همانند اعداد طبیعی،
نیز نسبت به دو عمل
جمع و
ضرب بسته است. این بدان معناست که
حاصل جمع و
حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به
تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما
تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دلخواه هستند:)
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکتپذیری و جابهجایی (یا تعویضپذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیعپذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردار اند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان میدهد که مجموعهٔ به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمیسازد.
مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچکترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر میگیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دلخواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل میدهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایدهآل اصلی میباشد و هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را میتوان به طور یکتا به حاصلضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)
آرش احمدي
