مقدمه و معرفی

پل ریچارد هالموس (2006-1916 Paul Richard Halmos) ریاضیدان بزرگ مجاری-آمریکایی بود که در مورد نظریه احتمال، آمار، نظریه عملگرها، فضاهای هیلبرت، منطق ریاضی و بسیاری دیگر از مباحث ریاضیات تالیفات متعددی داشته است. او در سوم مارس 1916 چشم به جهان گشود و در دوم اکتبر سال 2006 معادل با دوم مهرماه سال 1385 در لوس گاتوس کالیفرنیا (Los Gatos, California) چشم از جهان فرو بست.

دوران زندگی

هالموس در سوم مارس 1916 در مجارستان چشم به جهان گشود و در سن سیزده‌سالگی هنگام محاجرت مجاری‌ها به آمریکا وارد شد. او در سن 16 سالگی وارد دانشگاه ایلینویز شد و لیسانس خود را در این دانشگاه دریافت کرد و مدرک کارشناسی ارشد خود را در رشته فلسفه و ریاضیات کسب کرد. سپس برای کسب مدرک دکترا (Ph.D) در رشته فلسفه شروع به تحصیل کرد اما بعد از کمی مشکلات به ریاضیات گروید و در سال 1938 در سن 22 سالگی مدرک دکترای (Ph.D) خود را کسب نمود. ژزف دوپ (Joseph Doop) استاد راهنمای او برای پایان نامه دکترا، در مورد «ثابت‌های حرکت اتفاقی خاص:نظریه ریاضی سیستم‌های شرط بندی»، بود. مدتی بعد از آن، هالموس بدون هیچ شغل و کمک هزینه تحصیلی به موسسه مطالعات پیشرفته وارد شد. بعد از یک مدت شش ماهه، او برای مدت دو سال در موسسه مطالعات پیشرفته به عنوان دستیار جان فون نیومن (John von Neumann) کار می‌کرد.
هنگامی که او در موسسه بود اولین کتاب خود را به نام «فضاهای برداری با بعد متناهی» Finite Dimensional Vactor Spaces نوشت که به سرعت به عنوان یک کتاب ریاضی خوب شهرت یافت. هالموس در دانشگاه ساراکوز (University of Syracuse)، دانشگاه شیکاگو(University of Chicago) در سالهای 1946 تا 1960، دانشگاه میشیگان(University of Michigan)، دانشگاه کالیفورنیا در سانتا باربا (University of California at Santa Barbara) در حدود سال 1977، دانشگاه هاوایی (University of Hawaii) و دانشگاه ایندیانا (Indiana University) تدریس کرده است. از زمان بازنشستگی او از دانشگاه ایندیانا در سال 1985 تا هنگام فوتش، او به دپارتمان ریاضیات دانشگاه سانتا کلارا (Santa Clara University) پیوست.

هالموس سراسر زندگی خود را وقف آموزش ریاضیات و پیشرفت آن کرد و از مکاتبه و بحث با دیگران در این مورد لذت می‌برد. او به عنوان یک فرد موفق در بیان مفاهیم ریاضی شناخته شده است و لوح‌های تقدیر بسیاری را به همین علت دریافت کرده است. او همچنین یک معلم برجسته بود و جوایز زیادی را از انجمن ریاضی آمریکا (MAA) برای امر تدریس ریافت کرده است.
در یکی از مصاحبه‌ها از هالموس سوال شد: « ریاضیات برای شما چیست؟ » و ایشان جواب دادند:
« آن امنیت، اطمینان، حقیقت، زیبایی، زیرکی، نظم، معماری، است. من ریاضیات را به عنوان بخشی از دانش بشر می دانم که چیزی بزرگ و باشکوه است.»
چند سال قبل از او در مورد بهترین جنبه و حس یک ریاضیدان بودن سوال کردند. ایشان گفتند:
« من یک مرد مذهبی نیستم، اما وقتی در مورد ریاضیات فکر می کنید مانند این است که با خداوند در تماس باشید.»

