ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا آخر قرن شانزدهم

در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوری رم در اواسط قرن پنجم

ادامه نوشته

ریاضیات بابلی و مصری

با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی، علوم

ادامه نوشته

رابطهی ریاضی با فاصله ی سیارات تا خورشید

سال 1766 میلادی، يوهان تيتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد که با استفاده از آن می

ادامه نوشته

یک پرسش

 دو مرد يك كوزه هشت ليتري پر از روغن دارند.دو كوزه خالي سه و پنج لتري هم دارند.چگونه ميتوانند با استفاده از اين سه كوزه روغن را بطور مساوي و دقيق بين خود تقسيم كنند؟

>>>۷ بار جابجايي

تاریخچه عددصفر

تاریخچه عددصفر

يکی از معمول ترين سوال هايی که مطرح ميشود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد ؟ البته برای جواب دادن به اين سوال به دنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصی صفر را ابداع کرد و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده ميکردند

ادامه نوشته

سوالات آزمون تیز هوشان مبتکران سوم راهنمایی

دانش اموزان عزیز سوم راهنمایی جهت مشاهده ی سوالات آزمون تیز هوشان مبتکران سوم راهنمایی

اینجا کلیک کنند

دانشمندان ریاضی

به طور كلي  به منظور اين كه دانش آموز به همراه معلم به مطالعه و فعاليت هاي آموزشي بپردازد  در يك جلسه ي اول سال دانش آموزان به گروه هاي درسي تقسيم مي شوند و هر كدام با توجه به علاقه و تمايل خود يكي از شخصيت هاي ادبي مطرح شده در كتاب انتخاب كرده ، با راهنمايي معلم به مطالعه و تحقيق درباره ي آن مي پردازند و با مراجعه با منابع اطلاعاتي و كتابخانه اي گزارشي تهيه كرده و به نوبت در هر جلسه يك گروه مطالب تهيه شده را به كلاس ارائه مي دهند. علاوه بر معرفي آن شخصيت به بررسي اشعار و آثار و انديشه هاي او پرداخته مي شود، درس با روشهايي چون هم خواني گروه يا از طريق نمايش و روش هاي ديگر در كلاس عرضه مي شود. ضمن تدريس تصاويري از شاعر و يا نويسنده ي مورد نظر و آثار او به كلاس آورده مي شود يا با استفاده از نوار كاست و فيلم مربوط كه در آرشيو مدرسه موجود مي باشد درس تدريس مي گردد.

 

ادامه نوشته

ابو ریحان بیرونی,خیام,ابو علی سینا

ا بوریحان محمد بن احمد بیرونی 

ابو ریحان بیرونی

تولد : 12 ذالحجهُ 362 هجری كاث ، خوارزم ( شهر كارا ـ كلپاكسكایا كنونی وا قع در ا زبكستان ) 

وفا ت : 4 رجب 440 هجری غزنه ( غزنه كنونی در ا فغا نستان ) 

ادامه نوشته

نظریه مجموعه ها

دید کلی

نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

موسس نظریه مجموعه‌ها جرج کانتور (1845- 1918) است. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. در واقع توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

مجموعه

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌های آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که می‌خواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند. در این قسمت با مفهوم کلی مجموعه‌ آشنا شده و اطلاعاتی عمومی در مورد آن کسب می‌کنیم.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها (Naive set theory)

مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی شد، همچون پارادکس راسل، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست تسرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها یا Axiomatic set theory انجامید.

نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory)

در این نظریه، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به برسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. اصول مورد بررسی این نظریه عبارتند از:

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع جایگزینی

مفهوم مجموعه

عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.

مفهوم زیرمجموعه

T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه T‌ای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .

مجموعه تهی

مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.

خانواده یا دستگاه

مجموعه‌هایی که عنصرهای آن خود مجموعه‌اند، به خانواده یا دستگاه موسومند. به عنوان مثال ، یک قوم یا ملت ، مجموعه‌ای از اشخاص است و خود عنصری از خانواده اقوام یا ملتهاست. یکی از دستگاههای بسیار مهم ، مجموعه جمیع زیر مجموعه‌های یک مجموعه S است. این دستگاه به مجموعه توانی موسوم است که با (P(S نشان داده می‌شود.

