ابو ریحان بیرونی,خیام,ابو علی سینا

ا بوریحان محمد بن احمد بیرونی 

ابو ریحان بیرونی

تولد : 12 ذالحجهُ 362 هجری كاث ، خوارزم ( شهر كارا ـ كلپاكسكایا كنونی وا قع در ا زبكستان ) 

وفا ت : 4 رجب 440 هجری غزنه ( غزنه كنونی در ا فغا نستان ) 

ادامه نوشته

نظریه مجموعه ها

دید کلی

نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

موسس نظریه مجموعه‌ها جرج کانتور (1845- 1918) است. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. در واقع توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

مجموعه

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌های آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که می‌خواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند. در این قسمت با مفهوم کلی مجموعه‌ آشنا شده و اطلاعاتی عمومی در مورد آن کسب می‌کنیم.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها (Naive set theory)

مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی شد، همچون پارادکس راسل، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست تسرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها یا Axiomatic set theory انجامید.

نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory)

در این نظریه، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به برسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. اصول مورد بررسی این نظریه عبارتند از:

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع جایگزینی

مفهوم مجموعه

عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.

مفهوم زیرمجموعه

T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه T‌ای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .

مجموعه تهی

مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.

خانواده یا دستگاه

مجموعه‌هایی که عنصرهای آن خود مجموعه‌اند، به خانواده یا دستگاه موسومند. به عنوان مثال ، یک قوم یا ملت ، مجموعه‌ای از اشخاص است و خود عنصری از خانواده اقوام یا ملتهاست. یکی از دستگاههای بسیار مهم ، مجموعه جمیع زیر مجموعه‌های یک مجموعه S است. این دستگاه به مجموعه توانی موسوم است که با (P(S نشان داده می‌شود.

اصول اساسی مشترک دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها

با توجه به اصل موضوعی مجموعه‌ها {به ازای هر yεN و xεN| x = y²} جمیع دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها ، که در نیمه قرن بیستم میلادی توسعه یافتند چهار اصل اساسی مشترک دارند.

اصل توسیع پذیری

اصل توسیع پذیری بر این است که اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسان (یعنی دو مجموعه که با یک توسیع باشند)، همانندند.

اصل ساخت

اصل ساخت بر این است که انواع محدود خاصی از گزاره‌ها مجموعه‌ها را تعریف می‌کنند. یکی از محدودیتهای معمول این است که گزاره تنها شامل نمادهای شیئی ، نمادهای منطقی و نماد ε است.

اصل وجود مجموعه‌های نامتناهی

وجود مجموعه‌های نامتناهی بیانگر همین مطلب است. البته معنای نامتناهی را باید دقیق کنیم. مشکل است که این اصل با استفاده از ارجاع مستقیم علت را انگیزه موضوعی شود، اما بدون آن قسمت اعظم ریاضیات و علوم نظری از قبیل دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کلاسیک ، بی‌معنا خواهد شد. بی‌آن حتی نمی‌توان اساس مجموعه نظری اعداد طبیعی را بدست آورد.

اصل انتخاب

اگر s دستگاهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، آن گاه مجموعه Aای موجود است که بطور دقیق یک عنصر مشترک با هر مجموعه S از S دارد.

اعمال اساسی مجموعه‌ها

• اجتماع: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با هم اعضایی که یا در A یا در B و یا در هر دو آنها باشند و آن را به صورت AUB نشان می‌دهیم.
• اشتراک: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با همه اعضایی که هم در A و هم در B هستند و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
• تفاضل: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. آنگاه A-B یعنی مجموعه هم اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند.
• متمم: اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم A مجموعه تمام اعضایی از S است که در A نباشد و آن را با Ā یا Á نشان می‌دهند.

خواص اعمال مجموعه‌ای

اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع ، اشتراک ، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.

• دارای خاصیت جابجایی‌اند. AUB = BUA و A∩B = B∩A
• شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
• توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
• متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.
• اگر S یک مجموعه باشد انگاه اجتماع S با هر زیرمجموعه‌اش برابر S و اشتراک آنها برابر با آن زیر مجموعه است.
• اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی است و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) می‌باشد.
• قوانین دمورگان (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)
• تفاضل دو مجموعه برابر است با متمم اشتراک انها.
• دو مجموعه را ناسازگار می‌گویند هرگاه اشتراک این دو مجموعه تهی باشد.

اعداد حقیقی

از اعداد می توانیم برای اندازه گیری طول ، یا کمیتهای دیگر فیزیکی استفاده کنیم، ولی یونانیان می دانستند پاره خط هایی هم وجود دارند که طول آنها را نمی توان در تئوری ، دقیقا با اعداد گویا اندازه گرفت. آنها هندسه دانان بزرگی بودند، یکی از قضیه های ساده ولی عمیقشان قضیه فیثاغورث بود. با اعمال این قضیه بر مثلث قائم الزاویه که طول اضلاع کوچکترش هر دو یک باشد نتیجه می گیریم که طول وترش x است و 2=12+12=2x با توجه به اینکه عدد گویایی (اعداد گویا قبل از اعداد حقیقی کشف شده بودند) چون m/n وجود ندارد که 2=2(m/n). خب این جرقه بزرگی بود در دنیای ریاضیات آن زمان.

تعریف

اعداد حقیقی که با نمواد R نمایش داده می شود مجموعه ای تقریبا کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند. در مجموعه R دو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب ، و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم ، باید وجود داشته باشند علاوه بر این رابطه ای ترتیبی هم که به طور مناسبی به جمع و ضرب مکربوط شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز ملحوظ کند، باید وجود داشته باشد. آخرین جزء اصلی ، اصل کمال است. به طور کلی می توان چنین نتیجه گرفت که: هرگاه سه جنبه: 1- حساب 2- ترتیب 3- اصل کمال ، به طور مناسبی بیان شوند می توانند اعداد حقیقی را به طور کاملا توصیف نمایند.
با توجه به مطالب گفته شده اکنون به بررسی سه مورد فوق می پردازیم تا اعداد حقیقی را به نحو شایسته ای توصیف کرده باشیم.

خواص اعداد حقیقی

(1) حساب: مجموعه ای چون R با اعمال دوتایی + و 0 میدان نامیده می شود اگر به ازای هر و b,a:
1) a+b=b+a
2) a+(b+c)=(a+b)+c
3) عضوی چون وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم a+0=a.
4) اگر عضوی چون وجود داشته باشد تا a+(-a)=0.
5) a.b=b.a
6) a(bc)=(ab)c
7) عضوی چون وجود داشته باشد که 0≠1و به ازای هر داشته باشیم: 1a=a.
8) اگر ،0a≠ ، عضوی چون وجود داشته باشد بطوری که 1=1-a.a
9) a(b+c)=ab+ac.
در بندهای فوق عضوهای 0 و 1 را اعضای صفر و یکه R می نامند به واسطه بندهای 1 و 5 داریم:
0+a=a ، (-a)+a=0 ، a1=a ، a-1a=1 و (a+b)c=ac+bc

تفریق رابا

a-b=a+(-b)
و تقسیم رابا: a/b=ab-1 ، به شرطی که 0≠b ، تعریف می کنیم.
(2) ترتیب
میدانی چون R را مرتب می نامیم اگر زیر مجموعه ای چون وجود داشته باشد که:
1)
2)
3)
منظور از R+ در بندهای 1 تا 3 فوق اعداد صحیح مثبت می باشد.
(3) اصل کمال
عضوی چون a را از R یک کران بالای زیرمجموعه ای چون می خوانیم اگر به ازای هر داشته باشیم . هر مجموعه ای چون S را از بالا کراندار می گوئیم هرگاه دارای کران بالا باشد. عضوی چون λ را از R کوچکترین کران بالای S می نامیم اگر:
1) به ازای هر ، (λ یک کران بالا باشد)
2) → ( به ازای هر ) ، (λ بین کرانهای بالا و کوچکترین باشد).
اگر S زیرمجموعه ای ناتهی از R و S از بالا کراندار باشد، آنگاه S در R دارای یک کوچکترین کران بالاست.
ساختن اعداد ، خود اثری است از قرن نوزدهم که در آن زمان اعداد طبیعی بعنوان پایه ریاضیات پذیرفته شد، ولی درک کاملی از اعداد حقیقی وجود نداشت. در آن قرن اثبات این مطلب که در ریاضیات اعداد حقیقی اشیا معتبری هستند اهمیت داشت، و بنابراین ساختن R از N (اعداد طبیعی) موثر واقع شد. ولی امروزه که انجام پذیر بودن این کار به اثبات رسیده مسائل روانی و فلسفی مربوط جدیت خود را از دست داده اند. اگر به جای N وجود R را اصل قرار دهیم، بی ضرر خواهیم بود. ولی با این کار ، بسیار ساده به نتیجه خواهیم رسید. زیرا همان طور که می دانیم .
از اعداد حقیقی بعنوان یک میدان مرتب کامل یاد می شود. و هر میدان مرتب کامل با R یکریختی ترتیبی دارد.
در پایان باید ذکر کنیم که مجموعه اعداد حقیقی به نوبه خود زیرمجموعه اعداد دیگری تسن با نام اعداد مختلط با نماد . برای آشنایی با اعداد مختلط می توانید به مقاله "اعداد مختلط و ماورای آن" رجوع نمایید.

عدد

یک عدد یک ماهیت مجرد است که برای توصیف کمیت استفاده می شود. انواع مختلفی از اعداد وجود دارد. مشهورترین اعداد، اعداد طبیعی {... ،3 ،2 ،1} هستند که برای شمارش بکار رفته و با N، و اگر عدد صفر را نیز در بر داشته باشد اعداد حسابی {... ،3 ،2 ،1 ،0} و با I مشخص می شوند. اگر تمام اعداد منفی را شامل شود، اعداد صحیح Z بدست می آید. نسبت اعداد صحیح اعداد گویا یا کسر نام دارند؛ دسته کامل تمام اعداد گویا با Q نشان داده می شود. اگر تمام عبارتهایی که اعشار آنها غیر تکراری و نامحدود است را نیز شامل کنیم، اعداد حقیقی R بدست می آیند. اعداد حقیقی که گویا نیستند اعداد گنگ نامیده می شوند. اعداد حقیقی بنوبه خود به اعداد مختلط C تعمیم می یابند تا بتوان معادلات جبری را حل نمود. علامتهای فوق اغلب با حروف "ضخیم تاکید" نوشته می شوند، بنابراین:

:

اعداد مختلط بنوبه خود به quaternion تعمیم می یابند، ولی ضرب quaternion ها خاصیت جابجایی ندارد. Octonion ها از تعمیم quaternion ها بدست می آیند، ولی این بار خاصیت شرکت پذیری را از دست میرود. در حقیقت، تنها شرکت پذیران ابعاد محدود جبر تقسیم اعداد حقیقی، مختلط و quaternion هستند.

اعداد باید از رقوم که علامتهایی برای نمایش اعداد هستند، متمایز شوند. علامت گذاری اعداد بصورت سریهایی از ارقام در سیستمهای رقومی بحث شده است.

مردم دوست دارند تا اعداد را بجای اسامی یکتا به اشیاء بدهند. طرحهای رقومی متنوعی برای اینکار وجود دارند.

تعمیم

اعداد فوق حقیقی و فرا حقیقی پیشرفتهای جدید می باشند که اعداد حقیقی را با اضافه کردن اعداد بزرگ نامحدود و بینهایت کوچک توسعه می دهند. در حالیکه (بیشترین) اعداد حقیقی بسط های طولانی نامحدود در سمت راست نقطه اعشار دارند، میتوان اجازه داد تا برای بسط های طولانی نامحدود در سمت چپ نیز تلاش نمود، که به اعداد p-adic منجر گردید. برای بحث درباره مجموعه های نامحدود، اعداد طبیعی به اعداد اوردینالی و به اعداد کاردینالی تعمیم داده شده اند. اولی ترتیب مجموعه و دیگری اندازه آنرا بیان می کنند. (برای حالت محدود، اعدا اوردینالی و کاردینالی یکسان هستند: آنها در حالت نامحدود باهم اختلاف پیدا می کنند.)

عملکردهای حساب در مورد اعداد، مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، در شاخه ریاضیات تعمیم یافته و بنام جبر مجرد مشهور است؛ برای کسب اطلاعات بیشتر به گروهها، حلقهها و میادین رجوع کنید.

امروز مي خواهم درباره بزرگترين فيلسوف - انديشمند - رياضيدان - محقق - منجم و روشنفکر ايران زمين با شما صحبت کنم . بله کسي نيست جز حکيم عمر خيام .متاسفانه شخصيت خيام براي

ادامه نوشته

معادلی سیاله

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای‌ چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته ‌باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادلهٔ x + y = 2 را می‌توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می‌توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می‌کند که در اینجا تنها جواب معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.

در اینجا حل معادله‌های دیوفانتی در مجموعهٔ اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه‌های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود.

                             y0 = y + ak و x0 = x − xk

معادلی سیاله

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتی در ریاضیات معادله‌ای‌ چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن بیش از یک متغیر (مجهول) داشته ‌باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادلهٔ x + y = 2 را می‌توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می‌آید. این جوابها را می‌توان با زوج (x,2 − x) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج (x,2 − x) باید به جای x اعداد صحیح قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می‌کند که در اینجا تنها جواب معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی (1و1) است.

در اینجا حل معادله‌های دیوفانتی در مجموعهٔ اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ax + by = c که در آن a و b و c اعداد صحیح و a و b نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه‌های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود.

                             y0 = y + ak و x0 = x − xk

حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

x + 1 − 1 = 2 − 1

x = 1

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است

تاریخچی معادلات

معادلات همراه با اعداد، از اولین دستاوردهای ریاضی بشرند. آنها در قدیمی ترین اسناد ریاضی، مکتوب، فی المثل، در متون میخی بابلیهای باستان، که به هزاره قبل از میلاد بر می گردند، و پاپیروسهای مصری باستان، که به امپراطوری میانه در حدود 1800 ق.م. بازگشت دارند، آمده اند.
بنا به ساختار جامعه بابلی مسائل مربوط به تقسیم ارث از اهمیت بسیاری برخوردار بودند. اولین پسر همواره بیشترین سهم را دریافت می کرد، دومی بیشتر از سومی، و به همین ترتیب.

در حالی که مسائل مطرح در بابل ،مجهول نسبتاً واضح توصیف شده است، در پاپیروس های مصری با علامت "h" نمایش داده شده است، که توده یا گردایه را نشان می دهد. چنین محاسباتی نسبتاً زیاد رخ می دهند و متناظر با معادلات خطی ما هستند. مقایسه ای بین متنی مصری از پاپیروس مسکو و نماد نویسی جدید این نکته را روشن می سازند.
پیش از این که زبان نمادین جبری مطرح شود، معادلات را بالاجبار با کلمات می نوشتند حتی فرانسواویت که معمولاً به ویتا موسوم است که شایستگی های بسیاری در زمینه جبر دارد از کلمه لاتین برای برابر بودن استفاده می کرد
علامت برابری = که امروزه متداول است توسط روبرت رکورد پزشک دربار سلطنتی مطرح شد، اما زمان قابل ملاحظه ای طول کشید تا این علامت مقبولیت عام یافت.

the whetstone of witte

وی این طرح را در کتاب درسی جبری که به صورت گفتگو نوشته شده بود و عنوانش "the whetstone of witte" بود مطرح و انگیزه انتخاب ان را با گفتن مطالب زیر بیان کرد «در این مورد همان گونه که قالباً در عمل انجام می دهم یک جفت خط توامان می گذارند این چنین = = =, زیرا هیچ دو شیی نمی توانند برابر محض باشند.
با نوشته شدن کتاب جبر و مقابله توسط خوارزمی در سده های سوم و چهارم هجری ،جبر وارد ریاضیات شد، و به حل معادله ها پرداخته شد.خود واژه جبر به معنای جبران کردن و مقابله به معنای روبه رو قرار دادن دو سوی برابری است.

 

کار با مجموعه معینی از اعداد، موسوم به حوزه اصلی و مجموعه مشخصی از متغیرها که عناصری از حوزه اصلی با زیر مجموعه ای، موسوم به حوزه تغییرپذیری را می توان به جای آنها قرارداد، آغاز می شود.
در مشخص کردن حوزه اصلی و حوزه تغییر پذیری،N به جای مجموعه اعداد طبیعی، Z به جای مجموعه اعداد صحیح،Q به جای مجموعه اعداد گویا،R به جای مجموعه اعداد حقیقی و C به جای اعداد مختلط قرار می گیرد.

                                                                                              
مقدمه و معرفی

پل ریچارد هالموس (2006-1916 Paul Richard Halmos) ریاضیدان بزرگ مجاری-آمریکایی بود که در مورد نظریه احتمال، آمار، نظریه عملگرها، فضاهای هیلبرت، منطق ریاضی و بسیاری دیگر از مباحث ریاضیات تالیفات متعددی داشته است. او در سوم مارس 1916 چشم به جهان گشود و در دوم اکتبر سال 2006 معادل با دوم مهرماه سال 1385 در لوس گاتوس کالیفرنیا (Los Gatos, California) چشم از جهان فرو بست.

دوران زندگی

هالموس در سوم مارس 1916 در مجارستان چشم به جهان گشود و در سن سیزده‌سالگی هنگام محاجرت مجاری‌ها به آمریکا وارد شد. او در سن 16 سالگی وارد دانشگاه ایلینویز شد و لیسانس خود را در این دانشگاه دریافت کرد و مدرک کارشناسی ارشد خود را در رشته فلسفه و ریاضیات کسب کرد. سپس برای کسب مدرک دکترا (Ph.D) در رشته فلسفه شروع به تحصیل کرد اما بعد از کمی مشکلات به ریاضیات گروید و در سال 1938 در سن 22 سالگی مدرک دکترای (Ph.D) خود را کسب نمود. ژزف دوپ (Joseph Doop) استاد راهنمای او برای پایان نامه دکترا، در مورد «ثابت‌های حرکت اتفاقی خاص:نظریه ریاضی سیستم‌های شرط بندی»، بود. مدتی بعد از آن، هالموس بدون هیچ شغل و کمک هزینه تحصیلی به موسسه مطالعات پیشرفته وارد شد. بعد از یک مدت شش ماهه، او برای مدت دو سال در موسسه مطالعات پیشرفته به عنوان دستیار جان فون نیومن (John von Neumann) کار می‌کرد.
هنگامی که او در موسسه بود اولین کتاب خود را به نام «فضاهای برداری با بعد متناهی» Finite Dimensional Vactor Spaces نوشت که به سرعت به عنوان یک کتاب ریاضی خوب شهرت یافت. هالموس در دانشگاه ساراکوز (University of Syracuse)، دانشگاه شیکاگو(University of Chicago) در سالهای 1946 تا 1960، دانشگاه میشیگان(University of Michigan)، دانشگاه کالیفورنیا در سانتا باربا (University of California at Santa Barbara) در حدود سال 1977، دانشگاه هاوایی (University of Hawaii) و دانشگاه ایندیانا (Indiana University) تدریس کرده است. از زمان بازنشستگی او از دانشگاه ایندیانا در سال 1985 تا هنگام فوتش، او به دپارتمان ریاضیات دانشگاه سانتا کلارا (Santa Clara University) پیوست.

هالموس سراسر زندگی خود را وقف آموزش ریاضیات و پیشرفت آن کرد و از مکاتبه و بحث با دیگران در این مورد لذت می‌برد. او به عنوان یک فرد موفق در بیان مفاهیم ریاضی شناخته شده است و لوح‌های تقدیر بسیاری را به همین علت دریافت کرده است. او همچنین یک معلم برجسته بود و جوایز زیادی را از انجمن ریاضی آمریکا (MAA) برای امر تدریس ریافت کرده است.
در یکی از مصاحبه‌ها از هالموس سوال شد: « ریاضیات برای شما چیست؟ » و ایشان جواب دادند:
« آن امنیت، اطمینان، حقیقت، زیبایی، زیرکی، نظم، معماری، است. من ریاضیات را به عنوان بخشی از دانش بشر می دانم که چیزی بزرگ و باشکوه است.»
چند سال قبل از او در مورد بهترین جنبه و حس یک ریاضیدان بودن سوال کردند. ایشان گفتند:
« من یک مرد مذهبی نیستم، اما وقتی در مورد ریاضیات فکر می کنید مانند این است که با خداوند در تماس باشید.»