کارها و افتخارات هالموس

در یک سری از مقالات که در کتاب منطق جبری او در سال 1962 به تازگی به چاپ رسید، هالموس جبرهای پلی‌آ‌دیک(Polyadic Algebras) را اختراع کرد، یک نسخه جبری از منطق مقدماتی که با جبرهای استوانه‌ای(cylindric algebras) معروف آلفرد تارسکی(Alfred Tarski) و دانشجویانش متفاوت بود. یک نسخه مقدماتی از جبر پلی‌آدیک، در جبر بولی تکین توضیح داده شده است.
علاوه بر کمک‌های اصلی او در ریاضیات،هالموس یک توضیح دهنده غیرعادی و جذاب برای ریاضیات دانشگاهی است. او درست در سن سیزده سالگی به آمریکا آمد و با این حال لحجه مجاری خود را حفظ کرده بود. او به کرسی استادی کمیته انجمن ریاضیات آمریکا نشست که کتاب راهنمایی با شیوه AMS برای ریاضیات آکادمیک نوشت که در سال 1973 منتشر شد. در سال 1983، او جایزه استیل AMS را برای توضیح و قدرت بیان خود کسب کرد.
در مقاله‌ای در دانشمند آمریکایی(American Scientist 56(4 375-389)، هالموس در این باره بحث کرد که ریاضیات یک هنر خلاق است و بهتر است ریاضیدانان به عنوان هنرمند شمرده شوند، نه خرد کننده‌های اعداد!
او همچنین پیشنهاد تقسیم ریاضیات به دو رشته ریاضی شناسی و علوم ریاضی فیزیک را مطرح ساخت و بعلاوه در مورد اینکه ریاضیدانان و نقاش‌ها تا چه حد به طور شبیه به هم کار و فکر می‌کنند صحبت کرد.
هالموس در سال 1985 در کتاب من می‌خواهم یک ریاضیدان باشم که شرحی از خودش است، روشن ساخته است که چه چیزی علت علاقه او برای اینکه یک ریاضیدان آکادمیک قرن بیستم آمریکا باشد بوده است. او این کتاب را یک شرح زندگی نمی‌داند بلکه او را یک شرح کار ریاضی خود یا automathography می‌خواند چرا که او در این کتاب به زندگی خود به عنوان یک ریاضیدان می‌پردازد. در این سرگذشت، هالموس ادعا می‌کند که اولین کسی است که از نماد Q.E.D(نمادی که در انتهای برهان‌ قضیایا به شکل یک مربع سیاه توپر می‌آورند و به آن در انگلیسی آخر برهان end of proof یا سنگ قبر(tombstone) هم می‌گویند(Unicode U+220E).) استفاده کرده است و به همین دلیل به آن گاهی هالموس نیز می‌گویند.

کتاب‌های تألیف شده توسط هالموس

پروفسور هالموس یک مولف، ویراستار،معلم و سخنران مشهور بود. تقریبا تمامی کتابهای او امروزه نیز چاپ می‌شود. کتابهای فضا‌های برداری با بعد متناهی، نظریه طبیعی مجموعه‌ها، نظریه اندازه‌گیری، مسایلی ریاضیدانان پیر و جوان و می خواهم یک ریاضیدان باشم کتاب‌های کلاسیکی هستند که قدرت ایشان را در نویسندگی نشان می‌دهند. به عقیده نگارنده این مقاله که تا حدودی با تعدادی از کتابهای ایشان آشنا هستم یکی از نقاط قوت ایشان در نویسندگی قدرت بیان فوق‌العاده ایشان است به گونه‌ای که سخت‌ترین مفاهیم را با رعایت سادگی در کلام بیان می‌کنند.