اصول اساسی مشترک دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها

با توجه به اصل موضوعی مجموعه‌ها {به ازای هر yεN و xεN| x = y²} جمیع دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها ، که در نیمه قرن بیستم میلادی توسعه یافتند چهار اصل اساسی مشترک دارند.

اصل توسیع پذیری

اصل توسیع پذیری بر این است که اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسان (یعنی دو مجموعه که با یک توسیع باشند)، همانندند.

اصل ساخت

اصل ساخت بر این است که انواع محدود خاصی از گزاره‌ها مجموعه‌ها را تعریف می‌کنند. یکی از محدودیتهای معمول این است که گزاره تنها شامل نمادهای شیئی ، نمادهای منطقی و نماد ε است.

اصل وجود مجموعه‌های نامتناهی

وجود مجموعه‌های نامتناهی بیانگر همین مطلب است. البته معنای نامتناهی را باید دقیق کنیم. مشکل است که این اصل با استفاده از ارجاع مستقیم علت را انگیزه موضوعی شود، اما بدون آن قسمت اعظم ریاضیات و علوم نظری از قبیل دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کلاسیک ، بی‌معنا خواهد شد. بی‌آن حتی نمی‌توان اساس مجموعه نظری اعداد طبیعی را بدست آورد.

اصل انتخاب

اگر s دستگاهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، آن گاه مجموعه Aای موجود است که بطور دقیق یک عنصر مشترک با هر مجموعه S از S دارد.

اعمال اساسی مجموعه‌ها

• اجتماع: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با هم اعضایی که یا در A یا در B و یا در هر دو آنها باشند و آن را به صورت AUB نشان می‌دهیم.
• اشتراک: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با همه اعضایی که هم در A و هم در B هستند و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
• تفاضل: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. آنگاه A-B یعنی مجموعه هم اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند.
• متمم: اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم A مجموعه تمام اعضایی از S است که در A نباشد و آن را با Ā یا Á نشان می‌دهند.

خواص اعمال مجموعه‌ای

اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع ، اشتراک ، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.

• دارای خاصیت جابجایی‌اند. AUB = BUA و A∩B = B∩A
• شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
• توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
• متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.
• اگر S یک مجموعه باشد انگاه اجتماع S با هر زیرمجموعه‌اش برابر S و اشتراک آنها برابر با آن زیر مجموعه است.
• اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی است و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) می‌باشد.
• قوانین دمورگان (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)
• تفاضل دو مجموعه برابر است با متمم اشتراک انها.
• دو مجموعه را ناسازگار می‌گویند هرگاه اشتراک این دو مجموعه تهی باشد.

اعداد حقیقی

از اعداد می توانیم برای اندازه گیری طول ، یا کمیتهای دیگر فیزیکی استفاده کنیم، ولی یونانیان می دانستند پاره خط هایی هم وجود دارند که طول آنها را نمی توان در تئوری ، دقیقا با اعداد گویا اندازه گرفت. آنها هندسه دانان بزرگی بودند، یکی از قضیه های ساده ولی عمیقشان قضیه فیثاغورث بود. با اعمال این قضیه بر مثلث قائم الزاویه که طول اضلاع کوچکترش هر دو یک باشد نتیجه می گیریم که طول وترش x است و 2=12+12=2x با توجه به اینکه عدد گویایی (اعداد گویا قبل از اعداد حقیقی کشف شده بودند) چون m/n وجود ندارد که 2=2(m/n). خب این جرقه بزرگی بود در دنیای ریاضیات آن زمان.