کارها و افتخارات هالموس

در یک سری از مقالات که در کتاب منطق جبری او در سال 1962 به تازگی به چاپ رسید، هالموس جبرهای پلی‌آ‌دیک(Polyadic Algebras) را اختراع کرد، یک نسخه جبری از منطق مقدماتی که با جبرهای استوانه‌ای(cylindric algebras) معروف آلفرد تارسکی(Alfred Tarski) و دانشجویانش متفاوت بود. یک نسخه مقدماتی از جبر پلی‌آدیک، در جبر بولی تکین توضیح داده شده است.
علاوه بر کمک‌های اصلی او در ریاضیات،هالموس یک توضیح دهنده غیرعادی و جذاب برای ریاضیات دانشگاهی است. او درست در سن سیزده سالگی به آمریکا آمد و با این حال لحجه مجاری خود را حفظ کرده بود. او به کرسی استادی کمیته انجمن ریاضیات آمریکا نشست که کتاب راهنمایی با شیوه AMS برای ریاضیات آکادمیک نوشت که در سال 1973 منتشر شد. در سال 1983، او جایزه استیل AMS را برای توضیح و قدرت بیان خود کسب کرد.
در مقاله‌ای در دانشمند آمریکایی(American Scientist 56(4 375-389)، هالموس در این باره بحث کرد که ریاضیات یک هنر خلاق است و بهتر است ریاضیدانان به عنوان هنرمند شمرده شوند، نه خرد کننده‌های اعداد!
او همچنین پیشنهاد تقسیم ریاضیات به دو رشته ریاضی شناسی و علوم ریاضی فیزیک را مطرح ساخت و بعلاوه در مورد اینکه ریاضیدانان و نقاش‌ها تا چه حد به طور شبیه به هم کار و فکر می‌کنند صحبت کرد.
هالموس در سال 1985 در کتاب من می‌خواهم یک ریاضیدان باشم که شرحی از خودش است، روشن ساخته است که چه چیزی علت علاقه او برای اینکه یک ریاضیدان آکادمیک قرن بیستم آمریکا باشد بوده است. او این کتاب را یک شرح زندگی نمی‌داند بلکه او را یک شرح کار ریاضی خود یا automathography می‌خواند چرا که او در این کتاب به زندگی خود به عنوان یک ریاضیدان می‌پردازد. در این سرگذشت، هالموس ادعا می‌کند که اولین کسی است که از نماد Q.E.D(نمادی که در انتهای برهان‌ قضیایا به شکل یک مربع سیاه توپر می‌آورند و به آن در انگلیسی آخر برهان end of proof یا سنگ قبر(tombstone) هم می‌گویند(Unicode U+220E).) استفاده کرده است و به همین دلیل به آن گاهی هالموس نیز می‌گویند.

کتاب‌های تألیف شده توسط هالموس

پروفسور هالموس یک مولف، ویراستار،معلم و سخنران مشهور بود. تقریبا تمامی کتابهای او امروزه نیز چاپ می‌شود. کتابهای فضا‌های برداری با بعد متناهی، نظریه طبیعی مجموعه‌ها، نظریه اندازه‌گیری، مسایلی ریاضیدانان پیر و جوان و می خواهم یک ریاضیدان باشم کتاب‌های کلاسیکی هستند که قدرت ایشان را در نویسندگی نشان می‌دهند. به عقیده نگارنده این مقاله که تا حدودی با تعدادی از کتابهای ایشان آشنا هستم یکی از نقاط قوت ایشان در نویسندگی قدرت بیان فوق‌العاده ایشان است به گونه‌ای که سخت‌ترین مفاهیم را با رعایت سادگی در کلام بیان می‌کنند.

او همچنین ذکاوت خاصی در مورد انتخاب عناوین جذاب برای مقالات خود داشت. "رایاضیات کاربردی، ریاضیات بد است"، "هیجان تجرید"، "ریاضیات آمریکا از سال 1940 تا دو روز قبل" چند مورد از عنوان مقالات ایشان است.
هالموس تالیفات بسیاری در زمینه‌های مختلف دارد که برخی از آنها عبارتند از:
فضاهای برداری با بعد متناهی.
تظریه اندازه گیری
آشنایی با فضاهای هیلبرت
نظریه طبیعی مجموعه‌ها
منطق جبری
مقاله‌ای در مورد جبرهای بولی
کتاب مسائل فضاهای هیلبرت
می‌خواهم یک ریاضیدان باشم
من حافظه تصویری دارم
کتاب مسایل جبر خطی                                                                                                                                                        رابطه ی فیثاغورس                                                                                                                                        

 

دوران زرّين دانش يوناني ، از حدود 600  سال پيش از ميلاد ( يعني نزديك به 2600 سال پيش ) آغاز مي شود و اگر كارهاي دانشمندان مكتب اسكندريه ( در عصر امروز ) را هم به حسابِ يوناني ها بگذاريم ( كه تا حد زيادي هم بايد چنين كنيم ) اين دوران درخشش دانش و فلسفه و هنر ، اندكي كمتر از هزار سال طول كشيد 0

در اينجا به اين مطلب نمي پردازيم كه دانش و هنر از كجاها و چگونه به يونان رسيد كه خود روايتي دراز دارد بلكه تنها به اشاره هايي در مورد خود جامعه يوناني و به ويژه ، ديدگاه هاي رياضي آنها ( و در اينجا بخصوص در باره عدد ) بسنده مي كنيم 0

سرمين يونان در آن زمان به روش برده داري شخصي اداره مي شد 0 جامعه به دو گروه بزرگ تقسيم شده بود : << آزادها >> و << برده ها >> 0

همه كارهاي عملي برعهده ي برده ها بود وبراي آزادها ، كار كردن و به كارهاي عملي پرداختن ، <<زشت >> و << ننگ >> بود 0

وقتي از آزادي و دموكراسي يونان باستان صحبت مي كنند ، منظور آزادي هدايت شده اي بود كه تنها براي آزادها بود ودر واقع برده ها هيچ گونه حقي و يا حرمتي نداشتند 0

در زمينه دانش هم ( كه البته براي آزادها بود ) به جنبه هايي از دانش ، كه در عمل مي توانست مورد استفاده قرار گيرد  ، به نظر تحقير مي نگريستند 0 به همين دليل ، هندسه را – كه گمان مي كردند به كار عملي نمي خورد – بسيار پيش بردند ، در حالي كه در حساب گام اوليه را هم بر نداشتند ( هنوز عدد ها را بكمك الفبا مي نوشتند و لذا انجام عملهاي جمع وضربو تقسيم  با دشواريهاي فراوان روبرو بودند ) 0

همه ي دانشمندان يوناني در ضمن ، فلسفه اي هم براي خود داشتند ، يعني به نحوي پيدايش جهان و قانونهاي هستي را تفسير مي كردند 0

به عنوان نمونه ، تالس ( كه از نخستين رياضيدانان بزرگ يونان بود ) سرچشمه ي همه چيز را  << آب>>    مي دانست و فيثاغورس ( كه اوهم از نخستين رياضيدانان مشهور يونان است) ، معتقد بود كه << عدد بر جهان حاكم است >> 0

در اينجا مي خواهيم به واقعه اي از تاريخ رياضيات اشاره كنيم كه هم در پيشرفت بعدي رياضيات و هم در       سر نوشت فلسفه فيثاغورس اثري جدي داشته است 0

فيثاغورس پيش از 2500 سال پيش زندگي مي كرد و ماهنوز در ، كتابها ودرسهاي هندسه ÷ قضيه اي را ياد مي گيريم كه نام << فيثاغورس >> را بر خود دارد 0

اين قضيه مي گويد :

اگر طول ضلعهاي مثلث راست گوشه ( قائم الزاويه ) را در نظر بگيريم ، هميشه مجذور طول وتر با مجموع مجذورهاي طولهاي دو ضلع مجاور به زاويه قائمه برابر است 0

به عبارت ديگر در مثلث راست گوشه  ABC كه در آن زاويه به راس A برابر 90 درجه است ، داريم :

                                                                                                                     

اين قضيه ، چنان اثري بر تاريخ رياضيات داشته است كه<< توبياس دانتزيگ >> دانشمند آمريكايي ، كه كتابهاي زيادي در باره ي تاريخ و فلسفه ي رياضيات دارد ، معتقد است كه :

<< هيچ كدام از قضيه هاي هندسي ، مانند رابطه ي ساده اي كه با نام قضيه فيثاغورس شناخته شده چنين اثري بر همه ي شاخه هاي رياضيات نداشته است 0 در واقع ، از اين لحاظ مي توان سنجش بزرگي از سرگذشت رياضيات رسمي و همچنين رياضيات نو ، را در باره ي اين قضيه نوشت >>

صد ها سال پيش از فيثاغورس ، در مصر ، بابل ، عيلام و در بسياري جاهاي ديگر ، حالتهاي خاص اين قضيه را   مي شناختند و از آن در عمل براي رسم خط راست عمود بر هم ( بطور مثال در روي زمين ) استفاده مي كردند 0

اگريك تكه طناب به طول 12 واحد در نظر بگيريم ودر دو نقطه آن ، گره هايي بزنيم به نحوي كه طناب را به بخشهاي 3 و 4 و 5 متري تقسيم كرده باشد ، هر وقت با اين طناب يك مثلث بسازيم مثلثي راست گوشه بدست مي آيد ، يعني دو ضلع آن برهم عمود مي شوند 0

مثلث با ضلعهاي 3 و 4 و 5 وگاهي مثلث با ضلعهاي 5 و 12 و13 را ، مثلث مصري  يا بابلي مي خوانند ، ولي به ظاهر فيثاغورس يا يكي از شاگردان او اين قضيه را براي نخستين بار بصورت كلي خود مطرح كرده است ، ولي بعيد بنظر مي رسد كه استدلالي براي آن داشته اند 0

رياضيدانان ديگري از جمله تالس بودند كه << قضيه فيثاغورس >> را ثابت كردند و سپس اقليدس در كتاب معروف خود به نا << مقدمات >> آن را در دو جا و با دو روش اثبات كرده است كه به احتمال زياد هيچ كدام از آنها متعلق به خود اقليدس نيست 0

بعد ها بوسيله رياضيدانان دوره هاي بعد دهها روش استدلالي براي آن پيدا شد كه در اينجا اثبات روش           << فضل نيريزي  >> ، رياضيدان مسلمان پايان سدهي سوم هجري قمري را مي آوريم 0

اين روش بر اين اساس است كه مساحت مربعي كه روي وتر ساخته شده برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربعي كه ضلعهاي مجاور به زاويه ي قائمه ساخته شود 0

اگر به شكل دقت كنيد خيلي زود متوجه مي شويد كه مساحت مربع  ABCD برابر است با مجموع مساحتهاي دو مربع AFKE  و GCHK 0

هواداران فيثاغورس ، عدد را به معناي عدد طبيعي  ويا نسبت دو عدد طبيعي مي شناختند و وقتي مي گفتند ، هر پديده ي مادي يا غير مادي را مي توان به ياري عدد بيان كرد ، منظورشان عدد هايي مثل 2 و 5و 34 و يا ويا   و غيره بود 0

 اكنون مربعي را در نظر بگيريد كه ضلع آن طولي برابر يك سانتيمتر داشته باشد 0 قطر اين مربع برحسب سانتيمتر چه عددي مي شود ؟

امروز با استفاده از فيثلغورس مي گوييم :   سانتيمتر 0

 يعني چه ؟  يعني عددي كه اگر آنرا در خودش ضرب كنيم برابر 2 بشود 0 هواداران فيثاغورس در جست و جوي دو عدد بودند كه نسبت آنها برابر  باشد 0

 

  از  بزرگتر و   از  كوچكتر است . اين را به سادگي مي توان فهميد 0

هواداران فيثاغورس متوجه شدند ، چنين عددي وجود ندارد ، يعني نمي توان دو عدد طبيعي پيدا كرد كه نسبت آنها درست برابر طول قطر مربع باشد 0

اجتماع فيثاغوري ، كه با قانونهاي سخت اداره مي شد و كسي جرات چون و چرا نداشت به لرزه افتاد ، نخستين كسي كه از جمع آنها بيرون رفت ، فيلسوف و رياضيداني به نام << هيپازوس >> بود 0 ولي بيشتر پيروان اين تفكر ، چون سالها با اين باور ها خو گرفته بودند و به آن دل بسته بودند در آنجا ماندند . آنها با هم قرار گذاشتند كه هيچ كس حق ندارد اين راز را به بيرون ببرد و بايد در باره ي آن << گنگ  >>  باشند 0 و از همين جا نام << گنگ>> روي عدد هايي مثل  باقي ماند 0

برخي هم معتقدند كه هواداران فيثاغورس پديده هاي جهان را به دو دسته تقسيم كرده اند : آنها كه با عدد قابل بيان هستند ، كه به آنها نام << گويا >> را دادند و آنها كه با عدد قابل بيان نيستند و آنها را  <<گنگ >>خواندند 0

ولي نه اين پنهان كاري و نه تقسيم بنديِ گويا و گنگ ، فلسفه ي فيثاغورس را نجات نداد و بتدريج از بين رفت 0

مي گويند نخستين كسي كه راز قطر مربع را فاش كرده بود ( به احتمالي ، همان هيپازوس ) ، بوسيله پيروان فيثاغورسي در دريا غرق شد ، ولي چنين شايعه كردند كه ، چون   به عدد اهانت كرده بود ، گرفتار خشم خدايان شد 0

 

    

جذر :

جذر به معني ريشه ، پايه است و علامت آن «     » راديکال مي باشد .

در ريا ضيات « ريشه گرفتن »عکس عمل « به توان رساندن» مي باشد.

 

جذر حسابي : هر عدد مثبت دو جذر دارد که يکي مثبت است و ديگري منفي 0 جذر مثبت «جذر حسابي » ناميده مي شود .

 

 

عدد 5 جذر حسابي عدد 25  است و آنرا با نمايش مي دهيم .«» فقط براي نمايش جذر مثبت 25 بکار مي رود بنابراين مي توان نوشت :

نکته : توان دوم يک عدد را مجذور يا مربع آن عدد مي نامند .

محاسبه جذر :

در شکل زير عدد 5 و 6 نمايش داده شده است با توجه به شکل مي توان  گفت :

مربعي به مساحت 31 سانتي متر مربع را در نظر بگيريد مي خواهيم اندازه ي ضلع مربع را بدست آوريم .

حل :

با توجه به اينکه  25 = 5²  و 36 = 6²  مي توان گفت : عدد 31 بين دو مجذور 25 و 36 قرار دارد 

6> اندازه ضلع مربع > 5	بنابراين
6> > 5	به عبارت ديگر

يعني جذر عدد 31 دقيق نمي باشد و مقدار تقريبي است

براي بدست آوردن مقدار تقريبي جذر عدد 31 کافي است قسمت هاي باقي مانده را کنار بگذاريم .

 

 

با صرف نظر کردن از مربع کوچک ايجاد شده مي توان نوشت : 10 = 5 × 2 = طول مستطيل ( رنگ شده )

6 = 25 – 31 =  مساحت مستطيل (رنگ شده) 

 

 

بنابراين اندازه ي ضلع مربع که مساحت آن 31 سانتي متر مربع باشد ، تقريباً برابر است با 6/5 .

به عبارت ديگر براي محاسبه ي جذر تقريبي عدد 31 مي توان به ترتيب زير عمل کرد :  

 

 براي محاسبه ي مقدار تقريبي عدد 31 ، باقيمانده ي جذر را بر دو برابر حاصل جذر تقسيم مي کنيم .

 

 

 

 

 

 

1-  اعداد منفي جذر ندارند تعريف نشده است .

با توجه به اينکه مجذور هر عدد هميشه يک عدد مثبت است مي توان گفت که عدد ي وجود ندارد که مجذور آن 36- باشد .  

تعريف نشده است .

 

 

2-  جمع و تفريق راديکالها :

 براي اينکه دو راديکال يا چند راديکال با هم جمع و تفريق شوند لازم است که عبارت داخل راديکال آن هم برابر باشد .

مثال Å

 

يکي از راديکال ها را مي نويسيم ، سپس ضرايب آن ها را با هم جمع مي کنيم .

بنابراين مي توان گفت :

 

 

3-  ضرب و تقسيم راديکال ها :

براي ضرب و تقسيم دو راديکال شباهت و يکسان بودن عبارتهاي داخل راديکال لازم نمي باشد .

مثال Å                                                                                                       

يک راديکال را مي نو يسيم آنگاه مقدار داخل راديکال را در هم ضرب مي کنيم .

اگر دو راديکال ضريب داشته باشند ، اول ضرايب آن ها را در هم ضرب مي کنيم .

بنابراين مي توان گفت :

 

4- اگر يک عدد مربع کامل باشد و بخواهيم جذر آن عدد را حساب کنيم ، کافي است پايه ها را نوشته و نمادها را نصف کنيم  .

مثال Åجذر عدد 900 را حساب کنيد .

 

 

5- اگر يک عدد دلخواه مربع کامل باشد و بخواهيم جذر آن عدد را حساب کنيم ، کافي است ابتدا عدد مورد نظر را به عامل ها ي اول تجزيه کرده و سپس براي جذر گيري به ترتيب زير عمل کنيم .

پايه ها را نوشته نمادها را نصف مي کنيم .

مثال Å جذر عدد 19600 را بدست آوريد .

حل : ابتدا عدد 19600  را به عوامل اول تجزيه مي کنيم .

 

 

þ تست1 :

 حاصل  کداميک از موارد زير است

الف) 5 +

ب) 5 –

ج)

د)جذر ندارد

þ تست2 :

 حاصل برابر است با

الف) 117

ب) 1053

ج)

د)  

 

þ تست3 :

 حاصل عبارت برابر است با

الف)

ب)2

ج)

د )3    

þ تست4 :

 حاصل جذر زير برابر است با  :

الف)

ب)

ج)

د)

þ تست5 :

حاصل کسر به صورت دقيق برابر است با :

الف) 2³

ب) 3²

ج) 2+ 2³

د) 2- 3²

دانشمندان

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد.

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت.

هرمیت فرانسوی نخستین کسی است که توابع بیضوی را برای حل معادلات درجة پنجم به کار برد و مطالعات بسیار مشکلی دربارة حساب عالی نمود. همچنین هرمیت اصم بودن عدد پی را که در ریاضیات اهمیت بسیار دارد ثابت کرد.

از سال 1870 محصول و نتیجة ریاضیات با عدة پژوهندگان و مکتشفین در هر کشور اروپائی رو به فزونی نهاد و اتازونی که در آغاز قرن نسبت به مطالعات تکنیکی گوشه‌گیر بود به نوبة خود وارد در راه جستجو‌های تئوریکی شد. دو دانشمند نابغه یکی ژرژکانتور و دیگری هانری پوانکاره تحولات این دوره را هدایت و راهنمایی می‌نمودند.

ژرژکانتور ریاضیدان آلمانی که در روسیه تولد یافته بود با نبوغ توأم با جسارت خود در ربع آخر قرن نوزدهم و در فاصلة سالهای 1882 تا 1897 با وضع «فرضیة مجموعه‌ها» اساس هندسه اقلیدسی را که اصول موضوعة آن قریب دو هزار سال علم ریاضی را مهار کرده بود و ریاضیدانان برجسته‌ای نظیر لوباچوسکی، بولیه و ریمان در آن خللهائی پدید آورده بودند چنان در هم کوفت که در حال حاضر رویش اقلیدسی جای خود را به روشی جدید بر اساس فرضیة مذکور داده است و گمان می‌رود که درک مفاهیم ریاضی با اعمال این روش سهلتر و قطعی‌تر از آن است که اقلیدس تصور می‌کرد.
کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:



مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی که دارای صفت ممیزة مشترک باشند. هر یک از آن اشیاء را «عنصر» مجموعه می‌گویند.
مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی مشخص و متمایز ولی ابتکاری و تصوری.