او همچنین ذکاوت خاصی در مورد انتخاب عناوین جذاب برای مقالات خود داشت. "رایاضیات کاربردی، ریاضیات بد است"، "هیجان تجرید"، "ریاضیات آمریکا از سال 1940 تا دو روز قبل" چند مورد از عنوان مقالات ایشان است.
هالموس تالیفات بسیاری در زمینه‌های مختلف دارد که برخی از آنها عبارتند از:
فضاهای برداری با بعد متناهی.
تظریه اندازه گیری
آشنایی با فضاهای هیلبرت
نظریه طبیعی مجموعه‌ها
منطق جبری
مقاله‌ای در مورد جبرهای بولی
کتاب مسائل فضاهای هیلبرت
می‌خواهم یک ریاضیدان باشم
من حافظه تصویری دارم
کتاب مسایل جبر خطی                                                                                                                                                        رابطه ی فیثاغورس                                                                                                                                        

 

دوران زرّين دانش يوناني ، از حدود 600  سال پيش از ميلاد ( يعني نزديك به 2600 سال پيش ) آغاز مي شود و اگر كارهاي دانشمندان مكتب اسكندريه ( در عصر امروز ) را هم به حسابِ يوناني ها بگذاريم ( كه تا حد زيادي هم بايد چنين كنيم ) اين دوران درخشش دانش و فلسفه و هنر ، اندكي كمتر از هزار سال طول كشيد 0

در اينجا به اين مطلب نمي پردازيم كه دانش و هنر از كجاها و چگونه به يونان رسيد كه خود روايتي دراز دارد بلكه تنها به اشاره هايي در مورد خود جامعه يوناني و به ويژه ، ديدگاه هاي رياضي آنها ( و در اينجا بخصوص در باره عدد ) بسنده مي كنيم 0

سرمين يونان در آن زمان به روش برده داري شخصي اداره مي شد 0 جامعه به دو گروه بزرگ تقسيم شده بود : << آزادها >> و << برده ها >> 0

همه كارهاي عملي برعهده ي برده ها بود وبراي آزادها ، كار كردن و به كارهاي عملي پرداختن ، <<زشت >> و << ننگ >> بود 0

وقتي از آزادي و دموكراسي يونان باستان صحبت مي كنند ، منظور آزادي هدايت شده اي بود كه تنها براي آزادها بود ودر واقع برده ها هيچ گونه حقي و يا حرمتي نداشتند 0

در زمينه دانش هم ( كه البته براي آزادها بود ) به جنبه هايي از دانش ، كه در عمل مي توانست مورد استفاده قرار گيرد  ، به نظر تحقير مي نگريستند 0 به همين دليل ، هندسه را – كه گمان مي كردند به كار عملي نمي خورد – بسيار پيش بردند ، در حالي كه در حساب گام اوليه را هم بر نداشتند ( هنوز عدد ها را بكمك الفبا مي نوشتند و لذا انجام عملهاي جمع وضربو تقسيم  با دشواريهاي فراوان روبرو بودند ) 0

همه ي دانشمندان يوناني در ضمن ، فلسفه اي هم براي خود داشتند ، يعني به نحوي پيدايش جهان و قانونهاي هستي را تفسير مي كردند 0

به عنوان نمونه ، تالس ( كه از نخستين رياضيدانان بزرگ يونان بود ) سرچشمه ي همه چيز را  << آب>>    مي دانست و فيثاغورس ( كه اوهم از نخستين رياضيدانان مشهور يونان است) ، معتقد بود كه << عدد بر جهان حاكم است >> 0

در اينجا مي خواهيم به واقعه اي از تاريخ رياضيات اشاره كنيم كه هم در پيشرفت بعدي رياضيات و هم در       سر نوشت فلسفه فيثاغورس اثري جدي داشته است 0

فيثاغورس پيش از 2500 سال پيش زندگي مي كرد و ماهنوز در ، كتابها ودرسهاي هندسه ÷ قضيه اي را ياد مي گيريم كه نام << فيثاغورس >> را بر خود دارد 0