تعریف

اعداد حقیقی که با نمواد R نمایش داده می شود مجموعه ای تقریبا کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند. در مجموعه R دو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب ، و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم ، باید وجود داشته باشند علاوه بر این رابطه ای ترتیبی هم که به طور مناسبی به جمع و ضرب مکربوط شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز ملحوظ کند، باید وجود داشته باشد. آخرین جزء اصلی ، اصل کمال است. به طور کلی می توان چنین نتیجه گرفت که: هرگاه سه جنبه: 1- حساب 2- ترتیب 3- اصل کمال ، به طور مناسبی بیان شوند می توانند اعداد حقیقی را به طور کاملا توصیف نمایند.
با توجه به مطالب گفته شده اکنون به بررسی سه مورد فوق می پردازیم تا اعداد حقیقی را به نحو شایسته ای توصیف کرده باشیم.

خواص اعداد حقیقی

(1) حساب: مجموعه ای چون R با اعمال دوتایی + و 0 میدان نامیده می شود اگر به ازای هر و b,a:
1) a+b=b+a
2) a+(b+c)=(a+b)+c
3) عضوی چون وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم a+0=a.
4) اگر عضوی چون وجود داشته باشد تا a+(-a)=0.
5) a.b=b.a
6) a(bc)=(ab)c
7) عضوی چون وجود داشته باشد که 0≠1و به ازای هر داشته باشیم: 1a=a.
8) اگر ،0a≠ ، عضوی چون وجود داشته باشد بطوری که 1=1-a.a
9) a(b+c)=ab+ac.
در بندهای فوق عضوهای 0 و 1 را اعضای صفر و یکه R می نامند به واسطه بندهای 1 و 5 داریم:
0+a=a ، (-a)+a=0 ، a1=a ، a-1a=1 و (a+b)c=ac+bc

تفریق رابا

a-b=a+(-b)
و تقسیم رابا: a/b=ab-1 ، به شرطی که 0≠b ، تعریف می کنیم.
(2) ترتیب
میدانی چون R را مرتب می نامیم اگر زیر مجموعه ای چون وجود داشته باشد که:
1)
2)
3)
منظور از R+ در بندهای 1 تا 3 فوق اعداد صحیح مثبت می باشد.
(3) اصل کمال
عضوی چون a را از R یک کران بالای زیرمجموعه ای چون می خوانیم اگر به ازای هر داشته باشیم . هر مجموعه ای چون S را از بالا کراندار می گوئیم هرگاه دارای کران بالا باشد. عضوی چون λ را از R کوچکترین کران بالای S می نامیم اگر:
1) به ازای هر ، (λ یک کران بالا باشد)
2) → ( به ازای هر ) ، (λ بین کرانهای بالا و کوچکترین باشد).
اگر S زیرمجموعه ای ناتهی از R و S از بالا کراندار باشد، آنگاه S در R دارای یک کوچکترین کران بالاست.
ساختن اعداد ، خود اثری است از قرن نوزدهم که در آن زمان اعداد طبیعی بعنوان پایه ریاضیات پذیرفته شد، ولی درک کاملی از اعداد حقیقی وجود نداشت. در آن قرن اثبات این مطلب که در ریاضیات اعداد حقیقی اشیا معتبری هستند اهمیت داشت، و بنابراین ساختن R از N (اعداد طبیعی) موثر واقع شد. ولی امروزه که انجام پذیر بودن این کار به اثبات رسیده مسائل روانی و فلسفی مربوط جدیت خود را از دست داده اند. اگر به جای N وجود R را اصل قرار دهیم، بی ضرر خواهیم بود. ولی با این کار ، بسیار ساده به نتیجه خواهیم رسید. زیرا همان طور که می دانیم .
از اعداد حقیقی بعنوان یک میدان مرتب کامل یاد می شود. و هر میدان مرتب کامل با R یکریختی ترتیبی دارد.
در پایان باید ذکر کنیم که مجموعه اعداد حقیقی به نوبه خود زیرمجموعه اعداد دیگری تسن با نام اعداد مختلط با نماد . برای آشنایی با اعداد مختلط می توانید به مقاله "اعداد مختلط و ماورای آن" رجوع نمایید.