از نقطة نظر تشکیل مجموعه‌ها تعاریف مذکور را می‌توان در یک «اصل کلی» خلاصه کرد و آن تشکیل مجموعه‌ای است که اشیاء و عناصر آن دارای خاصیت مفروضی باشند.

هنری پوانکاره یا «غول فکر ریاضی» آخرین دانشمند جهانی است که به همة علوم واقف بود و در واقع عبارت از ماحصل تمام کوششهائی بود که در قرن نوزدهم دربارة ریاضیات بعمل آمد. وی در تمام رشته‌های ریاضی نظری و عملی نبوغ خود را ظاهر ساخت و به حل بسیاری از مسائل پیچیده و مشکل موفق گردید. پوانکاره صاحب سی جلد کتاب و پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کلاً مختلف می‌باشد. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی «توابع فوشین» را به دنیای دانش تقدیم نمود و برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاً ریاضی‌دان آلمان لازارفوکس کشفیات زیبائی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی بکار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیز روشن ساخت. اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاً‌ آنرا «تحلیل تواضع» می‌نامیدند و امروزه موسوم به «توپولوژی جبری» و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد. همچنین پوانکاره آنالیز را در مبحث نور و الکتریسته بکار برد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را بدست داد.

بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی میتاگ لفلر کارهای او ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد.

پیکارد هنوز بیش از بیست و چهار سال نداشت که با انتشار اثر خود درباره «توابع درست» در بین ریاضیدانان اروپا شهرت بسیار کسب کرد. در این اثر دو قضیة جدید دربارة توابع متغیر موهومی ذکر کرده و نظر بدیعی اختیار نموده بود، که نهضت جدیدی در ریاضیات ایجاد می‌کرد. وی در آنالیز روشی ابداع کرد که بوسیلة آن ممکن است بتدریج به جواب قطعی یک مسأله نزدیکتر گردید.

در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید.

اکنون ریاضیدانان فرانسوی تنها به پرورش سنن کوشی واپرواشتراس اکتفا نمی‌کردند بلکه اکتشافات مهم گائوس دربارة مورد استعمال آنالیز در هندسه یعنی هندسه عناصر بی‌نهایت کوچک را نیز اصلاح می‌کردند. برجسته‌ترین ریاضیدانی که در این راه کوشش بسیار کرد ژوزف برتران است که دورة عظیم «حساب دیفرانسیل» را تألیف کرد و ضمن آن روش جدیدی برای مطالعة منحنیات و سطوح بدست داد.

                                                                                                                                                         

هوش مصنوعی

هوش مصنوعی یا هوش ماشینیرا باید عرصهٔ پهناور تلاقی و ملاقات بسیاری از دانش‌ها، علوم، و فنون قدیم و جدید دانست. ریشه‌ها و ایده‌های اصلی آن را باید در فلسفه، زبان‌شناسی، ریاضیات، روان‌شناسی، نورولوژی، و فیزیولوژی نشان گرفت و شاخه‌ها، فروع، و کاربردهای گوناگون و فراوان آن را در علوم رایانه، علوم مهندسی، علوم زیست‌شناسی و پزشکی، علوم ارتباطات و زمینه‌های بسیار دیگر.

هوش مصنوعی به هوشی که یک ماشین از خود نشان می‌دهد و یا به دانشی در کامپیوتر که سعی در ایجاد آن دارد گفته می‌شود. بیشتر نوشته‌ها و مقاله‌های مربوط به هوش مصنوعی آن را «دانش شناخت و طراحی عامل‌های هوشمند»^[۱] تعریف کرده‌اند. یک عامل هوشمند سیستمی است که با شناخت محیط اطراف خود، شانس موفقیت خود را بالا می‌برد.^[۲] جان مکارتی که واژه هوش مصنوعی را در سال ۱۹۵۶ استفاده نمود، آن را «دانش و مهندسی ساخت ماشین‌های هوشمند» تعریف کرده‌است. تحقیقات و جستجوهایی انجام شده برای رسیدن به ساخت چنین ماشین‌هایی مرتبط با بسیاری از رشته‌های علمی دیگر می‌باشد، مانند علوم رایانه، روان‌شناسی، فلسفه، عصب شناسی، علوم ادراکی، تئوری کنترل، احتمالات، بهینه سازی و منطق.

·          

تاریخچه

پیش از بوجود آمدن علوم الکترونیک، هوش مصنوعی توسط فلاسفه و ریاضی‌دانانی نظیر بول که اقدام به ارائه قوانین و نظریه‌هایی در باب منطق نمودند، مطرح شده بود. با اختراع رایانه‌های الکترونیکی در سال ۱۹۴۳، هوش مصنوعی دانشمندان را به چالشی بزرگ فراخواند. در بادى امر، چنین به‌نظر می‌رسید که این فناوری در نهایت قادر به شبیه‌سازی رفتارهای هوشمندانه خواهد بود.

با وجود مخالفت گروهی از متفکرین با هوش مصنوعی که با دیده تردید به کارآمدی آن می‌نگریستند تنها پس از چهار دهه، شاهد تولد ماشینهای شطرنج باز و دیگر سامانه‌ های هوشمند در صنایع گوناگون هستیم.

نام هوش مصنوعی در سال ۱۹۶۵ میلادی به عنوان یک دانش جدید ابداع گردید. البته فعالیت درزمینه این علم از سال ۱۹۶۰ میلادی شروع شده‌بود.(مرجع۱)

بیشتر کارهای پژوهشی اولیه در هوش مصنوعی بر روی انجام ماشینی بازی‌ها و نیز اثبات قضیه‌هایریاضی با کمک رایانه‌ها بود. در آغاز چنین به نظر می‌آمد که رایانه‌ها قادر خواهند بود چنین اموری را تنها با بهره گرفتن از تعداد بسیار زیادی کشف و جستجو برای مسیرهای حل مسئله و سپس انتخاب بهترین آن‌ها به انجام رسانند.

این اصطلاح (هوش مصنوعی) برای اولین بار توسط جان مکارتی (John Mccorthy) که از آن به‌عنوان پدر «علم و دانش تولید ماشینهای هوشمند» یاد می‌شود استفاده شد.آقای جان مکارتی مخترع یکی از زبانهای برنامه نویسی هوش مصنوعی به نام (lisp)نیز هستند. با این عنوان می‌توان به هویت هوشمند یک ابزار مصنوعی اشاره کرد. (ساختهٔ دست بشر، غیر طبیعی، مصنوعی)

حال آنکه AI به عنوان یک اصطلاح عمومی پذیرفته شده که شامل محاسبات هوشمندانه و ترکیبی (مرکب از مواد مصنوعی) می‌باشد.

از اصطلاح strong and weak AI می‌توان تا حدودی برای معرفی رده‌بندی سیستم‌ها استفاده کرد. AI‌ها در رشته‌های مشترکی چون علم کامپیوتر، روانشناسی و فلسفه مورد مطالعه قرار می‌گیرند، که مطابق آن باعث ایجاد یک رفتار هوشمندانه، یادگیری و سازش می‌شود و معمولاً نوع پیشرفتهٔ آن در ماشینها و کامپیوترها استفاده می‌شود.

آزمون تورینگ

آزمون تورینگ ^[۳] آزمونی است که توسط آلن تورینگ در سال ۱۹۵۰ در نوشته‌ای به نام «محاسبات ماشینی و هوشمندی» مطرح شد. در اين آزمون شرايطي فراهم مي شود كه شخصي با ماشين تعامل برقرار كند و پرسش هاي كافي براي بررسي هوشمندي او بپرسد. چنانچه در پايان آزمايش نتواند تعيين كند كه با انسان در تعامل بوده است يا با ماشين، تست تورينگ با موفقيت انجام شده است. تا كنون هيچ ماشيني از اين آزمون با موفقيت بيرون نيامده است. کوشش این آزمون برای تشخیص درستی هوشمندی یک سیستم است که سعی در شبیه سازی انسان دارد.

تعریف و طبیعت هوش مصنوعی

هنوز تعریف دقیقی که مورد قبول همهٔ دانشمندان این علم باشد برای هوش مصنوعی ارائه نشده‌است، و این امر، به هیچ وجه مایهٔ تعجّب نیست. چرا که مقولهٔ مادر و اساسی‌تر از آن، یعنی خود هوش هم هنوز بطور همه‌جانبه و فراگیر تن به تعریف نداده‌است. در واقع، می‌توان نسل‌هایی از دانشمندان را سراغ گرفت که تمام دوران زندگی خود را صرف مطالعه و تلاش در راه یافتن جوابی به این سؤال عمده نموده‌اند که: هوش چیست؟

اما اکثر تعریف‌هایی که در این زمینه ارایه شده‌اند بر پایه یکی از ۴ باور زیر قرار می‌گیرند:

1.       سیستم‌هایی که به طور منطقی فکر می‌کنند

2.       سیستم‌هایی که به طور منطقی عمل می‌کنند

3.       سیستم‌هایی که مانند انسان فکر می‌کنند

4.       سیستم‌هایی که مانند انسان عمل می‌کنند(مرجع۱)

شاید بتوان هوش مصنوعی را این گونه توصیف کرد:«هوش مصنوعی عبارت است از مطالعه این که چگونه کامپیوترها را می‌توان وادار به کارهایی کرد که در حال حاضر انسان‌ها آنها رابهتر انجام می‌دهند»(مرجع۲).

محققین هوش مصنوعی علاقه‌مند به تولید ماشینی هستند که دستورات مورد نیاز را به صورت هوشمندانه انجام دهد. به عنوان مثال قابلیت کنترل، برنامه‌ریزی و زمان‌بندی، توانایی تشخیص جواب به سوال مصرف کننده،دست نویس‌ها، زبان شناسی، سخنرانی و شناسایی چهره را داشته باشد. مطالعه بر روی یک AI دارد به یک رشتهٔ مهندسی تبدیل می‌شود که کانون مشروط است بر حل مشکلات زندگی واقعی، علم معدن کاری، نرم افزارهای کاربردی، استراتژی بازیها مثل بازی شطرنج و بازیهای ویدئویی یکی از بزرگ‌ترین مشکلات (سختی‌ها) با AIها، قوهٔ درک آنها است.

تاحدی دستگاه‌های تولیدشده می‌توانند شگفت‌انگیز باشند، اما کارشناسان هوش مصنوعی ادعا می‌کنند که ماشینهای هوشمند ساخته‌شده دارای درک واقعی و حقیقی نیستند.

--مشاهده رفتاري هوشمندانه و صحيح از يك سيستم را نمي توان دليلي كافي بر هوشمندي آن سيستم تصوركرد بلكه بايستي به ساختار داخلي و مكانيزم انتخاب راه توسط سيستم توجه شود كه آيا مبتني بر آگاهي خود سيستم است يا نه و اين آگاهي زماني ميسر خواهد بود كه سيستم خود قابليت تحليل اطلاعات در يافتي از محيط را داشته باشد و بتواند رابطه هاي معني داري بين علت و معلول ما بين اتفاقات محيطي ايجاد كند و در واقع قادر به ايجاد مدلي هر چند غير دقيق بر پايه مشاهدات خود از محيط باشد سپس سيستم ايده ارزشمندي از نظرگاه خود توليد بكند و بعنوان خواسته و هدفي سعي در پياده سازي آن بكند يعني در پي پيدا كردن و اتصال ابزارهاي مناسبي به آن هدف باشد تا بتواند آلگوريتم عملياتي براي برآورد آن خواسته توليد نمايد.{

فلسفهٔ هوش مصنوعی

بطور کلی ماهیت وجودی هوش به مفهوم جمع آوری اطلاعات، استقرا و تحلیل تجربیات به منظور رسیدن به دانش و یا ارایه تصمیم می‌باشد. در واقع هوش به مفهوم به کارگیری تجربه به منظور حل مسائل دریافت شده تلقی می‌شود. هوش مصنوعی علم و مهندسی ایجاد ماشینهایی با هوش با به کارگیری از کامپیوتر و الگوگیری از درک هوش انسانی و یا حیوانی و نهایتاً دستیابی به مکانیزم هوش مصنوعی در سطح هوش انسانی می‌باشد.

در مقایسه هوش مصنوعی با هوش انسانی می‌توان گفت که انسان قادر به مشاهده و تجزیه و تحلیل مسایل در جهت قضاوت و اخذ تصمیم می‌باشد در حالی که هوش مصنوعی مبتنی بر قوانین و رویه‌هایی از قبل تعبیه شده بر روی کامپیوتر می‌باشد. در نتیجه علی رغم وجود کامپیوترهای بسیار کارا و قوی در عصر حاضر ما هنوز قادر به پیاده کردن هوشی نزدیک به هوش انسان در ایجاد هوشهای مصنوعی نبوده‌ایم.

بطور کلّی، هوش مصنوعی را می‌توان از زوایای متفاوتی مورد بررسی و مطالعه قرار داد. مابین هوش مصنوعی به عنوان یک هدف، هوش مصنوعی به عنوان یک رشته تحصیلی دانشگاهی، و یا هوش مصنوعی به عنوان مجموعهٔ فنون و راه کارهایی که توسط مراکز علمی مختلف و صنایع گوناگون تنظیم و توسعه یافته‌است باید تفاوت قائل بود.

اتاق چینی

اتاق چینی بحثی است که توسط «جان سیرل» در ۱۹۸۰ مطرح شد در این راستا که یک ماشین سمبل گرا هرگز نمی‌تواند دارای ویژگی‌هایی مانند «مغز» و یا «فهمیدن» باشد, صرف نظر از اینکه چقدر از خود هوشمندی نشان دهد.

مدیریت پیچیدگی

ایجاد و ابداع فنون و تکنیک‌های لازم برای مدیریّت پیچیدگی را باید به عنوان هستهٔ بنیادین تلاش‌های علمی و پژوهشی گذشته، حال، و آینده، در تمامی زمینه‌های علوم رایانه، و به ویژه، در هوش مصنوعی معرّفی کرد. شیوه‌ها و تکنیک‌های هوش مصنوعی، در واقع، برای حلّ آن دسته از مسائل به وجود آمده‌است که به طور سهل و آسان توسط برنامه‌نویسی تابعی (Functional programming)، یا شیوه‌های ریاضی قابل حلّ نبوده‌اند.

در بسیاری از موارد، با پوشانیدن و پنهان ساختن جزئیّات فاقد اهمّیّت است که بر پیچیدگی فائق می‌آییم و می‌توانیم بر روی بخش‌هایی از مسئله متمرکز شویم که مهم‌تر است. تلاش اصلی در واقع، ایجاد و دستیابی به لایه‌ها و ترازهای بالاتر از هوشمندی تجرید را نشانه می‌رود، تا آنجا که، سرانجام برنامه‌های کامپوتری درست در همان سطحی کار خواهند کرد که خود انسان‌ها رسیده‌اند.

به یاری پژوهش‌های گسترده دانشمندان علوم مرتبط، هوش مصنوعی تاکنون راه بسیاری پیموده‌است. در این راستا، تحقیقاتی که بر روی توانایی آموختن زبانها انجام گرفت و همچنین درک عمیق از احساسات، دانشمندان را در پیشبرد این دانش کمک زیادی کرده‌است. یکی از اهداف متخصصین، تولید ماشینهایی است که دارای احساسات بوده و دست کم نسبت به وجود خود و احساسات خود آگاه باشند. این ماشین باید توانایی تعمیم تجربیات قدیمی خود در شرایط مشابه جدید را داشته و به این ترتیب اقدام به گسترش دامنه دانش و تجربیاتش کند.

برای نمونه روباتیی هوشمند که بتواند اعضای بدن خود را به حرکت درآورد، این روبات نسبت به این حرکت خود آگاه بوده و با آزمون و خطا، دامنه حرکت خود را گسترش می‌دهد و با هر حرکت موفقیت آمیز یا اشتباه، دامنه تجربیات خود را وسعت بخشیده و سر انجام راه رفته و یا حتی می‌دود و یا به روشی برای جابجا شدن دست می‌یابد، که سازندگانش برای او متصور نبوده‌اند.

هر چند نمونه بالا ممکن است کمی آرمانی به نگر برسد، ولی به هیچ عنوان دور از دسترس نمی‌باشد. دانشمندان, عموماً برای تولید چنین ماشینهایی، از وجود مدلهای زنده‌ای که در طبیعت وجود، به ویژه آدمی نیز سود برده‌اند.

هوش مصنوعی اکنون در خدمت توسعه علوم رایانه نیز می‌باشد. زبانهای برنامه نویسی پیشرفته، که توسعه ابزارهای هوشمند را ممکن ساخته اند, پایگاه‌های داده‌ای پیشرفته، موتورهای جستجو، و بسیاری نرم‌افزارها و ماشینها از نتایج پژوهش‌هایی در راستای هوش مصنوعی بوده‌اند.

تکنیک‌ها وزبان‌های برنامه نویسی هوش مصنوعی

عملکرد اولیه برنامه نویسی هوش مصنوعی ایجاد ساختار کنترلی مورد لزوم برای محاسبه سمبولیک است زبانهای برنامه نویسی LISP,PROLOG علاوه بر اینکه از مهمترین زبانهای مورد استفاده در هوش مصنوعی هستند خصوصیات نحوی ومعنایی انها باعث شده که انها شیوه‌ها وراه حل‌های قوی برای حل مسئله ارایه کنند. تاثیر قابل توجه این زبانها بر روی توسعه AI از جمله توانایی‌های انها بعنوان«ابزارهای فکرکردن»می باشد . در حقیقت همانطور که هوش مصنوعی مراحل رشد خود را طی می‌کند زبانهای LISP,PROLOGبیشتر مطرح می‌شوند این زبانها کار خود را در محدوده توسعه سیستم‌های AIدر صنعت ودانشگاه‌ها دنبال می‌کنند وطبیعتاً اطلاعات در مورد این زبانها بعنوان بخشی از مهارت هر برنامه نویس AIمی‌باشد. PROLOGیک زبان برنامه نویسی منطقی است .یک برنامه منطقی دارای یک سری ویژگیهای قانون ومنطق است . در حقیقت خود این نام از برنامه نویسی PROدر LOGIC می‌آید . در این زبان یک مفسر برنامه را بر اساس یک منطق می‌نویسد .ایده استفاده توصیفی محاسبهٔ اولیه برای بیان خصوصیات حل مسئله یکی از محوریتهای مشارکت PROLOGمی باشد که برای علم کامپیوتر بطورکلی وبطور اخص برای زبان برنامه نویسی هوشمند مورد استفاده قرار می‌گیرند . LISP اصولاً LISP یک زبان کامل است که دارای عملکردها ولیست‌های لازمه برای توصیف عملکردهای جدید, تشخیص تناسب وارزیابی معانی می‌باشد LISP به برنامه نویس قدرت کامل برای اتصال به ساختارهای اطلاعاتی را می‌دهد گر چه LISP یکی از قدیمی ترین ترین زبانهای محاسباتی است که هنوز فعال است ولی دقت کافی در برنامه نویسی وطراحی توسعه باعث شده که این یک زبان برنامه نویسی فعال باقی بماند . در حقیقت این مدل برنامه نویسی طوری موثر بوده‌است که تعدادی از دیگر زبانها براساس عملکرد برنامه نویسی آن بنا شده‌اند :مثل . FP,ML, SCHEME یکی از مهمترین برنامه‌های مرتبط با LISP برنامه SCHEME می‌باشد که یک تفکر دوباره در باره زبان در آن وجود دارد که بوسیله توسعه AI وبرای آموزش واصول علم کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

عامل‌های هوشمند

مقالهٔ اصلی: عامل‌های هوشمند

عامل‌ها (Agents) قادر به شناسایی الگوها، و تصمیم گیری بر اساس قوانین فکر کردن خود می‌باشند. قوانین و چگونگی فکر کردن هر عامل در راستای دستیابی به هدفش، تعریف می‌شود. این سیستم‌ها بر اساس قوانین خاص خود فکر کرده و کار خودرا به درستی انجام می‌دهند. پس عاقلانه رفتار می‌کنند، هر چند الزاما مانند انسان فکر نمی‌کنند.