اين قضيه مي گويد :

اگر طول ضلعهاي مثلث راست گوشه ( قائم الزاويه ) را در نظر بگيريم ، هميشه مجذور طول وتر با مجموع مجذورهاي طولهاي دو ضلع مجاور به زاويه قائمه برابر است 0

به عبارت ديگر در مثلث راست گوشه  ABC كه در آن زاويه به راس A برابر 90 درجه است ، داريم :

                                                                                                                     

اين قضيه ، چنان اثري بر تاريخ رياضيات داشته است كه<< توبياس دانتزيگ >> دانشمند آمريكايي ، كه كتابهاي زيادي در باره ي تاريخ و فلسفه ي رياضيات دارد ، معتقد است كه :

<< هيچ كدام از قضيه هاي هندسي ، مانند رابطه ي ساده اي كه با نام قضيه فيثاغورس شناخته شده چنين اثري بر همه ي شاخه هاي رياضيات نداشته است 0 در واقع ، از اين لحاظ مي توان سنجش بزرگي از سرگذشت رياضيات رسمي و همچنين رياضيات نو ، را در باره ي اين قضيه نوشت >>

صد ها سال پيش از فيثاغورس ، در مصر ، بابل ، عيلام و در بسياري جاهاي ديگر ، حالتهاي خاص اين قضيه را   مي شناختند و از آن در عمل براي رسم خط راست عمود بر هم ( بطور مثال در روي زمين ) استفاده مي كردند 0

اگريك تكه طناب به طول 12 واحد در نظر بگيريم ودر دو نقطه آن ، گره هايي بزنيم به نحوي كه طناب را به بخشهاي 3 و 4 و 5 متري تقسيم كرده باشد ، هر وقت با اين طناب يك مثلث بسازيم مثلثي راست گوشه بدست مي آيد ، يعني دو ضلع آن برهم عمود مي شوند 0

مثلث با ضلعهاي 3 و 4 و 5 وگاهي مثلث با ضلعهاي 5 و 12 و13 را ، مثلث مصري  يا بابلي مي خوانند ، ولي به ظاهر فيثاغورس يا يكي از شاگردان او اين قضيه را براي نخستين بار بصورت كلي خود مطرح كرده است ، ولي بعيد بنظر مي رسد كه استدلالي براي آن داشته اند 0

رياضيدانان ديگري از جمله تالس بودند كه << قضيه فيثاغورس >> را ثابت كردند و سپس اقليدس در كتاب معروف خود به نا << مقدمات >> آن را در دو جا و با دو روش اثبات كرده است كه به احتمال زياد هيچ كدام از آنها متعلق به خود اقليدس نيست 0

بعد ها بوسيله رياضيدانان دوره هاي بعد دهها روش استدلالي براي آن پيدا شد كه در اينجا اثبات روش           << فضل نيريزي  >> ، رياضيدان مسلمان پايان سدهي سوم هجري قمري را مي آوريم 0

اين روش بر اين اساس است كه مساحت مربعي كه روي وتر ساخته شده برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربعي كه ضلعهاي مجاور به زاويه ي قائمه ساخته شود 0

اگر به شكل دقت كنيد خيلي زود متوجه مي شويد كه مساحت مربع  ABCD برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربع AFKE  و GCHK 0

هواداران فيثاغورس ، عدد را به معناي عدد طبيعي  ويا نسبت دو عدد طبيعي مي شناختند و وقتي مي گفتند ، هر پديده ي مادي يا غير مادي را مي توان به ياري عدد بيان كرد ، منظورشان عدد هايي مثل 2 و 5و 34 و يا ويا   و غيره بود 0

 اكنون مربعي را در نظر بگيريد كه ضلع آن طولي برابر يك سانتيمتر داشته باشد 0 قطر اين مربع برحسب سانتيمتر چه عددي مي شود ؟

