مشخص کردن نقاط صفحه می توانیم دو محور عمود بر هم با مبدأ مشترک در صفحه رسم کنیم. این دو محور را دستگاه مختصات می نامیم.

ویژگی های صفحه مختصات:

صفحه مختصات دارای ویژگیهای زیادی است. برای آشنایی شما با ویژگیهای زیبای این صفحه به روش زیر عمل می کنیم:

تصویری برای شما به نمایش در می آید، با دقت به عملیات انجام شده روی تصویر و تجزیه و تحلیل آن، نتیجه گیری خود را بیان کنید. سپس روی قسمت (نتیجه گیری) کلیک کنید، و نتایج خود را با نتیجه نوشته شده مقایسه کنید. از آن جا که شما در نتیجه گیری ها به ما کمک می کنید. لذا، امیدواریم این امر باعث تثبیت یادگیری و گسترش مهارتهای شما باشد.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه اول طول و عرضش مثبت است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه دوم طولش منفی و عرضش مثبت است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه سوم طول و عرضش منفی است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه چهارم طولش مثبت و عرضش منفی است.

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به محور طول نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به محور عرض نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به مبدأ مختصات نقطه است.

راهنمایی برای دانش آموزان: خط d1 نیمساز ناحیه اول و سوم و خط d2 نیمساز ناحیه دوم و چهارم می باشند.

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم نقطه است.

بردار: (Vector)

بردار پاره خطی است جهت دار که دارای ابتدا و انتها باشد؛

مانند بردار که ابتدایش A و انتهایش B می باشد. گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نشان می دهند؛ مانند بردار

هر بردار در صفحه دارای مختصات می باشد. برای مشخص کردن مختصات یک بردار ابتدا آن را به دو بردار یکی در امتداد افق (محور طول) و دیگری در امتداد قائم (محور عرض) تجزیه کرده و با توجه به جهت بردار ها مختصات آنرا می نویسیم.

بردارها دارای ویژگیهای زیادی هستند و در ریاضی و فیزیک کاربرد فراوان دارند. برای اشنایی با برخی از ویژگیهای بردارها تصاویر را نگاه کنید و نتیجه گیری های خود را با نتایج ثبت شده مقایسه کنید.

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور طول ها باشد ، عرض آن صفر است و هر برداری که عرض آن صفر باشد ، موازی محور طول هاست.

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور عرض ها باشد، طول آن صفر است و هر برداری که طول آن صفر باشد، موازی محور عرض هاست.

نتیجه گیری:

í بردارهای رسم شده با بردار برابرند.

í بردارهای موازی ، هم اندازه و هم جهت را بردارهای مساوی گویند.

í مختصات همه بردارها برابر می باشد.

نتیجه گیری:

í بردارهای رسم شده دو به دو با هم قرینه اند.

í راهنمایی: در شکل (1) رابطه بین بردار با سایر بردار ها و در شکل (2) رابطه بین بردار با سایر بردارها را بیابید.

نتیجه گیری:

í در شکل (1) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع دو بردار است.

í در شکل (2) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع بردارهای می باشد.

í هر گاه دو یا چند بردار دنبال هم باشند، برای یافتن حاصل جمع این بردارها کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل کنیم. این روش برای نشان دادن بردار حاصل جمع «روش مثلث» نام دارد.

نتیجه گیری:

í برای بدست آوردن حاصل جمع دو بردار با ابتدای مشترک، می توانیم قطر متوازی الاضلاعی را که دو بردار روی آن رسم می شود ، به دست آوریم : این قاعده روش متوازی الاضلاع نامیده می شود.

نتیجه گیری:

í این شکل ضرب یک عدد در بردار را نشان می دهد.

با توجه به مختصات بردارها می توان نتیجه گرفت که :

نتیجه گیری:

í این تصویر یک عدد منفی در بردار را نشان می دهد.