سیستم‌های خبره

مقالهٔ اصلی: سیستم‌های خبره

سیستم‌های خبره زمینه‌ای پرکاربرد در هوش مصنوعی و مهندسی دانش است که با توجّه به نیاز روز افزون جوامع بر اتخاذ راه حل‌ها و تصمیمات سریع در مواردی که دانش‌های پیچیده و چندگانهٔ انسانی مورد نیاز است، بر اهمیت نقش آنها افزوده هم می‌شود. سیستم‌های خبره به حل مسائلی می‌پردازند که به طور معمول نیازمند تخصّص‌های کاردانان و متخصّصان انسانی‌ست. به منظور توانایی بر حل مسائل در چنین سطحی (ترازی)، دسترسی هرچه بیشتر اینگونه سامانه‌ها به دانش موجود در آن زمینه خاص ضروری می‌گردد.

ادامه نوشته

هندسه موسیقی

هندسه موسيقي

دكتر حسن بلخاري

مطلب زير بريده‌اي از يك نوشتار بلند پيرامون مباني نظري موسيقي در تمدن اسلامي است. اين مطلب به ريشه‌هاي و تاثيرات تفكر يوناني بر فرهنگ موسيقايي اسلامي مي‌پردازد.

در بررسي تاريخ موسيقي در تمدن اسلامي، گام اول اشارتي نه چندان گذرا به فرهنگ و فلسفه يوناني است. اين گام ضروري است زيرا در اين معنا ترديدي وجود ندارد كه تاثيرپذيري فلسفه و كلام اسلامي از انديشه‌هاي فلاسفه يوناني، نقش مهمي در رويكرد به موسيقي در تاريخ تفكر و تمدن اسلامي داشته است. نظرگاههاي خاص «اخوان الصفا» و عرفاي بزرگي چون «مولانا محمد جلال الدين رومي » در مورد موسيقي و سماع، بازتابي از ديدگاه هاي فيثاغورثيان پيرامون موسيقي است.

بررسي تاريخي موسيقي با فيثاغورث آغاز مي‌شود. فيلسوف نام‌آور جزيره «ساموس» كه در سال 532 قبل از ميلاد به دنيا آمد و از بنيانگذاران اولين انجمن فلسفي عرفاني در زندگي انسان غربي است.

«كاپلستون » در «تاريخ فلسفه» معتقد است، محور افكار و اعمال فيثاغورثيان تزكيه و تطهير بود. آنها عوامل وصول بدين تطهير و تزكيه را، تمرين سكوت، موسيقي و مطالعه رياضيات مي‌دانستند. همنشيني موسيقي و رياضيات در ذهنيت فيثاغورثيان، ابواب معرفتي مهمي را بر ذهن و روح بشر گشود و در اين ميان موسيقي كه نسبت بسيار گسترد‌ه‌اي با عدد و هندسه داشت، عاملي براي عروج و صعود روح و ادراك رقص و چرخ افلاك توسط فيثاغورثيان شد.

فيثاغورثيان اولين كساني بودند كه پي بردند مي‌توان فواصل ميان نتهاي چنگ را با عدد بيان كرد. همچنين «فيثاغورث ميان سازواره‌اي موسيقايي و رياضيات رابطه‌اي اساسي يافت. ولي آنچه او كشف كرد بسيار دقيق و روشن بود. هر گاه تك تار كشيده‌اي را به ارتعاش درآوريم يك نت اصلي ايجاد مي‌كند. نتهايي كه با اين نت سازواره‌اي دارند با تقسيم تار به عده كاملا درستي از اجزاي آن به دست مي‌آيند، درست به دو جزء، درست به سه جزء، درست به چهار جزء. الي آخر. اگر نقطه ساكن تار، يا گره، بر يكي از اين نقاط مشخص قرار نگيرد، صداناساز است... فيثاغورث دريافته بود كه نواهايي كه به گوش خوشايند هستند با تقسيمات طول تمام تار بر اعداد درست مطابقت دارند. اين كشف براي فيثاغورثيان نيرويي عرفاني داشت. تطابق ميان طبيعت و عدد آنچنان قوي بود كه اينان متقاعد شده بودند كه نه تنها صداهاي طبيعت، بلكه همه ابعاد مميز آن نيز، بايد اعدادي ساده و بيانگر سازواره‌اي باشند. مثلا فيثاغورث و پيروانش بر اين عقيده بودند كه مدارهاي اجرام فلكي را ( كه به تصور يونانيان روي كر‌ه هاي بلورين به دور زمين گردش مي‌كنند) با ربط دادن آنها به فاصله‌هاي موسيقي مي‌توان حساب كرد.

احساس آنها چنين بود كه همه نظامهاي موجود در طبيعت موسيقايي‌اند: از ديد آنها گردش چرخ، موسيقي افلاك بود.»

فيثاغورثيان زمين را كروي مي‌دانستند و معتقد بودند «نه تنها مركز جهان نيست بلكه زمين و سيارات همراه با خورشيد گرد آتش مركزي يا «كانون جهان» كه با عدد يك، يكي گرفته مي‌شد مي‌گردند.»

تحليل موسيقايي فيثاغورثيان در طول تاريخ مورد ستايش و در عين حال انتقاد برخي واقع شده است. ليكن اهميت كار او در كشف نقش مهم اعداد در موسيقي و حساب بسيار قابل توجه و غير قابل انكار است. برتراندراسل در اين مورد مي‌گويد:

«رابطه‌اي كه وي (فيثاغورث ) ميان موسيقي و حساب پديد آورد هنوز در اصطلاحات رياضي «معدل هارمونيك» و «تصاعد هارمونيك» به جاي مانده است.» همچنين راسل معتقد است نسبت قوي ميان رياضيات و حقيقت، منشأ اعتقادات عرفاني و عقلاني در حيات انسان شده است: «به نظر من بزرگترين منشأ اعتقاد به حقيقت كامل و ابدي و نيز اعتقاد به عالم معقول و نامحسوس همان رياضيات است. نظريات عرفاني درباره نسبت زمان و ابديت نيز به وسيله رياضيات مطلق تقويت مي شود. زيرا كه اشياي رياضي مانند اعداد اگر اصولا واقعيتي داشته باشند، ابدي هستند و در بستر زمان قرار ندارند چنين اشياي ابدي را مي‌توان افكار خدا پنداشت؛ نظر به افلاطون كه مي‌گويد خدا «مهندس»‌است و عقيده سر جيمز جينز كه مي‌گويد خدا به علم حساب معتاد است از اين جا آب مي‌خورد، دين تعقلي در برابر دين اشراقي، از زمان فيثاغورث و خاصه از زمان افلاطون تاكنون متأثر از رياضيات و اسلوب رياضي بوده است، تركيب رياضيات و الهيات كه با فيثاغورث آغاز شد، در يونان و قرون وسطي و عصر جديد تا شخص كانت صفت مشخص فلسفه ديني شد.»

اين پيوستگي و پيوند ميان رياضيات، فلسفه، هنر، الهيات و عرفان بعدها عامل بسيار مهمي در شكل گيري هنر اسلامي شد.

در سطور پيشين ذكر شد كه نظريات فيثاغورثيان مورد انتقاد فلاسفه اسلامي چون فارابي، بوعلي سينا و بعدها «وين چن زوگاليله» - پدر گاليله- قرار گرفت. اما تحقيقات جديد نشان داده است استناد فيثاغورثيان به حساب و هندسه نه مبتني بر الهيات يوناني كه مبتني بر الهيات و اساطير سومريان بوده است.

در اين تحقيقات سعي بر اين است كه بين نقش بسيار مهم فلسفه يوناني در شكل گيري موسيقي علمي و عددي و نيز انتقادهايي كه به انديشه‌ فيثاغورثيان مي‌شود، جمعي صورت گيرد. از يك سو افلاطون، «برجسته‌ترين اسطوره نگارهارمونيك غرب» لقب مي‌گيرد و از سوي ديگر مباني فكري او مستند به كشفيات رياضي- موسيقايي سومريان مي‌شود. بدين ترتيب اين تحقيقات فيثاغورثيان را دور مي‌زند.

از جمله اين محققان جديد، «ارنست جي مك كلين» است. وي ضمن ذكر انتقادات وين چن زوگاليله به نظريات داستان جذاب ارتباط موسيقي و كيهان شناسي» خود برمي‌گزيند. از ديدگاه وي افلاطون به عنوان برجسته‌ترين اسطوره‌نگار هارمونيك، متأثر از رياضيات سومري است. وي مي‌گويد: «بايد بدانيم كه مجبوريم تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور- بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري‌ «كوه»‌تبعيت نماييم و سپس مانند سقراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور – بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري«كوه» تبعيت نماييم و سپس مانند سفراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت دايره‌اي بر روي شن به تصوير درآوريم. اين دايره همان جهان يا كيهان است كه همانند صداهاي گام 12 درجه‌اي تا ابد به صورت دايره‌اي خواهند بود.»

«مك كلين» با ذكر اعداد نمادين سومري كه كاركرد خدايان اين تمدن را نشان مي‌داد نسبت ميان تقسيمات موسيقي با اين اعداد و كاركردها را نشان مي‌دهد. به عنوان مثال نماد عددي Ano به صورت 6060=1 در نظر گرفته مي‌شد و خدايي چون ِِEnlil با نماد عددي 50 مبدع فاصله موسيقايي سوم بزرگ Major third با نسبت چهار پنجم و سوم كوچك Major third با نسبت پنج ششم محسوب مي‌شود. Enki خداي آبهاي شيرين و با نماد عددي 40، فاصله پنجم درست Perefect Fith كه فدرتمند‌ترين فاصله‌ها پس از اكتاو است را سبب مي‌شود. خدايان ديگر نيز چون Sin، ٍShamash، ( يا شمس عربي)، Ishtar، nergal ، Baal و mardok هر كدام اين قلمرو پذيرايي نقشي مي‌شوند، نقشي كه از ارتباط گسترده ميان الهيات ، رياضيات و موسيقي حكايت مي‌كند. «تئون ازميري» متاثر از اين ديدگاه گفته بود: «اعداد سرچشمه‌هاي شكل و وانرژي‌اند در جهان. آنها حتي در نزد خود پويا و فعالند، چونان اغلب مردم در استعداد خود براي تئاتر متقابل.»

در تاثير پذيري فيثاغورثيان از هندسه و حساب سومري و نيز تاثير پذيري افلاطون از اين حساب و هندسه و همچنين قدسي انگاشتن عدد نزد فيثاغورث و فيثاغورثيان شكي وجود ندارد.

افلاطون در رساله تيمايوس Timaeu فرضيات جهان شناسي خود را ارائه كرده است. در اين رساله «جاي سقراط را يك تن فيثاغورثي گرفته است و قسمت عمده نظريات مكتب فيثاغورثي در آن بيان شده است.»

تاثير پذيري افلاطون از حساب و هندسه سومري و فيثاغورثي كه نقش مهمي در نظريات موسيقايي او داشت در اين رساله مشهود است:« تيمايوس مي‌گويد كه عناصر حقيقي جهان مادي خاك و هوا و آتش و آب نيستند بلكه عناصر حقيقي عبارتند از دو نوع مثلث قائمه الزاويه: يكي مثلثي كه نصف مريع است و ديگري مثلثي كه نصف مثلث متساوي الاضلاع است. در آغاز همه چيز درهم ريخته بوده و عناصر گوناگون پيش از آن كه نظم و آرايش يابند و جهان را پديد آورند در جاهاي گوناگون بوده‌اند ولي سپس خدا آنها را با شكل و عدد آرايش داد و آنها را كه خوب و زيبا نبودند تا سر حد امكان خوب و زيبا ساخت، گويا آن مثلثهايي كه در بالا ياد كرديم زيباترين شكلهايند بدين سبب خدا آنها را در ساختن ماده به كار برد. با اين مثلثها چها تا از احجام منتظم پنج گانه را مي‌توان ساخت و هر يك از اتمهاي چهار عنصر اصلي يكي از آن احجام منتظم است. اتم خاك شش سطحي، اتم آتش چهار سطحي، اتم هوا هشت سطحي و اتم آب بيست سطحي است.»

بحث بر سر صحت يا عدم صحت فرضيات افلاطون نيست، راسل در تاريخ فلسفه غرب مي‌گويد: «رساله تيمايوس بيش از همه آثار افلاطون حاوي مطالب احمقانه است» اما در عين حال نمي‌تواند به جدي بودن برخي مطالب او اقرار نكند: « مشكل بتوان تشخيص داد كه در رساله تيمايوس چه چيزهايي را بايد به جد گرفت و چه چيزهايي را بايد بازي خيال انگاشت. به نظر من شرح خلقت و پديد آمدن نظم از بي نظمي را بايد كاملا به جد گرفت. همچنين است تقسيم بندي چهار عنصر و رابطه آنها با احجام منتظم و مثلثهايي كه آنها را تشكيل مي‌دهند.»

همچنين رابرت لولر در كتاب ارزشمند خود تحت عنوان «هندسه مقدس» نسبت ميان هندسه قدسي و موسيقي از ديدگاه افلاطون را چنين روايت مي‌كند: «شايد به خاطر تامل در قوانين وساطت است كه شخص مي‌تواند رابطه بنيادين ميان هندسه و موسيقي را از قراري كه افلاطون در نامه هفتم خود مي گويد- و بيش از هر علم ديگر به آن احترام مي‌گذارد- اجمالا ببيند و شايد به همين دليل است كه مصريات دو هرم بزرگ را در جيزه ساخته‌اند كه يكي از آنها تنها مثلثي است كه اضلاعش يكي در تصاعد هندسي و ديگري در تصاعد 5،4،3 حساب است. در عصر ما «سايمون ويل» از اهميت اين علم به عنوان اصلي فلسفي براي عرفان عيسوي ياد مي‌كند.»

ایران

 

به گفته کیامنش  ، در سال های 93 ، 94 و 95 ، پنج درصد در آمد ناخالص ملی در ایران ، صرف آموزش و پرورش شد ، که مقدار هزینه صرف شده برای آموزش و پرورش به ترتیب 5/1 و9/1 و 2 میلیارد دلار بود. خط مشی های تربیت و تدریس را وزارت آموزش و پرورش تهیه و اجرا می کند و این خط مشی ها ، برای کل آموزش و پرورش قبل از دانشگاهی اجرا می شود.

برای تهیه و تدارک کتاب های درسی ، در جلسات ویژه ای اهداف هر سطح آموزش تعیین می شوند. در سال 95 – 1994،آموزش و پرورش بیش از 171 میلیون شماره از کتاب های درسی مدرسه ای را با بیش از 1000 عنوان چاپ کرده است، ساختار آموزش و پرورش ایران 1-3-3-5 است و آموزش اجباری ، شامل 8 پایه اول است . در دبیرستان، دانش آموزان به سه گروه اصلی نظری، فنی – حرفه ای و کارودانش تقسیم می شوند . گذراندن یک سال پیش دانشگاهی برای ورود به دانشگاه الزامی است.

سازمان های دولتی قادر به تاسیس مدارس خصوصی هستند، ولی باید همان برنامه درسی ملی که در مدارس عمومی اجرا می شود را، اجرا نمایند. برای سال 1995، درصد خیلی کمی از مدارس خصوصی بودند. تقویم مدرسه در ایران برای هر سه سطح ابتدایی ، راهنمایی و دبیرستان، شامل 200 روز است و دانش آموزان ، 6 روز در هفته از شنبه تا پنج شنبه به مدرسه می روند. تعطیلات شامل یک تعطیلات تابستانی سه ماهه و تعطیلات 13 روزه برای سال نو است و در مجموع،چندین تعطیلات ملی در طول سال وجود دارد . در پایه ابتدایی دانش آموزان 24 تا 28 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت می کنند که 18 تا 21 درصد از این زمان صرف ریاضی می شود. در دوره راهنمایی، دانش آموزان 30 تا 33 ساعت در هفته در کلاس درس شرکت می کنند که 12 تا 17 درصد از این زمان صرف ریاضی می شود. متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های مدارس ابتدایی 29 نفر و این تعداد برای دوره های راهنمایی و دبیرستان، 32 نفر است.

 

 تا پایان سال اول دبیرستان، هیچ گروه بندی وجود ندارد. ولی برای شروع سال دوم دبیرستان، دانش آموزان بر حسب توانایی هایشان و آزمون رغبت سنج ، به شاخه ها و رشته های مختلف تقسیم بندی می شوند.

 

معلمان به یکی از دو روش زیر ، گواهی نامه تدریس را دریافت می کنند:

الف ) در مراکز تربیت معلم یک دوره دو ساله که 20 درصد آن صرف آموزش پداگوژی می شود را می گذرانند . این دوره برای تربیت معلمان در سطوح ابتدایی و راهنمایی است.

ب ) گرفتن لیسانس در یک رشته خاص که چهار سال طول می کشد و 18 درصد این دوره صرف آموزش پداگوژی می شود.

ایران در سال 1991 ، به عضویت انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی درآمد و در مجموع ، در مطالعه تیمز و مطالعه آموزش زبا ن دوم که توسط این انجمن برگزار شد ، شرکت کرده است . در مطالعه تیمز در سال 1995 ، ایران در دو جمعیت یک و دو شرکت داشته که جمعیت اول شامل پایه های سوم و چهارم ابتدایی ؛ و جمعیت دوم شامل پایه های دوم و سوم راهنمایی است.

 

برنامه درسی ریاضی، در سطح ملی طراحی می شود که تمام مدارس ، ملزم به اجرای آن هستند. اهداف برنامه درسی به وسیله شورای ریاضی دفتر برنامه ریزی و تالیف کتب درسی تهیه ، و به وسیله شورای عالی آموزش و پرورش تایید می شود . به طور مثال ، اهداف برنامه درسی ریاضی از پایه یک تا هشت به صورت زیر است :

- توسعه راه های تفکر نظام وار که دانش آموزان بتوانند در نتیجه گیری و تجرید از این راه ها استفاده کنند ؛ - توسعه توانایی انجام محاسبا ت ذهنی ساده شامل تخمین عددی و اندازه ؛ - آشنا کردن دانش آموزان با جنبه هایی از ریاضیات که مربوط به سایر موضوعات است ؛ - توسعه توانایی های حل مساله ؛ - توسعه فهم مفاهیم ریاضی در هر مساله و توانایی توضیح دادن آن مفاهیم در هر قالب ریاضی. در حال حاضر ، راهنمای برنامه درسی برای کتاب های درسی و تغییر برنامه درسی وجود ندارد .

 

در ویرایش جدید کتاب هاب درسی دوره ابتدایی، بر اساس نظریه های یادگیری، تغییراتی ایجاد شده است. به طور مثال مطالب مربوط به ضرب و تقسیم کسرها از پایه چهارم و تقسیم اعشاری از پایه پنجم حذف شده اند و در کتاب های جدید برای آوردن مثال ها و تمرین ها از زمینه زندگی واقعی استفاده شده است. برای دوره راهنمایی، کتاب پایه سوم راهنمایی که به تازگی انتشار یافته است ، تغییر کرده است . به طور مثال ، مقدمات هندسه تحلیلی و تبدیلات هندسی دراین کتاب گنجانیده شده است . در سطح دبیرستان با تغییر نظام آموزشی ، کتاب هاب درسی به طور کلی عوض شده و ریاضیات محاسباتی و الگوریتمی در تمام پایه ها گنجانیده شده و روی کاربرد تاکید شده است . کتاب های درسی به وسیله وزارت آموزش و پرورش تهیه و توزیع می شوند و تمام مدارس، باید از آنها استفاده کنند. در مدارس ابتدایی و راهنمایی، معلم دقیقا کتاب درسی را دنبال می کند تا نسبت به برنامه درسی وفادار باشد. بیشتر کتاب های درسی شامل شکل های زیاد و توضیح به کمک تصویر است.