امروز با استفاده از فيثلغورس مي گوييم :   سانتيمتر 0

 يعني چه ؟  يعني عددي كه اگر آنرا در خودش ضرب كنيم برابر 2 بشود 0 هواداران فيثاغورس در جست و جوي دو عدد بودند كه نسبت آنها برابر  باشد 0

 

  از  بزرگتر و   از  كوچكتر است . اين را به سادگي مي توان فهميد 0

هواداران فيثاغورس متوجه شدند ، چنين عددي وجود ندارد ، يعني نمي توان دو عدد طبيعي پيدا كرد كه نسبت آنها درست برابر طول قطر مربع باشد 0

اجتماع فيثاغوري ، كه با قانونهاي سخت اداره مي شد و كسي جرات چون و چرا نداشت به لرزه افتاد ، نخستين كسي كه از جمع آنها بيرون رفت ، فيلسوف و رياضيداني به نام << هيپازوس >> بود 0 ولي بيشتر پيروان اين تفكر ، چون سالها با اين باور ها خو گرفته بودند و به آن دل بسته بودند در آنجا ماندند . آنها با هم قرار گذاشتند كه هيچ كس حق ندارد اين راز را به بيرون ببرد و بايد در باره ي آن << گنگ  >>  باشند 0 و از همين جا نام << گنگ>> روي عدد هايي مثل  باقي ماند 0

برخي هم معتقدند كه هواداران فيثاغورس پديده هاي جهان را به دو دسته تقسيم كرده اند : آنها كه با عدد قابل بيان هستند ، كه به آنها نام << گويا >> را دادند و آنها كه با عدد قابل بيان نيستند و آنها را  <<گنگ >>خواندند 0

ولي نه اين پنهان كاري و نه تقسيم بنديِ گويا و گنگ ، فلسفه ي فيثاغورس را نجات نداد و بتدريج از بين رفت 0

مي گويند نخستين كسي كه راز قطر مربع را فاش كرده بود ( به احتمالي ، همان هيپازوس ) ، بوسيله پيروان فيثاغورسي در دريا غرق شد ، ولي چنين شايعه كردند كه ، چون   به عدد اهانت كرده بود ، گرفتار خشم خدايان شد 0

 

    

جذر :

جذر به معني ريشه ، پايه است و علامت آن «     » راديکال مي باشد .

در ريا ضيات « ريشه گرفتن »عکس عمل « به توان رساندن» مي باشد.

 

جذر حسابي : هر عدد مثبت دو جذر دارد که يکي مثبت است و ديگري منفي 0 جذر مثبت «جذر حسابي » ناميده مي شود .

 

 

عدد 5 جذر حسابي عدد 25  است و آنرا با نمايش مي دهيم .«» فقط براي نمايش جذر مثبت 25 بکار مي رود بنابراين مي توان نوشت :

نکته : توان دوم يک عدد را مجذور يا مربع آن عدد مي نامند .

محاسبه جذر :

در شکل زير عدد 5 و 6 نمايش داده شده است با توجه به شکل مي توان  گفت :

مربعي به مساحت 31 سانتي متر مربع را در نظر بگيريد مي خواهيم اندازه ي ضلع مربع را بدست آوريم .

حل :

با توجه به اينکه  25 = 5²  و 36 = 6²  مي توان گفت : عدد 31 بين دو مجذور 25 و 36 قرار دارد 

6> اندازه ضلع مربع > 5	بنابراين
6> > 5	به عبارت ديگر

يعني جذر عدد 31 دقيق نمي باشد و مقدار تقريبي است

براي بدست آوردن مقدار تقريبي جذر عدد 31 کافي است قسمت هاي باقي مانده را کنار بگذاريم .