	با توجه به مختصات دو بردار می توان نوشت:
	به عبارت دیگر:

بردارهای واحد مختصات:

بردارهای و را بردارهای واحد مختصات می نامیم.

معمولا پارچه فروش ها برای اندازه گیری پارچه از یک متر فلزی کوچک استفاده میکنند. این متر فلزی به عنوان واحد اندازه گیری پارچه کار آن ها را ساده تر می کند. در صفحه مختصات بردار i بردار واحد محور طول ها و بردار j بردار واحد محور عرض ها می باشد که هر برداری از صفحه را می توانیم بر حسب این بردار های واحد بدست آوریم.

مثال:

1. اگر باشند، دو بردار مساویند در صورتیکه .

مثال: مقادیر n , m را چنان بیابید که دو بردار برابر باشند.

حل:

2. اگر باشند، دو بردار بر هم عمودند در صورتیکه xx´+yy´ =0

مثال: مقدار m را چنان بیابید که دو بردار در مبدأ مختصات بر هم عمود باشند.

حل:

3. اگر دو نقطه در صفحه باشند، مختصات نقطه c وسط پاره خط AB عبارت است از:

مثال: اگر دو نقطه در صفحه باشند و نقطه وسط پاره خط AB قرار داشته باشد، مقدار a کدام است؟

حل:

4. بردار برداری است که از انتهای به انتهای رسم شود.

5. حاصل جمع هر بردار با قرینه اش برابر صفر است.

مثال: بردارهای قرینه یکدیگر هستند.

مقادیر n , m را بدست آورید.

حل:

6. اگر o محل تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع ABCD باشد، آنگاه:

7. اگر AM میانه نظیر ضلع BC از مثلث ABC باشد، آنگاه:

8. اگر N , M وسطهای اضلاع AC , AB از مثلث ABC باشند، آنگاه:

9. در متوازی الاضلاع ABCD داریم:

10. اگر عدد m ، عددی بین 1- و 1 باشد، آنگاه اندازه بردار از اندازه بردار کوچکتر است.

þ تست1 :

در شکل زیر ، مختصات بردرا کدام گزینه است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست2 :

با توجه به بردارهای مشخص شده در شکل زیر ، مختصات بردار کدام گزینه است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست3 :

در متوازی الاضلاع ABCD کدام گزینه درست است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست4 :

برای چهار نقطه در صفحه داریم: ، آنگاه:

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست5 :

مختصات x در تساوی مقابل کدام است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست6 :

در متوازی الاضلاع مقابل حاصل کدام است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست7 :

اگر دو نقطه در صفحه مختصات باشند و پاره خط AB قطری از دایره به مرکز باشد، مقدار m برابر است با:

د) 8

ج) 7

ب) 6

الف) 5

þ تست8 :

نقطه بر محور طول ها و نقطه بر محور عرض ها واقع اند. مقدار m+n برابر است با :

د)

ج) 1

ب) 1-

الف) صفر

þ تست9 :

قرینه نقطه نسبت به محور طول ها کدام است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست10 :

نقطه B قرینه نقطه A نسبت به محور طول ها و نقطه C قرینه نقطه B نسبت به محور عرض ها می باشد. در این صورت کدام عبارت همواره صحیح است.

ب) نقطه C قرینه نقطه A نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم است.	الف)نقطه C وسط پاره خط AB است.
د) نقطه C در ناحیه سوم صفحه مختصات قرار میگیرد

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۸۸ ساعت 10:30 توسط مصطفي قاسمي |

آموزش ریاضی سوم - اعداد حقیقی

.:: مجموعه ی اعداد حقیقی ::.

عدد حقیقی : (real number)

حقیقی منسوب به حقیقت است و به معنی واقعی، اصلی و مقابل کلمه ی مجازی می باشد .

در ریاضی هر یک از عددهای گویا و عددهای اصم را یک عدد حقیقی می نامند.

مجموع عدد های حقیقی:

مجموع تمام عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه اعداد حقیقی می نامیم و آنرا با حرف نمایش میدهیم.