انگلستان

 

به گفته دیویس ، بر اساس گزارش یونسک، انگلستان رتبه خوبی به لحاظ رشد اقتصادی دارا است. مخارج آموزش و پرورش در سال 94 – 1993 شانزده درصد از مخارج دولت بود و 5 درصد درآمد ناخالص ملی در سال 1991 صرف آموزش و پرورش شده است. در انگلستان ، دولت مرکزی مسئول تامین نیازهای آموزشی، برنامه ریزی و تعیین خط مشی ملی است. طبق قانون اصلاح آموزش و پرورش محلی سال 1988، بیش تر مدیران مدارس توسط انجمن محلی تعیین می شوند. آموزش اجباری در انگلستان از 5 سالگی تا 16 سالگی است و سطوح ابتدایی ( 11 – 5 سالگی ) و راهنمایی ( 16 – 11 سالگی ) را در بر می گیرد و تا پایان پایه 11، درس های ریاضی و علوم، اجباری هستند. در انگلستان ، سال تحصیلی به سه بخش تقسیم شده است که شامل یک تعطیلات تابستانی طولانی و یک تعطیلات کوتاه دو تا سه هفته ای در کریسمس و عید پاک است. هفته مدرسه ای از دوشنبه تا جمعه و روز درسی، تقریبا 6 ساعت است. در سال 1995، متوسط تعداد دانش آموزان در دوره ابتدایی در هر کلاس 27 دانش آموز و در دوره دبیرستان ، 22 دانش آموز در هر کلاس بود. در انگلستان ، هیچ خط مشی مشخصی برای گروه بندی وجود ندارد و بیش تر مدارس، گروه بندی ندارند. کلاس های مدارس ابتدایی شامل دانش آموزان با توانایی های متفاوت در ریاضی و علوم است ولی در دبیرستان ، گروه بندی در درس ریاضی رایج است اما در درس علوم ، کمتر اتقاق می افتد.

معلمان برای دریافت گواهی نامه معلمی باید به یکی از دو روش زیر عمل کنند:

الف) دوره چهار ساله لیسانس علوم تربیتی را بگذرانند .

 ب) پس از پایان دبیرستان ، یک سال علوم تربیتی5 بخوانند و سه سال دیگر را در یک رشته تحصیلی صرف کنند.

 

انگلستان و ولز از سال 1959، عضو انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی هستند. انگلستان به تنهایی یا به همراه ولز، در مطالعات قبلی این انجمن از جمله FIMSS، FISS ، SISS  ، SIMS ، شرکت کرده اند. انگلستان در مطالعه تیمز 1995 ، در دو جمعیت 1و2 شرکت داشته است. جمعیت 1 شامل دانش آموزان پایه 4 و 5 ابتدایی و جمعیت 2 شامل دانش آموزان پایه 8 و 9 دبیرستان است. در سال 1988 ، برای اولین بار در انگلستان برنامه درسی ملی مطرح شد که در سطح آموزش اجباری ، به کار گرفته شد. مدارس مستقل ، ملزم به پیروی از این برنامه ملی نیستند، ولی باید یکی از برنامه های تایید شده را انتخاب کرده و اجرا کنند. استفاده از ابزارهای کمک آموزشی هم چون ماشین حساب و کامپیوتر در کلاس های درس ریاضی ، طی ده سال گذشته افزایش یافته است. در حال حاضر، نگرش دانش آموزان نسبت به ریاضی منفی است و همین باعث می شود که مطالعه ریاضی را در سطوح بالاتر دنبال نکنند. در سطوح بالاتر، نسبت دختران به پسران، برای مطالعه ریاضی کم تر است و این نگرانی را ایجاد می کند که باید راهی برای ترغیب بیش تر دختران به خواندن ریاضی پیدا کرد. کتاب های درسی به طور طبیعی توسط شرکت های تجاری تولید می شوند . با این حال ، بسیاری از کتابها قدیمی شده اند ، چون برنامه های درسی تغییر کرده اند، ولی کتابهای درسی هیچ تغییری نکرده اند.

 

در حال حاضر، ناشران در حال دوباره نویسی کتابها هستند تا با برنامه درسی جدید، متناسب باشد. در انگلستان ، تعداد زیادی از کتاب های درسی که در دوره دبیرستان خیلی زیاد استفاده می شود، از سری پروژه ریاضیات مدرسه ای (SMP) است. تا سال 1991، برای دریافت دیپلم متوسطه انجام کارهای پروژه ای اجباری نشده بود، ولی از آن پس، اجباری شد. برای دانش آموزان پایه های پایین تر، کارهای پروژه ای معرفی شدند و دانش آموزان در این پایه ها بر خلاف گذشته، بیش تر به کار گروهی تشویق می شوند. هم چنین کامپیوترها به طور وسیعی در مدارس در دسترس هستند و دانش آموزان با چگونگی استفاده از آنها و کاربرد هایشان، آشنا شده اند. در اواسط دهه هشتاد در انگلستان، یک بحث جدی در زمینه تربیت معلمان و چگونگی به دست آوردن تکنولوژی جدید توسط معلمان مطرح شد. در نظام آموزشی انگلستان، دو نوع ارزش یابی وجود دارد که یکی ارزش یابی های پیوسته است و به وسیله معلم اجرا می شود و دیگری، ارزش یابی خارجی است که در پایان 7، 11 و 16 سالگی و به طور متمرکز، اجرا می شود. لازم به ذکر است که ارزش یابی خارجی فقط به عنوان نمونه اجرا می شود و هدف آن، ارزش یابی نظام آموزشی است و بر ارزش یابی شخصی دانش آموزان، تاکید ندارد.

 

سنگاپور

 

با توجه به گفته های انگ ، تونگ و توه ، می توان گفت که نظام آموزشی سنگاپور در مواردی، شبیه ایران است. به طور مثال مردم سنگاپور به زبان های چینی ، مالزیایی و هندی تکلم می کنند در حالی که زبان رسمی کشور ، واحد است . هم چنین جمعیت جوان دانش آموزان در کشور سنگاپور ، مشابه ایران است ، و نظام آموزشی ، متمرکز است . کل مخارج دولت در حدود2/9 میلیارد دلار است که 22 درصد آن صرف آموزش و پرورش ، تدارک آموزش کودکان در مدرسه و فراهم کردن آموزش به تناسب توانایی های بالقوه هر دانش آموزاست . توسعه برنامه درسی ، انتخاب کتاب های درسی ، آموزش و استاندارد های ارزش یابی ، در وزارت آموزش و پرورش متمرکز شده اند. هر دانش آموز سنگاپوری حداقل 10 سال آموزش عمومی می بیند که شامل 6 سال دوره ابتدایی و 4 سال متوسطه است . در پایه 1 تا 4، روی سواد پایه و مهارت های عددی تاکید می شود و تمام دانش آموزان براساس توانایی هایشان طبقه بندی می شوند . در سنگاپور ، سه نوع طبقه بندی وجود دارد . تمام دانش آموزان در پایان پایه ششم ، به وسیله یک آزمون ملی ارزش یابی می شوند و سپس ، بر اساس توانایی هایشان ، در یکی از دوره های نظری یا فنی ثبت نام می کنند . پس از پایان دبیرستان ، دانش آموزان حتما باید یک دوره دو ساله را برای ورود به کالج کمبریج – سنگاپور بگذرانند . تمام دانش آموزان از پایه 1 تا 10 ، ریاضی را مطالعه می کنند . هر سال  مدرسه ای ، شامل 4 ترم 10 هفته ای است. بین ترم های 1 و 2 و بین ترم های 3 و 4 مدارس یک هفته تعطیل است.

 یک تعطیلات 4 هفته ای در پایان نیم سال و یک تعطیلات طولانی 6 هفته ای در پایان سال وجود دارد . در سنگاپور ، بیش تر مدارس دو نوبتی هستند. روزهای مدرسه ای از دوشنبه تا جمعه است و فعالیت های فوق برنامه ، قبل یا بعد از ساعت مدرسه یا در روز شنبه برگزار می شود . میزان وقتی که برای درس ریاضی در پایه های مختلف صرف می شود ، متغیر است . به طور مثال ، برای پایه های 1 تا 4 ، 20 درصد ؛ در پایه های 5 و 6 ، 20 تا 27 درصد ؛ در پایه های 7 تا 8 ، 13 تا 14 درصد و در پایه های 9 و 10 ، بین 13 تا 25 درصد از زمان برنامه درسی ، صرف ریاضی می شود. متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های دوره ابتدایی 37 نفر ، در کلاس های دبیرستانی 35 نفر و در سطح کالج ، کمتر از 22 نفر است.

 

آموزش حرفه ای معلمان در سنگاپور، به وسیله شورای ملی آموزش و پرورش تهیه و تدوین شده است که شامل دوره های زیر است:

 

الف) دوره چهارساله لیسانس برای تدریس در دوره ابتدایی و راهنمایی ؛

ب) گذراندن یک دوره یک ساله پس از فارغ التحصیل شدن در یک رشته دانشگاهی که با گذراندن این دوره ، دانشجویان می توانند معلم ابتدایی یا راهنمایی شوند ؛

ج) گذراندن دیپلم آموزشی که مدت آن دو سال بوده و می توان با گذراندن این دوره ، معلم ابتدایی شد ؛

د) دوره های ضمن خدمت که برای تمرین عملی تدریس ، از سوی شورای ملی پیشنهاد شده است.

 

اگر چه جمعیت دانش آموزی سنگاپور همانند ایران جوان است ، ولی متوسط سن معلمان ابتدایی و متوسطه آن ، 41 سال است . سنگاپور در سال 1982 به عضویت انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی درآمد . در گذشته سنگاپور در آزمون های دیگر این انجمن از جمله SIMSS شرکت داشته است . در سال 1995 ، سنگاپور در جمعیت 1 و2 تیمز شرکت کرده است. در سال 1990 ، در بخش های ریاضی برنامه درسی ارایه شده ، بازنگری شد . برنامه درسی جدید ، تاکید بیشتری بر مفاهیم ریاضی و توانایی به کار بردن آن ها برای حل مساله ریاضی دارند و به روش های تدریس موثر تاکید شده است . این روش ها عبارتند از :  توسعه مفاهیم ریاضی از طریق انجام فعالیت های معنی دار ؛ استفاده از تفکر ریاضی ، ارتباط های ریاضی وار و حل مساله ریاضی ؛ § استفاده از تکنولوژی کامپیوتر ، در تدریس و یادگیری ریاضیات. وزارت آموزش و پرورش سنگاپور ، فهرستی از کتاب های درسی و مواد کمک آموزشی مناسب را تهیه و در اختیار همه قرارمی دهد . لازم به توضیح است که کتاب های درسی این فهرست ، به طور تجاری تهیه می شوند .

این کتاب ها بدون انعطاف ، برنامه قصد شده را دنبال می کنند . دانش آموزان به خواندن کتاب های درسی تشویق می شوند ، ولی از کتاب ها چیزی نمی آموزند و بیش تر ، از تدریس معلم شان برای مرور درس و انجام تکالیف شان استفاده می کنند. از آن جایی که دانش آموزان در یادگیری ریاضیات دوست دارند که از یک فرآیند ملموس وعینی به سوی تجرید حرکت کنند ، معلمان تشویق می شوند که از این روند ، برای آموزش آنها استفاده کنند . معلمان برای به کار بردن شیوه فعال در یادگیری دانش آموزان و با استفاده از مواد آموزشی ، فیلم های متنوع و کامپیوتر ترغیب می شوند. ارزش یابی ، بخشی از فرآیند یادگیری و تدریس است و هدف آن ، اندازه گیری میزان یادگیری مورد نظر است. ارزش یابی ، آمادگی دانش آموزان را برای یادگیری موضوعات جدید ، مورد بررسی قرار می دهد و به این ترتیب ، برای میزان اثر بخشی تدریس معلم ، بازخورد مناسبی تهیه می کند. 

ژاپن

 

به گفته میاکه و ناگاساکی  ، در سال 1990 ، هفده درصد هزینه عمومی دولت ژاپن صرف آموزش و پرورش شده است که این میزان ، تقریبا 6 درصد تولید ناخالص ملی است. وزارت آموزش و پرورش ژاپن قالب های برنامه درسی استاندارد را تهیه کرده است و مدارس ، برای آموزش اجباری باید یکی از آنها را انتخاب کنند. در ژاپن ، آموزش و پرورش بر طبق الگوی 3-3-6 است. آموزش اجباری شامل شش سال در مدارس ابتدایی و سه سال در مدارس متوسطه است. میزان ریاضی تدریس شده در پایه های مختلف در جدول زیر آمده است.

9

8

7

6

4

3

2

1

پایه

25 25 25 22 22 21 20 19

زمان کلاس ریاضی برحسب ساعت

13% 13%

10%

17% 17% 18% 19% 16%

درصد کلاس ریاضی

در آموزش و پرورش ژاپن ، هم مدرسه خصوصی وجود دارد و هم مدرسه دولتی. بیش تر مخارج مدارس دولتی به عهده دولت مرکزی است. حتی نیمی از مخارج مدارس خصوصی نیز ، به عهده دولت مرکزی است. سال مدرسه ای که از اول آوریل شروع می شود و در 31 مارس تمام می شود ، به سه بخش تقسیم شده است . بیش تر مدارس ابتدایی و متوسطه ، به مدت 35 هفته یا 190 روز باز هستند . روزهای مدرسه ای در هر هفته ، از دوشنبه تا جمعه است . دانش آموزان در هر روز ، 6 ساعت به مدرسه می روند و گاهی 4 ساعت نیز در کلاس های روز شنبه که 2 تا 3 بار در هر ماه برگزار می شود ، حضور می یابند. در سال 1994 ، تعداد متوسط دانش آموز در کلاس های ابتدایی 29 نفر بود و این تعداد ، برای دوره متوسطه 34 نفر بود . در حالی که بیش ترین تعداد دانش آموزان در دبیرستان ، 40 دانش آموز در کلاس درس بود. در ژاپن ، هیچ برنامه مشخصی برای گروه بندی دانش آموزان وجود ندارد و یک برنامه اجباری ریاضی و علوم در کلاس هایی با توانایی های متفاوت دانش آموزان تا پایان پایه نهم ، ارائه می شود. با شروع پایه نهم ، مدارس باید درسهای انتخابی از ریاضی را در برنامه درسی قرار دهند تا دانش آموزان علاقه مند ، درس ها را بگیرند.

کسانی که می خواهند در آینده معلمان ابتدایی و متوسطه شوند ، باید یک لیسانس چهار ساله را به همراه چندین دوره در نظریه های آموزشی و پداگوژی ، به عنوان قسمتی از لیسانس حرفه ای معلمی ، داشته باشند .

 

دوره های دوساله کالج نیز، در آموزش وجود دارند که فارغ التحصیلان این دوره ، می توانند در پایه های 1 تا 9 تدریس کنند. متوسط سن معلمان ژاپن در دوره ابتدایی 40 سال و دردوره اول متوسطه ( پایه های 7 تا 9 ) ، 39 سال و برای دوره دوم متوسطه ( پایه های 10 تا 12 ) ، 42 سال است. ژاپن از سال 1961 ، عضو انجمن ارزشیابی پیشرفت تحصیلی است و قبل از شرکت در مطالعه تیمز ، در مطالعه های تطبیقی دیگر این انجمن از قبیل ، SIMSS,FISS,SISS,FIMSS شرکت کرده است. ژاپن در مطالعه تیمز در سال 1995 ، در دو جمعیت 1 و2 شرکت کرده است. شورای برنامه ریزی در وزارت آموزش و پرورش ژاپن ، هدف های برنامه درسی را هدایت می کند. در دوره ابتدایی ، هدف ها ، کمک به دانش آموزان در مطالعه خردمندانه و منطقی پدیده های زندگی روزانه ، کسب علوم و مهارت های اساسی در ارتباط با اعداد ، کمیت ها و شکل های هندسی ، ایجاد نگرش مثبت نسبت به ریاضی و دست یافتن به رضایت مندی در استفاده از ریاضیات در زندگی روزانه است. در سطح دبیرستان ، این اهداف شامل کمک به دانش آموزان در عمیق تر کردن فهم شان از مفاهیم پایه ای ریاضی ، اصول و قواعد درباره اعداد ، کمیت ها و شکل های هندسی است. دانش آموزان باید بیاموزند که پدیده های ریاضی را نمایش دهند و از شیوه های ریاضی وار دیدن و فکر کردن ، قدردانی نمایند . تغییرات ایجاد شده در برنامه درسی به ترتیب در سالهای 1992 و 93 و 94 برای پایه های 1 تا 6 و 7 تا 9 و 10 تا 12 اجرا شد . اساس این اصلاح ، تاکید بر ریاضیات پایه ، ایجاد قدردانی نسبت به ریاضیات ، راه های ریاضی وار فکر کردن ، و فراهم کردن وضعیتی که دانش آموزان بتوانند به طور فردی تربیت شوند ، است.

 

 در برنامه درسی جدید ، استفاده از کامپیوتر از دوره ابتدایی شروع می شود و در دوره دبیرستان ، در سطح وسیعی به کار گرفته می شود و از پایه پنجم به بعد ، از ماشین حساب در تدریس به طور فزاینده ای استفاده می شود. براساس سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم تیمز ، و مطالعات دیگر ، به نظر می رسد که دانش آموزان ژاپنی از ریاضی بیزار هستند و این طرز تلقی ، در بین دانش آموزان رشد یافته است و باید برای آن ، تدبیری اندیشیده شود. برای استفاده از ماشین حساب و کامپیوتر در برنامه درسی  ، تاکید زیادی شده ولی به نظر می رسد که به طور موثر در کلاس درس از آنها استفاده نمی شود و باید در این زمینه ، معلمان را بیشتر آموزش داد.

 

کتاب های درسی توسط تیم نویسنده آن ها که شامل آموزشگران ریاضی ، ریاضی دان ها و معلمان است ، نوشته شده و توسط انتشاراتی های تجاری چاپ می شود . هیات محلی آموزش و پرورش در مشورت با نماینده های معلمان مشخص می کنند که از کدام کتاب درسی از فهرست تولیدات تایید شده توسط وزارت آموزش و پرورش ، استفاده شود . در تمام سطوح از معلم انتظار می رود تا از کتاب درسی برای تدریس استفاده کند و معلمان ، معمولا از کتاب های درسی برای مرور و استحکام بخشیدن دانش ها و مهارت های پایه ای و خلاصه کردن قواعد استفاده می کنند . کتاب ها از یک رهیافت حل مساله که شامل پنج گام پرس و جو ، تشریح ، مثال ها ، تمرین ها و کاربرد ها است ، استفاده می کنند و بیش تر از موضوعات حقیقی زندگی برای معرفی مفاهیم ریاضی استفاده می نمایند. راهنمای برنامه درسی بر برقراری تعادل بین تدریس تکنیک های محاسباتی و توسعه مفاهیم ، تاکید دارد. ولی معلم ها در تدریسشان بیش تر بر تکنیک ها تاکید دارند. اگر چه ریاضیات به صورت یک علم یکپارچه است ، ولی گرایش معلم ها در تدریس ریاضی به صورت موضوعات مجزااست و این گرایش ، در ریاضیات دبیرستانی بسیار رشد کرده است . استفاده از ماشین حساب از پایه پنجم به بعد توصیه شده است ولی معلمان به ندرت از آن استفاده می کنند ، و نیز، استفاده از کامپیوتر برای تمام پایه ها توصیه شده اما هنوز هم در کلاس های درس ، خیلی کم از آن استفاده می شود. رهیافت های استقرایی برای تدریس مفاهیم ریاضی در پایه های 1 تا 9 مورد استفاده قرار می گیرد .

 

مواد آموزشی و دست ورزی، در دوره ابتدایی استفاده می شوند در حالی که در دوره دبیرستان به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند . استفاده از پروژه های تحقیقی و باز پاسخ ، قویا توصیه شده اند . در حال حاضر همه معلمان موافقند که پروژه ها مهم هستند ، ولی در چگونگی استفاده از این روش مطمئن نیستند . به یادگیری مشارکتی هم، توجه زیادی نشده و هنوز روش های معلم محوری حاکم هستند. در نظام آموزشی ژاپن ، به طور رسمی ، هیچ ارزشیابی خارجی وجود ندارد . ولی برای آزمون ورودی سه سطح وجود دارد . اولی در پایان پایه نهم و ورود به دوره اول دبیرستان و دومی در پایان پایه نهم و ورود به دوره دوم دبیرستان و سومی در پایان پایه 12 ، برای ورود به دانشگاه است . ارزش یابی محلی نیز برای دادن بازخورد به مدارس و کمک به آن ها در انجام وظایفشان ، وجود دارد . ارزش یابی های کلاسی ، به منظور پرورش دانش آموزان و توسعه تدریس انجام می شود . در ارزشیابی های کلاسی ، استفاده از آزمون کتبی هنوز شیوه غالب است.