 

 

با صرف نظر کردن از مربع کوچک ايجاد شده مي توان نوشت : 10 = 5 × 2 = طول مستطيل ( رنگ شده )

6 = 25 – 31 =  مساحت مستطيل (رنگ شده) 

 

 

بنابراين اندازه ي ضلع مربع که مساحت آن 31 سانتي متر مربع باشد ، تقريباً برابر است با 6/5 .

به عبارت ديگر براي محاسبه ي جذر تقريبي عدد 31 مي توان به ترتيب زير عمل کرد :  

 

 براي محاسبه ي مقدار تقريبي عدد 31 ، باقيمانده ي جذر را بر دو برابر حاصل جذر تقسيم مي کنيم .

 

 

 

 

 

 

1-  اعداد منفي جذر ندارند تعريف نشده است .

با توجه به اينکه مجذور هر عدد هميشه يک عدد مثبت است مي توان گفت که عدد ي وجود ندارد که مجذور آن 36- باشد .  

تعريف نشده است .

 

 

2-  جمع و تفريق راديکالها :

 براي اينکه دو راديکال يا چند راديکال با هم جمع و تفريق شوند لازم است که عبارت داخل راديکال آن هم برابر باشد .

مثال Å

 

يکي از راديکال ها را مي نويسيم ، سپس ضرايب آن ها را با هم جمع مي کنيم .

بنابراين مي توان گفت :

 

 

3-  ضرب و تقسيم راديکال ها :

براي ضرب و تقسيم دو راديکال شباهت و يکسان بودن عبارتهاي داخل راديکال لازم نمي باشد .

مثال Å                                                                                                       

يک راديکال را مي نو يسيم آنگاه مقدار داخل راديکال را در هم ضرب مي کنيم .

اگر دو راديکال ضريب داشته باشند ، اول ضرايب آن ها را در هم ضرب مي کنيم .

بنابراين مي توان گفت :

 

4- اگر يک عدد مربع کامل باشد و بخواهيم جذر آن عدد را حساب کنيم ، کافي است پايه ها را نوشته و نمادها را نصف کنيم  .

مثال Åجذر عدد 900 را حساب کنيد .

 

 

5- اگر يک عدد دلخواه مربع کامل باشد و بخواهيم جذر آن عدد را حساب کنيم ، کافي است ابتدا عدد مورد نظر را به عامل ها ي اول تجزيه کرده و سپس براي جذر گيري به ترتيب زير عمل کنيم .

پايه ها را نوشته نمادها را نصف مي کنيم .

مثال Å جذر عدد 19600 را بدست آوريد .

حل : ابتدا عدد 19600  را به عوامل اول تجزيه مي کنيم .

 

 

þ تست1 :

 حاصل  کداميک از موارد زير است

الف) 5 +

ب) 5 –

ج)

د)جذر ندارد

þ تست2 :

 حاصل برابر است با

الف) 117

ب) 1053

ج)

د)  

 

þ تست3 :

 حاصل عبارت برابر است با

الف)

ب)2

ج)

د )3    

þ تست4 :

 حاصل جذر زير برابر است با  :

الف)

ب)

ج)

د)

þ تست5 :

حاصل کسر به صورت دقيق برابر است با :

الف) 2³

ب) 3²

ج) 2+ 2³

د) 2- 3²

دانشمندان

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد.

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت.

هرمیت فرانسوی نخستین کسی است که توابع بیضوی را برای حل معادلات درجة پنجم به کار برد و مطالعات بسیار مشکلی دربارة حساب عالی نمود. همچنین هرمیت اصم بودن عدد پی را که در ریاضیات اهمیت بسیار دارد ثابت کرد.

از سال 1870 محصول و نتیجة ریاضیات با عدة پژوهندگان و مکتشفین در هر کشور اروپائی رو به فزونی نهاد و اتازونی که در آغاز قرن نسبت به مطالعات تکنیکی گوشه‌گیر بود به نوبة خود وارد در راه جستجو‌های تئوریکی شد. دو دانشمند نابغه یکی ژرژکانتور و دیگری هانری پوانکاره تحولات این دوره را هدایت و راهنمایی می‌نمودند.