عدد اصم (گنگ): ir rational number = surd

اصم به معنی کر و ناشنوا است و گنگ به کسی که کلمات را نتواند ادا کند. در ریاضی اگر عدد طبیعی n مجذور کامل نباشد ، آن گاه عددی اصم (گنگ) است.

مانند می دانیم امکان نمایش این اعداد به صورت کسر وجود ندارد ،بنابراین «هر عدد حقیقی که گویا نباشد ، عدد اصم (گنگ) نامیده می شود.»

محور عددهای حقیقی :

برای نشان دادن یکسری عدد حقیقی روی محور از نمودار استوانه ای شکل استفاده می کنیم . قسمت های هاشور خورده و رنگ شده این نمودار اعضای مجموعه را نشان می دهد.

مثال: نمایش هر یک از مجموعه های زیر را روی یک محور مشخص کنید.

حل:

تمامی عدد های حقیقی بین 2- و 3+ عضو این مجموعه هستند.

دایره ی تو پر و علامت نشان می دهند که 2- عضو مجموعه ی A می باشد و

دایره ی توخالی و علامت > نشان می دهند که 3 عضو مجموعه ی A نمی باشد.

نکته: مجموعه ی A را به صورت (3 و 2-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی نیم باز 2- و 3 می گویند.

حل:

تمامی عدد های حقیقی بین 0و 4 عضو این مجموعه هستند.

نکته:مجموعه ی B را به صورت (4 و 0)نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی باز 0 و 4 می گویند.

حل:

نکته:مجموعه ی C را به صورت[ 3 و 1-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی بسته 1- و 3 می گویند.

حل:

نکته:مجموعه ی D را به صورت (1 و ∞-) نیز نشان می دهند که این مجموعه بازه ای را نشان می دهد که از سمت راست محدود و از سمت چپ نامحدود است.

نمایش اعداد اَصَم (گنگ):

فرض کنیم یک عدد اصم (گنگ) است ؛ جای تقریبی این عدد را می توان به کمک محاسبه ی جذر تقریبی روی محور مشخص کرد.

مثال: عدد بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد ؟

حل:مقدار تقریبی جذر 5 از عدد 2 بیشتر و از عدد 3 کمتر است ؛ یعنی : اختلاف عدد ی که بین 2 و 3 باشد با عدد 3 بین دو عدد صحیح متوالی صفر و یک قرار دارد . یعنی :

برای مشخص کردن جای دقیق تری از روی محور به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه مناسبی که طول آن باشد را رسم می کنیم .

ب: دهانه ی پر گار را به اندازه ی وتر این مثلث باز می کنیم و از مبدأ علامتی روی محور در جهت مثبت محور می زنیم.

مثال: در شکل مقابل تعداد ی مثلث قائم الزاویه رسم شده است که در هر کدام یک ضلع زاویه قائمه به طول 1 واحد است. طول پاره خط های OD , OC , OB , OA را حساب کنید.

حل:

نکته:چنانچه مثلث های قائم الزاویه را یکی بعد از دیگری مانند مثال قبل رسم کنیم، شکل زیبای حلزونی بوجود می آید که به کمک آن عددهای , , , و.... را می توان مشخص کرد.

می توانیم روی محور اعداد، نقطه ی متناظر با هر یک از عددهای , , , و ........ را مشخص کنیم. برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع 1^cm و وتر OA را روی محور اعداد در نظر می گیریم . می دانیم اندازه ی OA با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O و شعاع OA دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند . نقطه ی متناظر با عدد بدست می آید.

ب: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع و وتر OB را روی محور اعداد در نظر می گیریم .می دانیم اندازه ی OB با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O و شعاع OB دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند.

ج: به همین ترتیب اعداد , , و....را نیز می توان روی محور اعداد حقیقی نشان داد . کافی است مثلث های قائم الزاویه را به همین ترتیب روی محور ادامه دهیم. شکل زیر چگونگی کار را نشان می دهد.