کانادا

 

به گفته تیلور  ، کشور کانادا دارای یک حکومت مرکزی و چندین حکومت فدرالی استانی است که آموزش و پرورش ، به وسیله استان ها اداره می شود . کانادا جزو هفت کشور صنعتی جهان است و هزینه های آموزش و پرورش کانادا در سال 1992بیش از 7 درصد در آمد ناخالص ملی بود و در سال 93 – 1992 این هزینه ها ، به 30 میلیارد دلار رسید. کانادا کشوری با تنوع بسیار زیاد جغرافیایی ، سازمان دهی سیاسی وساختار فرهنگی است ، که همه این عوامل ، برساختار و ماهیت نظام آموزشی آن ، تاثیر می گذارد. ساختار آموزش وپرورش کانادا عموما ، 6- 3- 3 است. در طول سال ، 180 تا 200 روز درسی وجود دارد و شامل چند تعطیلی ملی و محلی است. دانش آموزان ابتدایی هفته ای 30 ساعت به مدرسه می روند که 23 تا 24 ساعت از آن ، صرف تدریس و بقیه آن صرف بازی روزانه ، نهار و زنگ تفریح می شود . در دبیرستان ، دانش آموزان هفته ای 30 تا 35 ساعت به مدرسه می روند . در کانادا ممکن است کلاس هایی با بیش از 40 دانش آموز وجو د داشته باشند ، ولی میانگین تعداد دانش آموزان در سال 94 – 1993 در ایالت کبک ، برای دوره ابتدایی 27 نفر و برای دوره دبیرستان 30 نفر بود . خواندن ریاضی تا پایه 9 یا 10 ، اجباری است . در بعضی ازاستانها ، این وضعیت تا پایان پایه 11 ادامه دارد . درس های انتخابی در ریاضی ، معمولا در سطح دبیرستان ارایه می شوند .

 

گروه بندی دانش آموزان در کانادا ، یک موضوع قابل بحث است ، چرا که با اهداف مدارس عمومی تناقض دارد . گروه بندی، موافقان و مخالفانی دارد و فلسفه طرفداران گروه بندی ، عمل گرایی است .

 معلمان برای دریافت گواهی نامه معلمی ، به یکی از دو روش زیر اقدام می کنند :

الف) یک دوره چهارساله دانشگاهی در یک رشته ، به اضافه یک دوره یک ساله در تربیت معلم را می گذرانند ،

 ب) بعد از اخذ لیسانس ، یک دوره دو ساله آموزش معلمان را می گذرانند.

 

بیش تر زمان صرف شده برای دوره های تربیت معلم ، بر پداگوژی و برنامه درسی تاکید دارد . آموزش ضمن خدمت به وسیله آموزش و پرورش ، هیات آموزشی مدرسه یا دانشکده های علوم تربیتی ارایه می شود . شرکت در این دوره ها اجباری نیست ، ولی در بسیاری از مواقع و در زمان تغییرات برنامه درسی و اطمینان بخشی به معلمان ، ضروری است .

 

استان های کبک ، انتاریو و بریتیش کلمبیا از سال 1981 ، عضو انجمن ارزش یابی پیشرفت تحصیلی شده اند ، که در دومین مطالعه تیمز ، در تمام سطوح جمعیتی شرکت داشته است . در مجموع ، پنج استان بریتیش کلمبیا ، آلبرتا ، انتاریو، نیوبرانزویک ، و نیوفوندلند ، مستقلا در یک یا بیش تر از جمعیت های تیمز شرکت داشته اند. اغلب دوره های برنامه درسی ریاضی در کانادا ، مشابه هستند و تمرکز جدید کتاب های درسی ریاضی ، بر یادگیری فعال و فرآیند ریاضی قرار گرفته است .

 

یکی از دلایل این تشابه این است که ناشران ، برای صرفه اقتصادی بیش تر ، مواد درسی ای را در کتاب های خود می گنجانند که حداقل ، مورد تایید دو یا چند استان کانادا باشند. اهداف ریاضی در راهنمای برنامه درسی که به وسیله هر ایالت منتشر شده است ، موجود است . این اهداف در اکثر موارد ، شبیه استاندارد برنامه درسی ریاضی مدرسه ای است که توسط شورای ملی معلمان ریاضی آمریکا و کانادا (NCTM) 15 تهیه شده است. رهیافت های تدریس در 10 سال اخیر ، تغییر زیادی کرده اند . این رهیافت ها به سوی یادگیری فعال رفته اند و سعی می کنند تا دانش آموزان را در تکالیف باز پاسخ ، فعالانه شرکت دهند .

استفاده از ابزارهای کمک آموزشی الکترونیکی از قبیل ماشین حساب و کامپیوتر در کلاس درس ریاضی ، طی 10 سال اخیر افزایش یافته است . در سطح مدارس ابتدایی ، استفاده از ماشین حساب به طور محسوسی افزایش یافته است ، به گونه ای که صحت بیش تر جواب های به دست آمده برای مسایل ریاضی ، با استفاده از ماشین حساب بررسی می شوند . ماشین حساب باعث شد تا مسایل ریاضی واقعی تر شوند ، چرا که قبلا سعی می شد تا اعداد به گونه ای سرراست باشند تا محاسبات ، ساده باشند . ولی اکنون با استفاده از ماشین حساب ، می توان با اعداد غیر معمولی و واقعی نیز ، به راحتی کار کرد . استفاده از ماشین حساب های گرافیکی ، انقلابی در تدریس و یادگیری نمودار و کاربردهای آن پدید آورده است . در حال حاضر، تاکید برنامه درسی ریاضی بر حل مساله و کاربردهای ریاضیات در جهان واقعی و روابط بین رشته ای مانند رابطه ریاضی با سایرعلوم است . در راستای این تاکید ها ، کتاب های درسی نیز تغییر کرده اند .

 

بسیاری از مدارس ، از تکنولوژی جدید در برنامه درسی استفاده می کنند تا بتوانند از برنامه های نرم افزاری و پایگاه های داده های بین المللی نیز ، استفاده کنند. برنامه درسی بر تدریس مفاهیم ، بیش از یادگیری طوطی وار تاکید دارد . استفاده از ماشین حساب در تمام سطوح توصیه شده است . به ویژه در جمعیت 3 ، استفاده از کامپیوتر نیز قویا ، توصیه شده است . استفاده از روش یادگیری فعال ، یادگیری مشارکتی و برنامه درسی باز پاسخ در تمامی دوره ها ، مورد انتظار است. معلمان برای ارزشیابی آموخته های دانش آموزان ، از آزمون های کتبی ، پروژه های کلاسی و ارزش یابی فردی استفاده می کنند .

 

از زمانی که رهیافت های تدریس به سمت یادگیری فعال تغییر یافته ، معلمان استفاده از رویه های ارزش یابی غیر سنتی مانند مشاهده را گسترش داده اند. هم چنین ، آن ها از سایر روش های ارزش یابی که شامل ارزش یابی پرونده کاری ، مشاهده دقیق و خود ارزش یابی است ، نیز استفاده می کنند.

 کره جنوبی

 

به گفته کیم  ، در سال 1994 ، هزینه های آموزش و پرورش در کره جنوبی ، بیست و سه درصد از کل هزینه های دولت و در حدود 4 درصد از درآمد ناخالص ملی بود. در کره جنوبی ، وزارت آموزش و پرورش مسئول تهیه خط مشی مربوط به آموزش ، چاپ و تایید کتاب های درسی ، سیاست های اجرایی و فراهم کردن پشتوانه مالی برای دانشگاه های ملی است . هیات مدیره هر ناحیه آموزش و پرورش ، تصمیمات مربوط به آن ناحیه را می گیرد.

 

مسئولیت تمام مدارس ابتدایی و متوسطه ، با ادارات محلی آموزش و پرورش است . از زمان انقلاب کره در سال 1948 ، مدارس کره ملزم هستند تا برنامه درسی ملی را اجرا کند .ساختار  وزارت آموزش و پرورش کره 6 - 3 -3 است که شامل 6 سال ابتدایی و سه سال راهنمایی و سه سال دبیرستان است . بیش تر مدارس در کره دولتی هستند ولی تعدادی مدرسه خصوصی نیز وجود دارد که معمولا توسط یک شخص و با رعایت بعضی اصول تعیین شده توسط دولت ، اداره می شوند . سال مدرسه ای در کره از اول مارس تا آخرین روز فوریه است و شامل بیش از 220 روز است که از این میان ، 204 روز برای آموزش و 16 روز برای فعالیت های فوق برنامه و جشنواره است . سه دوره تعطیلی در طول سال تحصیلی وجود دارد . دانش آموزان در هر هفته ، از دوشنبه تا شنبه به مدرسه می روند. در سطح ابتدایی ، دانش آموزان 24 تا 31 ساعت در هفته و در سطح دبیرستان ، 34 ساعت در هر هفته به مدرسه می روند .

 

در سال 1995 ، متوسط تعداد دانش آموزان در کلاس های درس دوره ابتدایی 37 نفر بود و این تعداد برای دوره راهنمایی و دبیرستان ، به ترتیب 48 و 49 نفر بود. در کره جنوبی ، قانون رسمی برای گروه بندی دانش آموزان وجود ندارد و کلاس ها در بر گیرنده دانش آموزان با توانایی های متنوع هستند . مطالعه ریاضی تا پایان پایه 11 ، اجباری است. معلمان به یکی از دو روش زیر گواهی نامه تدریس را دریافت می کنند: یا دوره چهار ساله لیسانس را در یک کالج می گذرانند و یا یک دوره معلمی را که توسط دانشگاهها ارایه می شود ، سپری می کنند. در سال 1994 ، متوسط سن معلمان برای مدارس ابتدایی ، دوره اول دبیرستان و دوره روم دبیرستان ، به ترتیب 42 و 39 و 40 سال بود. کره از سال 1982 ، عضو انجمن ارزشیابی پیشرفت تحصیلی است و در دومین مطالعه بین المللی علوم و مطالعه محیط زیست ، شرکت داشته است . کره در جمعیت 1 و جمعیت 2 مطالعه تیمز شرکت کرده است . کره در جمعیت 3 شرکت نکرد چرا که دانش آموزان پایه 12 ، کار زیادی برای ورود به کالج انجام می دهند و برنامه سنگینی دارند.

 

اهداف کلی آموزش ریاضی در کره ، به صورت زیر معرفی شده است: - فهمیدن مفاهیم و اصول پایه ای و اشکال هندسی از طریق استفاده از رهیافت های ریاضی در مشاهده و سازمان دهی پدیده های مختلف که در زندگی روزمره اتفاق می افتد ؛ - حل مسایل منطقی متفاوت به وسیله تمرین مهارت های ریاضی پایه و به کار بردن آن ها در زندگی روزمره ؛ - افزایش توانایی ها و قابلیت های مورد نیاز ریاضی کاربردی و مهارت های حل مسایل مختلف. در کره ، خط مشی مشخصی در رابطه با استفاده از وسایل کمک آموزشی مانند کامپیوتر و ماشین حساب در کلاس های درس ، وجود ندارد و استفاده از آن ها ، فقط به علاقه معلم بستگی دارد ولی استفاده از این وسایل در آینده ، اجتناب ناپذیر است. اگرچه رویکرد برنامه درسی ریاضی به سوی روش فعال تغییر کرده ، ولی تغییر شیوه تدریس خیلی کند است . با این که آموزشگران ریاضی استفاده از شیوه های متفاوت تدریس را توصیه می کنند ، ولی معلمان استفاده از روش سخنرانی را پیشنهاد می کنند .

 

چون در کره جنوبی ، تعداد دانش آموزان در کلاس های درس زیاد است ، خواسته والدین هم این است که مدرسه ، فرزندانشان را برای آزمون ورودی دانشگاه ها ، آماده کنند. در این کشور ، در دوره ابتدایی از یک کتاب درسی و یک کتاب تمرین که توسط وزارت آموزش و پرورش تهیه شده ، استفاده می شود . کتاب تمرین بر تمرین های محاسباتی و کاربردی تمرکز یافته است .

 

کتاب های درسی طی ده سال اخیر ، تغییر بسیاری کرده است . این کتابها به وسیله مؤسسات تخصصی که زیر نظر وزارت آموزش و پرورش کار می کنند ، چاپ می شوند . نویسندگان کتابها ، معمولا ترکیبی از معلمان ، متخصصان آموزش و پرورش و متخصصان موضوعی هستند. استفاده از سؤالات باز پاسخ در امتحانات خارجی مثل ارزش یابی ملی و امتحان های ورودی دانشگاه ها ، افزایش یافته است و درکلاس درس ، بر این نوع سؤالات ، تاکید بیشتری می شود . معلمان سعی می کنند بر فعالیت های دست ورزی ملموس و کار گروهی ، تاکید کنند . برای آسان تر کردن یادگیری ، تعدادی تکلیف با هدف مرور آن چه که آموخته شده ، در پایان هر درس ، به دانش آموزان داده می شود . اگر چه ماشین حساب به عنوان قسمتی از زندگی روزانه در کره جنوبی شده است ، ولی دانش آموزان استفاده از آن را در برنامه ریاضی مدرسه ای ندارند . علوم کامپیوتری ، برنامه های کامپیوتری و کاربردهای آن ها در برنامه درسی ریاضی ضروری نیستند و به صورت موضوعات مجزا تدریس می شوند. در کره ، آموزش کلاسی طی ده سال گذشته بوده است .

ارزش یابی ملی برای دانش آموزان کره ای یکی برای ورود به دانشگاه است. دانش آموزان برای شرکت در امتحان ورودی دبیرستان باید در ناحیه آموزشی خود شرکت کنند . البته ، دانش آموزان یک آزمون پیشرفت تحصیلی هم در سطح ملی می دهند که در مدارس ابتدایی ، راهنمایی و دبیرستان اجرا می شود و هدف آن ، ارزش یابی ، کنترل فرآیند یادگیری دانش آموزان و کارآمدی نظام آموزشی در سطح ملی است . ارزش یابی های محلی و کلاسی نیز با روش های متفاوتی انجام می شوند.

 

 

منابع

 ________________________________________________________________________________________

 [1] Robitaile , David F . (1997) National Context for Mathematics and Science Education , AN {1}  ENCYCLOPEDIA OF THE EDUCATION SYSTEMS PARTICIPATING IN TIMSS , Published by Pacific Educational press , Faculty of Education , University of British Clombia.

 {2} سلسبیلی ، نادر ( 79 – 1378 ) ، همایش علمی – پژوهشی آموزش ریاضی و علوم با تاکید بر یافته های سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم ( تیمز) ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 57 . سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی ، وزارت آموزش و پرورش.

 {3} عصاره ، علیرضا . ( 80 – 1379 ) . عوامل مؤثر بر پیشرفت تحصیلی دانش آموزان پایه های دوم و سوم راهنمایی کشور در درس ریاضی ( جمعیت دوم تیمز ) مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 59 و 60 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارت کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش .

{4} کیامنش ، علیرضا ؛ خیریه ، مریم ، ( 1379) ، روند تغییر درون دادها و برون دادهای آموزش ریاضی براساس یافته های TIMSS و TIMSS-R ، انتشارت پژوهشکده تعلیم و تربیت ، وزارت آموزش و پرورش .

{5} گویا ، زهرا ؛ غلام آزاد ، سهیلا ، ( 80 – 1379 ) ، گزارش بیست و چهارمین کنفرانس روان شناسی آموزش ریاضی ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 61 ، سال پانزدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش.

{6} گویا ، زهرا ، ( 1376 ) ، یادداشت سر دبیر ، مجله رشد آموزش ریاضی ، شماره 48 ، سال یازدهم ، دفتر انتشارات کمک آموزشی ، سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ، وزارت آموزش و پرورش

سايت هاي TV شبكه قرآن شبكه دو شبكه سه شبكه چهار شبکه پنج شبكه آموزش شبكه جام جم شبكه پيام شماوسيما چهره هاي ماندگار حماسه و دفاع سيمافيلم رسانه بين الملل سيما		irib سايت هاي قرآن و عترت اخبار سرويس جهاني راديو در پرتو رهبري ايرانشناسي ورزش آب و هوا

 

رياضي سوم راهنمايي
 

© 2002-2005, Islamic Republic of Iran Broadcasting Website.
Email: [e-mail] : آدرس پست الكترونيك

.:: دستگاه معادله های خطی ::.

(system of linear equations)

 

دستگاه معادله های خطی شامل مجموعه ای از دو یا چند معادله خطی می باشد.

منظور از حل دستگاه, به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله ها بر قرار باشند.

 

مثال:

 

مشخصات:

*نام:دستگاه معادله های خطی

*این دستگاه شامل دو معادله ی خطی می باشد.

*این دستگاه شامل دو مجهول x و y است.

*به ازای x=-۶ و y=۳ هر دو معادله بر قرارند.

*جواب دستگاه در واقع طول و عرض نقطه ی تقاطع این دو خط می باشد.

 

دستگاه دو معادله ی دو مجهولی:

یک دستگاه دو مجهولی درجه اول به شکل زیر است:

        

این دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول می باشد. مجهول های دستگاه در مورد هر موضوعی می توانند باشند . برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و قیاسی را توضیح می دهیم.

 

روش حذفی:

در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب می کنیم که ضریب های یکی از مجهول ها در دو معادله قرینه شود, آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع می کنیم و ساده می کنیم, پس از پیدا شدن یکی از مجهول ها آن را در یکی از دو معادله قرار می دهیم و مجهول دیگر را بدست می آوریم.

 

مثال 1: دستگاه زیر را حل کنید.

 

حل:

 

بنابر این x=-۳ و y=۲ جواب دستگاه می باشد.

 

---

 

مثال 2: دستگاه زیر را حل کنید.

 

حل:

ابتدا طرفین معادله اول را در عدد 6 و طرفین معادله دوم را در عدد 2 ضرب می کنیم تا مخرج ها حذف شوند.

 

بنابر این x=۶ و y=۶ جواب دستگاه می باشد.

 

---

  

روش قیاسی:

در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار می دهیم.

مثال: دستگاه زیر را حل کنید.

 

حل:

 

 

 

 

 

1- دستگاه فقط یک جواب دارد در صورتیکه

2- دستگاه بیشمار جواب دارد در صورتیکه

3- دستگاه جواب ندارد در صورتیکه

 

 

 

 

þ تست1 :

مجموع جوابهای یک دستگاه دو معادله و دو مجهولی برابر 15 و تفاضل جواب ها برابر 3 است.

حاصل ضرب جواب های این دستگاه کدام است؟

د) 54

ج) 48

ب) 42

الف) 36

 

---

 

 þ تست2 :  

در یک قلک 25 سکه 100 ریالی و 250 ریالی به مبلغ 4000 ریال موجود است.

تعداد سکه های 100 ریالی برابر است با:

د)20

ج) 15

ب) 10

الف) 5

 

---

 

þ تست3 :  

به ازای چه مقدار از m دستگاه معادلات جواب ندارد؟

- د) 2

ج) 2

ب) 1

الف) 1-

 

---

 

þ تست4 :  

جواب x در دستگاه چقدر است؟

- د) 2

ج) صفر

ب) 1-1

الف) 1

 

---

 

þ تست5 :  

اگر y=ax+b معادله خطی باشد که از دو نقطه می گذرد, حاصل a+b کدام است؟

-د) 11

ج) 11

-ب) 9

الف) 9

 

 

 

 

 

 

آموزش ریاضی سوم راهنمایی-زاویه و دایره

.:: زاویه و دایره ::.

 

دایره: (circle)

 

مجموعه نقاطی از صحفه که فاصله ی آن از یک نقطه به نام مرکز برابر باشند ، دایره نامیده می شود.

دایره ی c به مرکز o و شعاع R را با نماد نشان می دهیم .

 

وتر دایره :(circle  chord) پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می کند . هر دایره بیشمار وتر دارد . مانند وتر های AB و CD در دایره ی C . 

 

قطر دایره:(circle axis) بزرگترین وتر در هر دایره را قطر می نامند . قطر وتر ی از دایره است که از مرکز می گذرد مانند قطر MN در دایره ی C.

 

کمان دایره :(circle arc) قسمتی از محیط دایره را می گویند که به دو نقطه روی محیط دایره محدود شده باشد. اگر دو نقطه ی A و B را روی دایره C در نظر بگیریم دو کمان پدید می آید ، کمان کوچکتر را به صورت و کمان بزرگتر را به صورت می خوانیم .