ژرژکانتور ریاضیدان آلمانی که در روسیه تولد یافته بود با نبوغ توأم با جسارت خود در ربع آخر قرن نوزدهم و در فاصلة سالهای 1882 تا 1897 با وضع «فرضیة مجموعه‌ها» اساس هندسه اقلیدسی را که اصول موضوعة آن قریب دو هزار سال علم ریاضی را مهار کرده بود و ریاضیدانان برجسته‌ای نظیر لوباچوسکی، بولیه و ریمان در آن خللهائی پدید آورده بودند چنان در هم کوفت که در حال حاضر رویش اقلیدسی جای خود را به روشی جدید بر اساس فرضیة مذکور داده است و گمان می‌رود که درک مفاهیم ریاضی با اعمال این روش سهلتر و قطعی‌تر از آن است که اقلیدس تصور می‌کرد.
کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:



مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی که دارای صفت ممیزة مشترک باشند. هر یک از آن اشیاء را «عنصر» مجموعه می‌گویند.
مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی مشخص و متمایز ولی ابتکاری و تصوری.

از نقطة نظر تشکیل مجموعه‌ها تعاریف مذکور را می‌توان در یک «اصل کلی» خلاصه کرد و آن تشکیل مجموعه‌ای است که اشیاء و عناصر آن دارای خاصیت مفروضی باشند.

هنری پوانکاره یا «غول فکر ریاضی» آخرین دانشمند جهانی است که به همة علوم واقف بود و در واقع عبارت از ماحصل تمام کوششهائی بود که در قرن نوزدهم دربارة ریاضیات بعمل آمد. وی در تمام رشته‌های ریاضی نظری و عملی نبوغ خود را ظاهر ساخت و به حل بسیاری از مسائل پیچیده و مشکل موفق گردید. پوانکاره صاحب سی جلد کتاب و پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کلاً مختلف می‌باشد. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی «توابع فوشین» را به دنیای دانش تقدیم نمود و برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاً ریاضی‌دان آلمان لازارفوکس کشفیات زیبائی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی بکار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیز روشن ساخت. اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاً‌ آنرا «تحلیل تواضع» می‌نامیدند و امروزه موسوم به «توپولوژی جبری» و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد. همچنین پوانکاره آنالیز را در مبحث نور و الکتریسته بکار برد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را بدست داد.

بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی میتاگ لفلر کارهای او ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد.

پیکارد هنوز بیش از بیست و چهار سال نداشت که با انتشار اثر خود درباره «توابع درست» در بین ریاضیدانان اروپا شهرت بسیار کسب کرد. در این اثر دو قضیة جدید دربارة توابع متغیر موهومی ذکر کرده و نظر بدیعی اختیار نموده بود، که نهضت جدیدی در ریاضیات ایجاد می‌کرد. وی در آنالیز روشی ابداع کرد که بوسیلة آن ممکن است بتدریج به جواب قطعی یک مسأله نزدیکتر گردید.

در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید.

اکنون ریاضیدانان فرانسوی تنها به پرورش سنن کوشی واپرواشتراس اکتفا نمی‌کردند بلکه اکتشافات مهم گائوس دربارة مورد استعمال آنالیز در هندسه یعنی هندسه عناصر بی‌نهایت کوچک را نیز اصلاح می‌کردند. برجسته‌ترین ریاضیدانی که در این راه کوشش بسیار کرد ژوزف برتران است که دورة عظیم «حساب دیفرانسیل» را تألیف کرد و ضمن آن روش جدیدی برای مطالعة منحنیات و سطوح بدست داد.

                                                                                                                                                         

به نام خدا

کلاس سوم ۲ در مسابقه ی طناب کشی در سطح مدرسه اول شد.