 

í نقطه و دایره : نقطه و دایره نسبت به هم 3 وضعیت دارند :1 نقطه داخل دایره است. 2 نقطه روی دایره است. 3 نقطه خارج دایره است .

 

í وضع یک خط و یک دایره نسبت به هم:

خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:

1. خط خارج دایره است که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.

 

2.خط بر دایره مماس است.که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است . یعنی d = R

 

3.خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع کو چکتر است.

یعنی: d < R

 

 خط و دایره

 

 

í زاویه و دایره:

زاویه ی مرکزی:زاویه ای که رأس آن مرکز دایره باشد زاویه ی مرکزی نامیده می شود.

در شکل مقابل زاویه ی AOB یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل آن می باشد.

نکته: اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان مقابلش مساوی است.

 

زاویه ی مرکزی در دایره:

 

 

زاویه ی محاطی: زاویه ی محاطی زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند .

در شکل مقابل زاویه ی یک زاویه ی محاطی است و کمان BC ، کمان مقابل آن می باشد.

 

نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی نصف کمان مقابل آن است.

زاویه ی محاطی در دایره :

 

 

زاویه ی ظلّی : هر زاویه ای که رأسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد ، زاویه ی ظّلی نامیده می شود.

در شکل مقابل یک زاویه ی ظّلی و کمان AB کمان مقابل به زاویه ی ظّلی A می باشد.

نکته : اندازه ی زاویه ی ظّلی نصف کمان مقابل آن است.

 

زاویه ی ظّلی

 

í مثلث و دایره :

دایره ی محاطی مثلث :

3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است ؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OK

پس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .

این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است.

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:

شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .

 

 

دایره ی محیطی مثلث:

سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC

اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .

مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است.

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:

شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .

تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم:

 

لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی :

 

از طرفی می دانیم مساحت مثلث برابر است با : 

 

حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت:

 

دایره و چند ضلعی های متنظم :

چند ضلعی متنظم: چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی متنظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی متنظم است.

 

رسم چند ضلعی متنظم:

برای رسم یک n ضلعی متنظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .

تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:

1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی رسم کنیم .

2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .

3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود .

 

مثال:

چهار ضلعی متنظم:

 

پنج ضلعی متنظم:

 

شش ضلعی متنظم:

 

 

بازی و ریاضی :

ساخت چند ضلعی های متنظم با گره زدن کاغذ

 

پنج ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

 

برای ساخت یک پنج ضلعی متنظم با این نوار به تر تیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید

مانند شکل زیر:

 

2. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

 

3. نوار های اضافی را ببرید ،پنج ضلعی متنظم بوجود می آید.

4. گره را باز کنید و ذوزنقه های تشکیل شده را با هم بررسی و مقایسه کنید.

 

هفت ضلعی متنظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

 

برای ساخت یک هفت ضلعی متنظم با این نوار به ترتیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید. (مانند پنج ضلعی متنظم)

 

2. گره را سفت نکنید و وسط گره (ناحیه ی 1) را در نظر داشته باشید.

3. مجددأ یک سر نوار را به قصد زدن گره دوم زیر سر دیگر برده ،و از ناحیه 1 (وسط گره اول) عبور دهید.

 

4. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

 

5. نوار های اضافی را ببرید ،هفت ضلعی متنظم بوجود می آید. 

 

 

 

 

1- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد دو وتر دلخواه در داخل دایره بوجود آمده است.

 

2- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد امتداد دو وتر دلخواه در خارج دایره بوجود آمده است.

 

3- در شکل مقابل زاویه ی از رابطه ی زیر بدست می آید :

 

4-

 

5- شعاع دایره ی محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره ی محاطی آن مثلث است.

 

6- مرکز دایره ی محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است.

 

7- مساحت مثلثی به اضلاع c , b , a از رابطه ی زیر بدست می آید:

 

 

 

8- سهم در چند ضلعی متنظم پاره خطی است که از مرکز چند ضلعی به ضلع آن عمود می شود.

مانند OA در شش ضلعی متنظم شکل مقابل.

برای بدست آوردن مساحت یک n ضلعی متنظم از رابطه ی زیر استفاده می شود.

 

 

9- برای یک n ضلعی متنظم زاویه ی داخلی از رابطه ی و زاویه ی مرکزی از رابطه ی بدست می آید.

 

10- مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی  از رابطه ی مقابل بدست می آید:  180× (n - ۲)

 

 

مثال ها

در هر یک از شکل های زیر مقادیر مجهول را بیابید.

در تمامی شکل ها O مرکز دایره است.

تصویر 1:

حل:

---

 تصویر 2:

شکل کمکی:

حل:

---

تصویر 3:

شکل های کمکی :

 

حل:

---

تصویر 4:

حل:

---

تصویر 5:

شکل های کمکی:

 

حل:

  

---

تصویر 6:

حل:

---

تصویر 7:

هشت ضلعی متنظم است.

حل:

---

تصویر8:

شکل های کمکی:

حل:

---

تصویر9:

حل:

---

تصویر10:

شکل های کمکی:

حل:

---

تصویر 11:

شکل های کمکی:

حل:

---

تصویر 12:

حل:

---

تصویر 13:

حل:

 

---

 

 þ تست1 :

در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان کدام است؟  

 

 

 

د) ˚110

ج) ˚120

ب) ˚55

الف) ˚60

 

---

 þ تست2 :  

در شکل مقابل چند درجه است؟     

 

د) ˚140

ج) ˚220

ب) ˚120

الف) ˚70

 

---

 

þ تست3 :  

در شکل مقابل y چند درجه است؟  

ب) ˚120	الف) ˚145
د) ˚100	ج) ˚108

 

 

---

 

þ تست4 :  

فاصله ی خط d از مرکز دایره ای برابر 5^cm است . اگر قطر دایره دو برابر این فاصله باشد ، وضعیت خط و دایره نسبت به هم کدام است؟

ب)خط و دایره متقاطع اند.	الف)خط  دایره را قطع نمی کند.
د)خط ودایره دو نقطه مشترک دارند .	ج:خط بر دایره مماس است.

 

---

 

þ تست5 :  

مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 و 8 و 10 مفروض است. دایره ای رسم کرده ایم که از رأ س های مثلث          می گذرد. شعاع دایره چقدر است؟

د) 10

ج)2

ب)

الف) 5

 

---

 

þ تست6 :  

اندازه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 6^cm چقدر است؟

د)2

ج)2

ب)2

الف)

 

---

 

þ تست7 :  

در شکل مقابل 6 ضلعی منتظم است . اگر محیط دایره p۴ باشد، طول هر ضلع 6 ضلعی منتظم برابر است با: 

 

د) 2

ج) 3

ب)

الف) 4

 

---

 

þ تست8 :  

در شکل مقابل AB < DE پنج ضلعی متنظم است.

اگر M قرینه ی نقطه ی A نسبت به خط BE باشد، اندازه ی زاویه ی چقدر است؟

 

د) ˚32

ج) ˚30

ب) ˚35

الف) ˚36

 

---

 

þ تست9 :  

ده نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند. حداکثر تعداد وتر هایی که می توان با وصل کردن این نقطه ها به یکدیگر رسم نمود چند تا است اگر هیچ دو وتری متقاطع نباشند ؟

د) 35

ج) 27

ب) 17

الف) 15

 

---

 

þ تست10 :  

اگر AB یکی از ضلع های یک پنچ ضلعی منتظم و AD نیز یکی از ضلع های یک نه ضلعی منتظم در دایره C باشند ، اندازه زاویه ی A برابر است با: 

 

د) ˚130

ج) ˚124

ب) ˚135

الف) ˚120

آموزش ریاضی سوم - بردار ها

.:: بردار ::.

 

مختصات:

برای مشخص کردن نقاط صفحه می توانیم دو محور عمود بر هم با مبدأ مشترک در صفحه رسم کنیم. این دو محور را دستگاه مختصات می نامیم.

ویژگی های صفحه مختصات:

 صفحه مختصات دارای ویژگیهای زیادی است. برای آشنایی شما با ویژگیهای زیبای این صفحه به روش زیر عمل می کنیم:

تصویری برای شما به نمایش در می آید، با دقت به عملیات انجام شده روی تصویر و تجزیه و تحلیل آن،       نتیجه گیری خود را بیان کنید. سپس روی قسمت (نتیجه گیری) کلیک کنید، و نتایج خود را با نتیجه نوشته شده مقایسه کنید. از آن جا که شما در نتیجه گیری ها به ما کمک می کنید. لذا، امیدواریم این امر باعث تثبیت یادگیری و گسترش مهارتهای شما باشد.

 

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه اول طول و عرضش مثبت است.

 

---

 

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه دوم طولش منفی و عرضش مثبت است.

 

---

 

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه سوم طول و عرضش منفی است.

 

---

 

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه چهارم طولش مثبت و عرضش منفی است.

 

---

 

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به محور طول نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به محور عرض نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به مبدأ مختصات نقطه است.

 

---

 

راهنمایی برای دانش آموزان: خط d1 نیمساز ناحیه اول و سوم و خط d2 نیمساز ناحیه دوم و چهارم می باشند.

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم نقطه است.

 

بردار: (Vector)

بردار پاره خطی است جهت دار که دارای ابتدا و انتها باشد؛

مانند بردار که ابتدایش A و انتهایش B  می باشد. گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نشان می دهند؛ مانند بردار

هر بردار در صفحه دارای مختصات می باشد. برای مشخص کردن مختصات یک بردار ابتدا آن را به دو بردار یکی در امتداد افق (محور طول) و دیگری در امتداد قائم (محور عرض) تجزیه کرده و با توجه به جهت بردار ها مختصات آنرا می نویسیم.

بردارها دارای ویژگیهای زیادی هستند و در ریاضی و فیزیک کاربرد فراوان دارند. برای اشنایی با برخی از ویژگیهای بردارها تصاویر را نگاه کنید و نتیجه گیری های خود را با نتایج ثبت شده مقایسه کنید.

 

---

 

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور طول ها باشد ، عرض آن صفر است و هر برداری که عرض آن صفر باشد ، موازی محور طول هاست.

 

---

 

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور عرض ها باشد، طول آن صفر است و هر برداری که طول آن صفر باشد، موازی محور عرض هاست.

 

---

 

نتیجه گیری:

í بردارهای رسم شده با بردار برابرند.

í بردارهای موازی ، هم اندازه و هم جهت را بردارهای مساوی گویند.

í مختصات همه بردارها برابر  می باشد.

 

---

 

نتیجه گیری:

 í بردارهای رسم شده دو به دو با هم قرینه اند.

 

---

 

í راهنمایی: در شکل (1) رابطه بین بردار  با سایر بردار ها و در شکل (2) رابطه بین بردار با سایر بردارها را بیابید.

نتیجه گیری:

í در شکل (1) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع دو بردار است.

í در شکل (2) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع بردارهای می باشد.

í هر گاه دو یا چند بردار دنبال هم باشند، برای یافتن حاصل جمع این بردارها کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل کنیم. این روش برای نشان دادن بردار حاصل جمع «روش مثلث» نام دارد.

 

---

 

نتیجه گیری:

í برای بدست آوردن حاصل جمع دو بردار با ابتدای مشترک، می توانیم قطر متوازی الاضلاعی را که دو بردار روی آن رسم می شود ، به دست آوریم : این قاعده روش متوازی الاضلاع نامیده می شود.

 

---

 

نتیجه گیری:

í این شکل ضرب یک عدد در بردار را نشان می دهد.

با توجه به مختصات بردارها می توان نتیجه گرفت که :

 

---

 

نتیجه گیری:

í این تصویر یک عدد منفی در بردار را نشان می دهد.

	با توجه به مختصات دو بردار می توان نوشت:
	به عبارت دیگر:

 

بردارهای واحد مختصات:

بردارهای  و را بردارهای واحد مختصات می نامیم.

معمولا پارچه فروش ها برای اندازه گیری پارچه از یک متر فلزی کوچک  استفاده میکنند. این متر فلزی به عنوان واحد اندازه گیری پارچه  کار آن ها را ساده تر می کند. در صفحه مختصات بردار i بردار واحد محور طول ها و بردار j بردار واحد محور عرض ها می باشد که هر برداری از صفحه را می توانیم بر حسب این بردار های واحد بدست آوریم.

مثال:

 

 

 

 

 

1. اگر باشند، دو بردار مساویند در صورتیکه .

مثال: مقادیر n , m را چنان بیابید که دو بردار برابر باشند.

حل:

 

2. اگر باشند، دو بردار بر هم عمودند در صورتیکه xx´+yy´ =0

مثال: مقدار m را چنان بیابید که دو بردار در مبدأ مختصات بر هم عمود باشند.

حل:

 

3. اگر دو نقطه در صفحه باشند، مختصات نقطه c وسط پاره خط AB عبارت است از:

مثال: اگر دو نقطه در صفحه باشند و نقطه وسط پاره خط AB قرار داشته باشد، مقدار a کدام است؟

حل:

 

4. بردار برداری است که از انتهای به انتهای رسم شود.

 

5. حاصل جمع هر بردار با قرینه اش برابر صفر است.

مثال: بردارهای قرینه یکدیگر هستند.

مقادیر n , m را بدست آورید.

حل:

 

6. اگر o محل تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع ABCD باشد، آنگاه:

 

7. اگر AM میانه نظیر ضلع BC از مثلث ABC باشد، آنگاه:

 

8. اگر N , M وسطهای اضلاع AC , AB از مثلث ABC باشند، آنگاه:

 

9. در متوازی الاضلاع ABCD داریم:

 

10. اگر عدد m ، عددی بین 1- و 1 باشد، آنگاه اندازه بردار از اندازه بردار کوچکتر است.

 

 

þ تست1 :

در شکل زیر ، مختصات بردرا کدام گزینه است؟

 

 

 

 

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 þ تست2 :  

با توجه به بردارهای مشخص شده در شکل زیر ، مختصات بردار کدام گزینه است؟

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست3 :  

در متوازی الاضلاع ABCD کدام گزینه درست است؟

 

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست4 :  

 برای چهار نقطه در صفحه داریم: ، آنگاه:

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست5 :  

مختصات x در تساوی مقابل کدام است؟

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست6 :  

در متوازی الاضلاع مقابل حاصل کدام است؟

 

 

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست7 :  

اگر دو نقطه در صفحه مختصات باشند و پاره خط AB قطری از دایره به مرکز باشد، مقدار m برابر است با:

 

د) 8

ج) 7

ب) 6

الف)  5

 

---

þ تست8 :  

 نقطه بر محور طول ها و نقطه بر محور عرض ها واقع اند. مقدار m+n برابر است با :

 

د)

ج) 1

ب)  1-

الف) صفر

 

---

þ تست9 :  

 قرینه نقطه نسبت به محور طول ها کدام است؟

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

þ تست10 :  

 نقطه B قرینه نقطه A نسبت به محور طول ها و نقطه C قرینه نقطه B نسبت به محور عرض ها می باشد. در این صورت کدام عبارت همواره صحیح است.

 

ب) نقطه C قرینه نقطه A نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم است.	الف)نقطه C وسط پاره خط AB است.
د)  نقطه C در ناحیه سوم صفحه مختصات قرار میگیرد

آموزش ریاضی سوم - اعداد حقیقی

.:: مجموعه ی اعداد حقیقی ::.

 

 

عدد حقیقی : (real number)

حقیقی منسوب به حقیقت است و به معنی واقعی، اصلی و مقابل کلمه ی مجازی می باشد .

در ریاضی هر یک از عددهای گویا و عددهای اصم را یک عدد حقیقی می نامند.

 

مجموع  عدد های حقیقی:

مجموع تمام عددهای گویا و عددهای اصم را مجموعه اعداد حقیقی می نامیم و آنرا با حرف نمایش میدهیم.

 

عدد اصم (گنگ): ir rational number = surd

اصم به معنی کر و ناشنوا است و گنگ به کسی که کلمات را نتواند ادا کند. در ریاضی اگر عدد طبیعی n مجذور کامل نباشد ، آن گاه عددی اصم (گنگ) است.

مانند می دانیم امکان نمایش این اعداد به صورت کسر وجود ندارد ،بنابراین «هر عدد حقیقی که گویا نباشد ، عدد اصم (گنگ) نامیده می شود.»

 

محور عددهای حقیقی :

برای نشان دادن یکسری عدد حقیقی روی محور از نمودار استوانه ای شکل استفاده می کنیم . قسمت های هاشور خورده و رنگ شده این نمودار اعضای مجموعه  را نشان می دهد.

مثال: نمایش هر یک از مجموعه های زیر را روی یک محور مشخص کنید.

 

حل:                   

 

تمامی عدد های حقیقی بین 2- و 3+ عضو این مجموعه هستند.

دایره ی تو پر و علامت نشان می دهند که 2- عضو مجموعه ی A می باشد و

دایره ی توخالی و علامت > نشان می دهند که 3 عضو مجموعه ی A نمی باشد.

نکته: مجموعه ی A را به صورت (3 و 2-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی نیم باز 2- و 3 می گویند.

---

 

 

حل:            

 

تمامی عدد های حقیقی بین 0و 4 عضو این مجموعه هستند.

نکته:مجموعه ی B را به صورت (4 و 0)نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی باز 0 و 4 می گویند.

---

 

 

 

حل:                  

 

نکته:مجموعه ی C را به صورت[ 3 و 1-] نیز نشان می دهند که این مجموعه را بازه ی بسته 1- و 3 می گویند.

---

 

 

حل:                  

 

نکته:مجموعه ی D را به صورت (1 و ∞-) نیز نشان می دهند که این مجموعه بازه ای را نشان می دهد که از سمت راست محدود و از سمت چپ نامحدود است.

 

 

نمایش اعداد اَصَم (گنگ):

فرض کنیم یک عدد اصم (گنگ) است ؛ جای تقریبی این عدد را می توان به کمک محاسبه ی جذر تقریبی روی محور مشخص کرد.

مثال: عدد بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد ؟

حل:مقدار تقریبی جذر 5 از عدد 2 بیشتر و از عدد 3 کمتر است ؛ یعنی : اختلاف عدد ی که بین 2 و 3 باشد با عدد 3 بین دو عدد صحیح متوالی صفر و یک قرار دارد . یعنی :   

 

برای مشخص کردن جای دقیق تری از روی محور به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه مناسبی که طول آن باشد را رسم می کنیم .

ب: دهانه ی پر گار را به اندازه ی وتر این مثلث باز می کنیم و از مبدأ علامتی روی محور در جهت مثبت محور می زنیم.

مثال: در شکل مقابل تعداد ی مثلث قائم الزاویه رسم شده است که در هر کدام یک ضلع زاویه قائمه به طول 1 واحد است. طول پاره خط های OD , OC , OB , OA را حساب کنید.

 

 

حل:

 

نکته:چنانچه مثلث های قائم الزاویه را یکی بعد از دیگری مانند مثال قبل رسم کنیم، شکل زیبای حلزونی بوجود می آید که به کمک آن عددهای , , , و.... را می توان مشخص کرد.

 

می توانیم روی محور اعداد، نقطه ی متناظر با هر یک از عددهای , , , و ........ را مشخص کنیم. برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:

الف: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع 1^cm و وتر OA را روی محور اعداد در نظر می گیریم . می دانیم اندازه ی OA با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O و شعاع OA دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند . نقطه ی متناظر با عدد بدست می آید.

 

ب: مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع  و وتر OB را روی محور اعداد در نظر می گیریم .می دانیم اندازه ی OB با استفاده از رابطه ی فیثاغورس بدست می آید . حال به مرکز O  و شعاع OB دهانه ی پرگار را باز کرده و یک کمان می زنیم تا جهت مثبت محور اعداد حقیقی را در نقطه ی قطع کند.

 

ج: به همین ترتیب اعداد , ,  و....را نیز می توان روی محور اعداد حقیقی نشان داد . کافی است مثلث های قائم الزاویه را به همین ترتیب روی محور ادامه دهیم. شکل زیر چگونگی کار را نشان می دهد.

 

 

 

 

 

1. اگر n عددی طبیعی و مجذور کامل نباشد، همواره عددی اصم است.

 

2. اگر x عددی گویا و y عددی گنگ باشد، آنگاه عددی گنگ (اصم) است.

 

3. حاصل جمع دو عدد گنک، همواره عدد گنگ نمی باشد.

 

4. حاصل تفریق دو عدد گنگ، همواره عدد گنگ نمی باشد.

 

5. حاصل ضرب دو عدد گنگ، همواه عدد گنگ نمی باشد.

 

6. حاصل تقسیم دو عدد گنگ، همواره عدد گنگ نمی باشد.

 

7. اعداد اصم فقط به صورت نمی باشند، بلکه هر عددی که نتوان آن را به صورت نماد اعشاری متناوب نوشت اصم می باشد.

 

8. هر فاصله ای هر چند کوچک از اعداد حقیقی ، بی شمار عضو دارد.

 

 

 

þ تست1 :

در شکل مقابل، به مرکز A و شعاع AC یک کمان زده ایم تا محور را در نقطه ی  B قطع کند. نقطه B کدام عدد را نشان می دهد؟

 

 

 

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 þ تست2 :  

کدامیک از اعداد زیر گنگ است؟

د)

ج)

ب)

الف)

 

---

 

þ تست3 :  

مجموعه چند عضو دارد؟

د) بدون عضو می باشد

ج)  بی شمار

ب) دو عضو

الف)  یک عضو

 

---

 

þ تست4 :  

محیط شکل زیر کدام گزینه است؟

 

 

د)

ج)

ب)

الف)

 

 

---

 

þ تست5 :  

عدد بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

 

د) بین 1- و 2-

ج)  بین 1و 2

ب) بین صفر و یک

الف)  بین صفر و 1-

 

---

 

þ تست6 :  

اگر a عددی گویا و b عددی گنگ باشد، کدام یک از گزینه های زیر همواره صحیح است؟

ب) a+b عددی گنگ است	الف)  ab عددی گنگ است
د) عددی گویا است	ج)  a+b^۲عددی گویا است

 

اگر معلم ریاضی بودم

اگر معلم ریاضی بودم

اگرمعلم ریاضی بودم ثابت می کردم که هرگزیک با یک برابر نیست و دودوتا همیشه چهار تا نیست گاه بیشتریا کمتراست اصلا در منطق شاعرانه من دودوتا بیست و دوتاست

اگر معلم ریاضی بودم به شاگردانم می آموختم که زندگی را ساده کنند واصولا خودنیز ساده باشندچه در

باجه ی بانک وچه درپای درخت والبته ساده اندیش باشند وبدانندکه زندگی مجذورآینه است یعنی ضرب

 زمین درضربان دل ماست

ادامه نوشته

چند تن از ریاضی دانان جهان

 

. قبل از فيثاغورت كسي حتي حدث نيز نميزد كه مجموعه اين قواعد ميتواند تعداد كمي اصل نتيجه شود .  فيثاغورث كشف كرد كه اعداد صحيح يعني  1و2و3و.. براي بنا نهادن علم رياضي حتي در سطح عادي كافي نيستند .  حال آنكه عقيده خود او نيز در ابتدا اين بود كه همه چيز عالم با همان اعدادي كه خداوند به بشر ياد داده تعبير خواهند شد . اين كشف او كه اعتقادات خود او را به آنچه از خداوند و كتاب مقدس ميدانست فرو ريخته بود . باعث شد تا حتي خود او هم با كشف خودش به مبارزه بر خيزد تا ايمان از دست رفته اش را نجات دهد . اما سرانجام خود او نيز تسليم كشف خود شد . ( هرگز نميتوان دو عدد صحيح چنان يافت كه مربع يكي برابر دو فيثاغورت  

 569 تا 500 قبل از ميلاد    او اولين كسي بود كه اصرار داشت كه در هندسه بايد ابتدا اصول موضوع و اصول متعارفي را معيين كرد . و سپس به استناد آنها استدلال كرد . . قبل از او هندسه مجموعه قواعدي بود تجربي كه هيچگونه ارتباطي با هم نداشتند برابر ديگري باشد )  و از اينجا بود كه اعداد اصم و مفهوم بينهايت وارد رياضيات شد .

ادامه نوشته

معادله

معادله (واژه فارسی: هَمچَند یا هَموگـِش) در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نماد‌هاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.

تعریف معادله در ریاضیات

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده‌ می‌شوند. مثلاً معادله

x − x = 0

اتحاد است چون x هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله

x + 1 = 2

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار x عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، "جواب معادله" می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" می‌نامند.

حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

x + 1 − 1 = 2 − 1

x = 1

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است.

 

لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی که قبلاً به عنوان لگاریتم هیپربولیک شناختم، لگاریتمی است که پایه آن e است که ث ثابت مشخصی است که تقریباً برابر 218281820/2، لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همه اعداد حقیقی مثبت x که در ناحیهٔ زیر منحنی y = 1/t از 1 تا x تعریف نمود و همچنین برای اعداد مختلط غیر صفر که در زیر توضیح داده خواهد شد می‌توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین به عنوان تابع معکوس تابع نمایی که منجر به همانی می‌شود می‌توانیم تعریف شود.

0\,\!" type="#_x0000_t75">

به بیان دیگر تابع لگاریتم یک نگاشت دو سویی است از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه همه اعداد حقیقی، دقیق‌تر این است که یک ایزومورفیسم (یکریختی) از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است. لگاریتم می‌تواند برای هر پایهٔ مثبتی غیر از 1 تعریف شود، نه فقط e. برای حل معادلات پدیده‌های ناشناخته به عنوان توانی از بعضی مقادیر دیگر (حدود دیگر) ظاهر می‌شوند، مفید است.

ادامه نوشته

دیوفانت

دیوفانت اسکندرانی (به یونانی:‎Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ‏) از ریاضیدانان قدیم است که در حدود قرن سوم عصر حاضر می‌زیسته‌است.

شرح زندگی

از کسانی که اهمیت وافری در بسط جبر و تأثیری عظیم بر دانشمندان اروپایی نظریه اعداد داشتند، دیوفانت بود. دیوفانت، همچون هرون، ریاضیدان دیگری با تاریخ و ملیت نامعلوم است.

گرچه شواهد ضعیفی وجود دارند مبنی بر اینکه وی شاید از معاصرین، یا تقریباً از معاصرین هرون بوده‌است، اغلب مورخین مایلند او را در قرن سوم عصر حاضر قرار دهند. سوای این حقیقت که او در اسکندریه زندگی می‌کرده‌است چیز قطعی در باره وی معلوم نمی‌باشد. تقریباً همه آنچه از زندگی شخصی دیوفانت می‌دانیم اطلاعات موجود در یک معما است که در خلاصه زیر از کتیبه گوری که در آنتولوژی یونانی داده شده‌است، مندرج است:

«دیوفانت یک ششم زندگانی خود را در کودکی به سر برد، یک دوازدهم آن را در جوانی و یک هفتم دیگر را در تجرد. پنج سال بعد از ازدواج صاحب پسری شد که چهار سال پیش از پدر، در سنی که نصف سن (نهایی) پدرش بود، در گذشت.دیوفانت به هنگام وفات چند سال داشت؟»

او به خاطر مطالعات خود در زمینه معادلاتی با متغیرهای گویا بسیار مشهور است و این معادلات پس از او به نام معادلات دیوفانتی یا معادلات سیاله نامیده شدند. دیوفانت سه اثر نوشته‌است:

·         آریثمتیکا (Arithmetica) یا همان علم حساب، مهم‌ترین اثر وی است که ۶ مقاله از ۱۳ مقاله آن باقی است.

·         درباره اعداد چند ضلعی (On Polygonal Numbers) که تنها قطعه‌ای از آن باقی است.

·         پوریسم‌ها که مفقود شده‌است. پوریسم (Porism) امروزه به عنوان گزاره‌ای گرفته می‌شود، بیانگر شرطی که مسئله معینی را قابل حل می‌گرداند، و در این صورت مسئله بینهایت جواب دارد. برای مثال اگر r و R شعاع‌های دو دایره و d فاصله بین مراکز آنها باشد، مسئله محاط کردن مثلثی در دایرهٔ به شعای R که بر دایره به شعاع r محیط شود، فقط و فقط وقتی قابل حل است که R² = 2rπ، و در این صورت بینهایت مثلث از این قبیل وجود خواهد داشت. این واژه توسط اقلیدس به کار رفته‌است.

آریثمتیکا شارحین بسیاری داشته‌است، اما رگیومونتانوس (Regiomontanus) بود که در سال ۱۴۶۳، برای ترجمه لاتین متن یونانی آن دعوت به عمل آورد. ترجمه شایسته‌ای از آن، همراه با شرح، در ۱۵۷۵ توسط کسیلاندر (Xylander) -نامی یونانی که ویلهلم هولتسمان (Wilhelm Holzmann) ، استادی در دانشگاه هایدلبرگ اختیار کرده بود-انجام شد. این ترجمه به نوبه خود توسط باشه دومزیریاک (Bachet de Meziriac) فرانسوی مورد استفاده قرار گرفت و وی در ۱۶۲۱ اولین چاپ متن یونانی را همراه با ترجمه لاتین و حاشیه‌هایی بر آن منتشر کرد. چاپ دومی، که با بی‌مبالاتی صورت گرفته بود، در ۱۶۷۰ انتشار یافت، و از نظر تاریخی بدان سبب اهمیت دارد که حواشی نوشته شده توسط فرما را که انگیزه تحقیقات گسترده‌ای در نظریه اعداد شد، شامل می‌شد. ترجمه‌های فرانسوی، آلمانی و انگلیسی بعدها ظاهر شدند.

آریثمتیکا یک بررسی تحلیلی از نظریه جبری اعداد است و دلالت بر چیره‌دستی مؤلف آن در این زمینه دارد. بخش موجود این اثر به حل حدود ۱۳۰ مسئله، که تنوع قابل ملاحظه‌ای دارند، اختصاص یافته‌است و منجر به معادلاتی از درجه اول و دوم می‌شوند. در این اثر حالت بسیار خاصی از معادله درجه سوم حل شده‌است. مقاله اول به معادلات معین با یک مجهول مربوط است، و مقاله‌های دیگر به معادلات نامعین (سیاله) از درجه دوم و گاهی بیشتر، با دو یا سه مجهول می‌پردازند. آنچه قابل توجه‌است فقدآن روشهای کلی، و کاربردهای مکرر تدابیر هوشمندانه‌ای است که به اقتضای هر مسئله طرح می‌شوند. دیوفانت تنها جوابهای گویای مثبت را قبول داشت و اغلب حالات فقط به یک جواب برای مسئله قانع بود.

چند قضیه موثر درباره اعداد در آریثمتیکا وجود دارند. مثلاً، بدون برهان ولی با اشاراتی به پوریسم‌ها، گفته می‌شود که تفاضل دو مکعب گویا مجموع دو مکعب گویا نیز هست. مطلبی که بعداً توسط ویت، باشه و فرما تحقیق شد.

قضایای زیادی درباره نمایش اعداد به صورت مجموع دو، سه یا چهار مربع وجود دارند، این زمینه تحقیق بعدها به وسیله فرما، اویلر و لاگرانژ تکمیل شد. شاید ذکر برخی از مسائلی که در آریثمتیکا دیده می‌شوند جالب باشد، همه آنها جذاب و بعضی از آنها مستلزم تلاش فراوان هستند. باید در نظر داشت که منظور از «عدد»، «عدد مثبت گویا» است. (شماره گذاری مسائل به همان ترتیبی است که در Diophantus of Alexandria چاپ دوم به کار رفته‌است)

·         مسئله ۲۸، مقاله ۲: دوعدد مربع کامل بیابید که اگر حاصلضرب آنها بر هریک از آنها افزوده شود، یک مربع کامل عاید نماید.

(جواب دیوفانت: )

·         مسئله۶، مقاله ۳: سه عدد پیدا کنید که مجموع آنها یک مربع کامل و مجموع هر زوج آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانت: ۸۰، ۳۲۰، ۴۱)

·         مسئله۷، مقاله ۳: سه عدد که تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند، پیدا کنید که مجموع هر زوج از آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانت: )

·         مسئله۱۳، مقاله ۳: سه عدد بیابید که وقتی حاصلضرب هر دو تا از آنها به سومی افزوده شود، حاصل یک مربع کامل باشد.

همانطور که گفته شد مسایل جبری نامعین (معادلات سیاله) که در آن تنها باید جوابهای گویا را یافت، به مسایل دیوفانتی معروف شده‌اند. در واقع، موارد استفاده امروزی این اصطلاح اغلب متضمن تحدید جوابها به اعداد صحیح است. اما دیوفانت خود ابداع کننده مسایلی از این قبیل نبوده‌است. همچنین بر خلاف آنچه گاهی گفته می‌شود، اولین کسی نبوده‌است که با معادلات سیاله کار کرده‌است، و اولین کسی نبوده‌است که معادلات درجه دوم را به روش غیر هندسی حل کرده‌است. با این حال وی شاید اولین کسی بوده که گامهایی در جهت نماد گذاری جبری برداشته‌است. این گامها ماهیتاً از نوع علائم اختصاری تندنویسی بودند.

دیوفانت علائم اختصاری برای مجهول، توانهای مجهول تا مرتبه ششم، تفریق، تساوی، و معکوسها داشت. کلمه «آریثمتیک» در انگلیسی کنونی (arithmetic) به معنی علم حساب، از کلمه یونانی آریثمتیکه (arithmetike) ترکیبی از کلمات آریثموس (arithmos) برای «عدد» و تکنه (techne) برای «علم»، ناشی می‌شود.

هیث به طور نسبتاً متقاعد کننده‌ای خاطر نشان کرده‌است که نماد دیوفانت برای مجهول احتمالاً از ادغام دو حرف یونانی ρ,α در کلمه آریثموس مشتق شده‌است، که با گذشت زمان، به سیگمای نهایی نهایی یونانی ς شباهت پیدا کرده‌است. با وجود اینکه در این مورد تردید وجود دارد، معنی نماد برای توانها مجهول کاملاً روشن است.

مثلاً «توان دوم مجهول» با Δ^Υ دو حرف اول کلمه یونانی «دونامیس» (dunamis-ΔΥΝΑΜΙΣ) برای «توان» نشان داده می‌شود. همینطور «مکعب مجهول» با κ^Υ، دو حرف اول کلمه یونانی «کوبوس» (kubos-ΚΥΒΟΣ) برای «مکعب» نشان داده می‌شود.

می‌توان به سادگی توضیحاتی برای توان‌های بعدی مجهول داد، Δ^ΥΔ (مربع-مربع) ، Δκ^Υ (مربع-مکعب) و κ^Υκ (مکعب-مکعب) عرضه کرد.

نماد دیوفانت برای «منها» شبیه علامت V برعکس است که نیمساز زاویه آن رسم شده باشد. این به عنوان ترکیبی از «Λ» (لاندای بزرگ یونانی) و «Ι» (اوتای بزرگ یونانی) ، حروفی در کلمه یونانی لایپیس (ΛΕΙΨΙΣ) برای «فاقد بودن» تعبیر شده‌است. کلیه جملات منفی در یک عبارت یکجا جمع می‌شوند و نماد منها پیش از آن‌ها می‌آید. جمع با پهلوی هم نهادن نشان داده می‌شود، و ضریب هر توان مجهول با ارقام یونانی الفبایی بعد از نماد توان، نمایش داده می‌شود. اگر جمله ثابتی موجود باشد آنگاه M، مخففی از کلمه یونانی «مونادس» (monades-ΜΟΝΑΔΕΣ) ، برای «آحاد»، باضریب عددی مناسب، برای نمایش آن به کار می‌رود.

مثلاً x³+13x²+5x و x³-5x²+8x-1 به صورت:

ظاهر می‌شوند که به طور تحت الفظی چنین خوانده می‌شوند: «مکعب مجهول ۱، مربع مجهول ۱۳، مجهول ۵» و « (مکعب مجهول ۱، مجهول ۸) منهای (مربع مجهول ۵، آحاد ۱) »

                                                                    عرفان                  

اولين ها در رياضي اولين زن رياضي دان كه در تاريخ رياضي از او نام برده شده : هيپاتيا اولين فرد شناخته شده اي كه كشفيات رياضي به او نسبت داده شده : تالس اولين فردي كه يك كتاب منسجم در هندسه منتشر كرد : بقراط خيوسي اولين كسي كه تلاش جدي در فلسفه ي رياضي به عمل آورد : افلاطون اولين كسي كه در مسئله ي تضعيف مكعب به پيشرفت دست يافت : بقراط خيوسي اولين ارائه دهنده ي برهان براي حل مسئله ي تثليث زاويه به كمك مقاطع مخروطي : پاپوس اولين فرد يوناني كه ارتباطش با مسئله ي تربيع معلوم است : آناكساگوراس اولين چاپ اصول اقليدس : سال 1482 اولين فردي كه ترجمه ي انگليسي كاملي از اصول اقليدس ارائه داد : بيلينگزلي اولين كسي كه كوشش كرد اصول رياضي را تدوين كند : بقراط اولين كسي كه معادلات درجه دوم را به روش هندسي حل كرد : ديوفانتوس ( برای همین معادلات به این نام شناخته می شد . ) اولين كسي كه ترجمه ي عربي واقعا رضايت بخش از اصول اقليدس ارائه كرد : ثابت ابن قره اولين كسي كه كتابي در حساب به زبان عربي تاليف كرد : خوارزمي اولين نويسنده ي عربي نويس كه با قضيه ي دو جمله اي در شكل مثلث پاسكال كار كرد : كاشاني اولين كسي كه علامت هاي + و – را به كار برد : يوهان ويدمان __________________ بلکه اشتباه را تصحیح نکردن خود یک اشتباه دیگر است

چندجمله ای ها را حدس بزنید : یک ترفند جالب

آیا می توانید چند جمله ای را که در ذهن دوستتان می گذرد حدس بزنید ؟

از او بخواهید تا چند جمله ای با ضرایب مثبت در نظر بگیرد ؛ شما فقط با خواستن دو مقدار از این چند جمله ای آن را به درستی حدس خواهید زد !

اما چه سوال هایی باید بپرسید ؟

چه ترفند ریاضی در این کار نهفته است ؟

در واقع ترفند ریاضی آسانی در این معما قرار دارد ، کافی است شما با درس مبنا آشنا باشید .

به عنوان اولین سوال شما باید مجموع ضرایب را داشته باشید . کافی است مقدار ( 1)P را بپرسید . به عنوان مثال اگر  P=2x²+3x+1 پس  ( 1)P برابر 6 خواهد بود که نشانگر مجموع ضرایب است .

خوب ، اگر مجموع ضرایب کوچکتر از 10 بود ، به عنوان مثال

P=2x²+3x+1

شما به راحتی می توانید با پرسیدن فقط یک سوال ، چند جمله مورد نظر را به دست آورید .کافی است مقدار P: 10 را بخواهید

P(10)=2*100+3*10+1=231

عدد 231 ضرایب چند جمله ای را نشان خواهد داد . دو صدتایی ، سه ده تایی و 1 یکی

اما اگر مجموع ضرایب بزرگتر از ده بود چطور ؟

فرض کنیم P(1)=a حال باید مقدار چند جمله ای را به ازای عددی بخواهیم که از تمام ضرایب بزرگتر باشد این عدد a+1 خواهد بود پس مقدار (P(a+1 را درخواست می کنیم . عدد ی به دست آمده را به مبنای a+1 می بریم تا ضرایب معادله به دست آید . از این روش می توان به عنوان روش کلی برای مرحله قبل هم استفاده کرد  .

به عنوان مثال :

P(x)= 4x²+4x+3

P(1)=4+4+3=11

P(11+1)=P(12)= 4*144+ 4*12+3=627

627=(443)₁₂

همانطور که می بینید اعداد4 و 4 و 3 به ترتیب ضرایب چند جمله ای خواهند بود و چند جمله ما عبارت است از:

P(x)= 4x²+4x+3

در واقع بسته بندی های اعداد این بار در واحد هایی بزرگتر از پایه 10 انجام می شود  .

ادامه نوشته